2021届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三9月月考数学试题Word版含解析

()()1242412+-++++=-mx m m x mx y 2021年高三9月月考 数学理 含答案考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）（2）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知集合，集合，且，则A ．B ．C ．D ．2． 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A. 所有实数的平方都不是正数 B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方是正数D ．至少有一个实数的平方不是正数3． 已知函数的定义域为，则的 取值范围是A ．B ．C ．D ．4． 设，则不等式的解是A. B ． C ． D ．或5． 如果函数是奇函数，则函数的值域是A ．B ．C ．D ．6． 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为A ．B ．C ．D ．7. 已知函数，则大小关系为A ．B ．C ．D ．8. 关于的方程在内有两个不相等实数根，则的取值范围是A. B ． C ． D ． 或9. 若函数在区间上的图象如图所示,则的值可能是A.B．C．D．第二节，则A．B．C．D．11. ，方程有个实根，则所有非零实根之积为A．B．C．D．12．若函数，记，，则A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．函数的单调递增区间为_____________________.14. 已知；，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围是___________________15. 已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________________20.已知函数，若的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是_______________________三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本大题10分）已知集合,,,求实数的取值范围,使得成立.18．（本大题12分）设,是上的偶函数.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 利用单调性定义证明:在上是增函数.19．（本大题12分）已知定义在上的奇函数，当时，.（Ⅰ）当时，讨论在上的单调性；（Ⅱ）若在上为单调递减函数，求的取值范围.20．（本大题12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为元一本，经销过程中每本书需 付给代理商元的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为 元一本，预计一年的销售量为万本.（Ⅰ）求该出版社一年的利润（万元）与每本书的定价的函数关系式； （Ⅱ）每本书定价为多少元时，该出版社一年利润最大，并求出的最大值.21．（本大题12分）已知函数.（Ⅰ）判断奇偶性；（Ⅱ）若图象与曲线关于对称，求的解析式及定义域；（Ⅲ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.22. （本大题12分）已知函数定义域为，且满足.（Ⅰ）求解析式及最小值；（Ⅱ）设22()(),()(2)()x x f x g x h x x x g x xe+'==+，求证：，.数学（理科）答案选择题：CDBDD CABBB CB填空题：13 1415 16解答题：17. 或或18. （1）（2）证明略21.当时，（1）递增；递减（2）22.（1）（2）时，；时，23.（1）奇函数（3）,当时，；当时，（4）当时，，故此时定义域中无正整数当时，需所有正整数在定义域中，故，即再利用单调性可知，，故所求范围是22. （1），（2），，令通过求导知当时有最大值为，且又通过求导知故22368 5760 坠}D?o37018 909A 邚34061 850D 蔍40759 9F37 鼷22983 59C7 姇35763 8BB3 讳31829 7C55 籕20666 50BA 傺34508 86CC 蛌。

湖北省 高三9月质量检测数学（理）试卷一、选择题1．已知集合P ＝{x ｜2x －x －2≤0}，Q ＝{x ｜2log (1)x －≤1}，则（C R P ）∩Q 等于（ ）A ．[2，3]B ．（－∞，－1]∪[3，＋∞）C ．（2，3]D ．（－∞，－1]∪（3，＋∞） 2. 已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 、命题p q ∨是假命题B 、命题p q ∧是真命题C 、命题()p q ∧⌝是真命题D 、命题()p q ∧⌝是假命题3. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．16294.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线n m ,，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）35.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1 -3x x f x =的图象向左平移m(0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32πB ．3πC ．π65D ． 6π6.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<7．已知平面向量n m ，的夹角为,6π且2,3==n m ，在ABC ∆中，n m AB 22+=，nm AC 62-=，D 为BC 边的中点，则AD =( ) A.2 B.4 C.6 D.88．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．433 B ．533C ．23D ．8339. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.在以O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A .22B .33C .63D .2411.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若对于满足约束条件的所有y x ,，总有不等式)3(+≤x k y 成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．21 B ．32C ．2-D ．0 12．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=p x f p px f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成立．．．的是（ ） A ．[][])0()0(p p f f f f = B ．[][])1()1(p p f f f f =C ．[][])2()2(f f f f p p = D ．[][])3()3(f f f f p p =二、填空题 13.1()1f x ⎧=⎨-⎩ 22x x ≥<，则不等式2()20x f x x ⋅+-≤解集是 ． 14.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．16.定义在R 上偶函数)(x f ，当x x x f x 3-)(03=>时，；奇函数)(x g 当时0>x 11)(--=x x g ，若方程：,0))((,0))((==x g f x f f0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为d c b a ,,,则d c b a +++=三、解答题 17.（10分）设命题[]21:1,2,ln 0,2p x x x a ∀∈--≥命题2000:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤使得，如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围。

2020-2021学年湖北省宜昌市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={(x,y )|y =−x}，B ={(x,y )|y =−1x }，则集合A ∩B 的真子集个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.72. 已知命题p:∀x ∈R ，x−23x<0，则命题¬p 为( )A.∀x ∈R ，x−23x≥0 B.∃x 0∈R ，x 0−23x 0≥0C.∀x ∈R ，x−23x ≥0或x =0 D.∃x 0∈R ，x 0−23x 0≥0或x 0=03. 函数f (x )=(2020−x )14+1x的定义域是( )A.{x|x <2020且x ≠0}B.{x|x ≤2020且x ≠0}C.{x|x ≤2020}D.{x|x ≥2020}4. 已知全集U =R ，集合A ={y|y =1x 2−1}，B ={x|−x 2−x +2≥0}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.[−2,−1]B.[−2,−1]∪(1,+∞)C.(−2,−1]∪(0,1)D.(−2,−1]∪(1,+∞)5. 已知函数f (x )与函数g (x )=2x 2−12x 4的图象关于x 轴对称，则函数f (x )的大致图象是( )A. B.C. D.6. 1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Diricℎlet，1805∼1859）认为：“如果对于x 的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：f(x)={1，x为有理数,0，x为无理数. 已知命题p:x是有理数，命题q:f[f(x)]=1，则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知函数f(x)满足2f(1x)−f(x)=3x，则f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为( )A.1B.2C.2√2D.38. 已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1, 2)，若f(x)=cx2+ax+b，则( )A.f(1)<f(−1)<f(2)B.f(2)<f(1)<f(−1)C.f(2)<f(−1)<f(1)D.f(−1)<f(1)<f(2)二、多选题下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A.y=2x和y=2x3x2B.y=|x|和y=√x2C.y=2021x0与y=2021D.y=x4−1x2+1和y=x2−1已知实数a，b满足a<b，则下列不等式中恒成立的是( )A.a3<b3B.b2>abC.ac2020<bc2020D.ac2020<bc2020已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(4−x)=f(4+x)，下列结论正确的是( )A.函数f(x)的图象关于点(4,0)对称B.f(8)=0C.函数f(x)的周期可以为16D.若函数f(x)在区间[0,4]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(x)>2的解集为(2+16k,6+16k)(k∈Z)对于函数y=f(x)，若存在x0，使f(x0)=−f(−x0)，则称点(x0,f(x0)),(−x0,f(−x0))是函数f(x)图象的一对“上进点”．已知函数f(x)={−2x 2−4x−3,x<0mx,x≥0,’的图象恰好存在两对“上进点”，则实数m的值不可能为( )A.1 2B.1C.√24D.2三、填空题已知函数f(x)=4x2−kx+2020在区间[0,1]上单调递减，则实数k的取值区间为________.已知集合A={1，−a，ba}，B={0，a2，b−a}，若A=B，则(−a)2021+b2021=________.已知函数y=f(x+1)的定义域与值域都是[1,2]，则y=2f(x−1)的定义域是________；值域是________.随着近几年我国经济的飞速发展，汽车也进入了寻常百姓家．某校工会调查了该校200名教职工上班代步的汽车购买情况，调查结果如下：130人购买了轿车，100人购买了SUV（运动型多用途汽车的简称），还有30人暂时未买车，则既购买了轿车又购买了SUV的教职工人数为________.四、解答题设集合A={x|3x2−ax+3=0}，B={x|−x2+2x+a−7=0}，C={0,1,3}，且A∩B={3}．(1)求a的值及集合A，B；(2)设全集U=A∪B∪C，求(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∪B)；(3)由(2)你能发现什么结论？试把所得的结论用等式表示出来（不要求证明）．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−3.(1)求f(0)+f(f(−1))的值；(2)求f(x)的解析式，并写出f(x)的单调区间．mx02+mx0+4<0，命题q：实数m满足k+1≤m≤2k+1. 已知命题p:∃x0∈R，14(1)若¬p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若q是¬p的充分不必要条件，求实数k的取值范围．已知幂函数f(x)=(a−1)2x a2−a−1在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=f2(x)+mf(x)+m−7(m∈R).(1)求a的值；(2)求函数y=g(x)在区间[−1,1]上的最小值ℎ(m).设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f(f(x))=x”的函数f(x)组成的集合．(1)判断函数f(x)=3x−2，g(x)=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；x(2)设函数ℎ(x)=kx+a(k≠1)，φ(x)=x+a，且ℎ(x)∈M，若对任意x1∈(−∞,1]，xℎ(x1)=φ(x2)成立，求实数a的取值范围．总存在x2∈[1,+∞），使12已知函数f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)−2成立，且当x>0时，f(x)>2，函数g(x)=f(x)−2.(1)求证：函数g(x)为奇函数；(2)判断f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；(3)若g(x12)+g(−2×x14)>g(k)对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省宜昌市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】子集与真子集的个数问题 交集及其运算 【解析】 【解答】解：直线y =−x 与曲线y =−1x 恰有两个交点， 故A ∩B 中共有2个元素， 其真子集个数为22−1=3． 故选B ． 2.【答案】 D【考点】 命题的否定 【解析】【解答】解：∵ 含有一个量词的命题的否定写法是“变量词，否结论”， ∴ “∀x ∈R, x−23x<0”的否定是“∃x 0∈R, x 0−23x 0≥0或x 0=0”．故选D ． 3.【答案】 B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题意得{2020−x ≥0，x ≠0，解得x ≤2020且x ≠0，故定义域为{x|x ≤2020且x ≠0}． 故选B ．【考点】Venn图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算【解析】A=|y|>−1|,B=|x|−2≤x≤1，由图可知，阴影部分区域表示的集合S=|x|x∈A∪B且x∉4∩B},A∪B=[−2,+∞),A∩B=(−1,1)，因此，阴影部分区域所表示的集合为S=[−2,−1]∪(1,+∞)，故选B．【解答】解：A={y|y>−1}，B={x|−2≤x≤1}，由图可知，阴影部分区域表示的集合S={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，A∪B=[−2，+∞)，A∩B=(−1，1]，因此，阴影部分区域所表示的集合为S=[−2,−1]∪(1,+∞).故选B．5.【答案】C【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=−g(x)=−2x2+12x4=1−4x22x4，即f(x)为偶函数，排除B；f(2)=−1532<0，故对应点在第四象限，排除A；当0<x<12时，f(x)>0，排除D．故选C．6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断函数的求值【解析】．【解答】解：当x为有理数时，f(x)=1，则f[f(x)]=f(1)=1；当x为无理数时，f(x)=0，则f[f(x)]=f(0)=1．综上可得，对于任意的数x，f[f(x)]=1，故p是q的充分不必要条件．故选A．7.【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：在已知等式2f (1x )−f (x )=3x 中，将x 换成1x ，得2f (x )−f (1x )=3x .消去f (1x )，得f (x )=x +2x ． 在区间(0,+∞)上，由基本不等式，得f (x )=x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2， 当且仅当x =√2时，等号成立．故选C ． 8.【答案】 A【考点】二次函数的性质 函数单调性的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题意得a <0，且ca=−1×2=−2，−ba=−1+2=1，即a <0，c =−2a >0，b =−a >0， 故f (x )=cx 2+ax +b =−2ax 2+ax −a =−2a (x 2−12x)−a=−2a (x −14)2−7a 8，其图象开口向上，且对称轴为x =14， 故f (x )在(14,+∞)上单调递增， f (−1)=f (12−(−1))=f (32)， 所以f (1)<f (32)<f (2)， 即f (1)<f (−1)<f (2). 故选A ． 二、多选题 【答案】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】解：A，函数y=2x的定义域是R，函数y=2x 3x2的定义域不包含0，定义域不同，不是同一个函数，故A选项错误；C，函数y=2021x0的定义域不包含0，函数y=2021的定义域是R，定义域不同．不是同一个函数，故C选项错误.对于BD均满足同一函数的条件：(1)定义域相同，(2)函数表达式经过化简后相同.故选BD．【答案】A,D【考点】不等式的基本性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数y=x3在R上递增，故A正确；由b2−ab=b(b−a)可知，当b<0时，b2<ab，故B错误；当c=0时，ac2020=bc2020，故C错误；因为c2020>0，所以ac2020<bc2020，故D正确．故选AD．【答案】B,C,D【考点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】解：由f(x)是定义域为R的奇函数，得f(−x)=−f(x)，f(0)=0，由f(4−x)=f(4+x)可得函数y=f(x)的图象关于x=4对称，故A错误；由f(4−x)=f(4+x)，得f(8−x)=f(x)=−f(−x)，即f(8+x)=−f(x)，得f(8)=−f(0)=0，故B正确；由f[8+(8+x)]=−f(8+x)=f(x)，得f(x+16)=f(x)，故C正确；若函数f(x)在区间[0,4]上单调递增，则f(x)在[−4,4]上单调递增，在[4,12]上单调递减，由f(−2)=−2，得f(2)=f(6)=2，结合周期性可知，若f(x)>2，则2+16k<x<6+16k(k∈Z)，故D正确．故选BCD．【答案】A,C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析解：由“上进点”的定义可知，若点(x 0，f(x 0))为“上进点”，则点(−x 0，−f(x 0))也在曲线y =f(x)上，且点(x 0，f(x 0))与点(−x 0，−f(x 0))关于原点对称． 易知曲线g(x)=2x 2−4x +3(x >0)与曲线y =−2x 2−4x −3(x <0)关于原点对称． g (x )的图象如图所示：由图可知，当m ≤0时，直线y =mx 与曲线g (x )无公共点， 故f (x )的图象不存在“上进点”；当m >0时，若直线y =mx 与曲线g (x )相交（非相切）， 则f (x )的图象存在两对“上进点”． 联立{y =2x 2−4x +3，y =mx ，消去m ，得2x 2−(4+m )x +3=0． 若f (x )的图象存在两对上进点， 则Δ=[−(4+m )]2−24>0.其中当m =1或2时均满足Δ>0， 而当m =12或√24时Δ<0 . 故选AC ． 三、填空题【答案】 [8,+∞) 【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】由题意可知，函数f (x )图象的对称轴x =k8在区间[0,1]的右边，所以k8≥1，解得k ≥8 . 【解答】解：由题意可知，函数f (x )图象的对称轴x =k 8在区间[0,1]的右边， 所以k8≥1， 解得k ≥8 .故答案为：[8,+∞).【答案】−1【考点】集合的相等集合的确定性、互异性、无序性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A =B ，所以{a 2=1，b a=0， 解得{a =1，b =0或{a =−1, b =0(舍去)， 所以(−a)2021+b 2021=−1.故答案为：−1.【答案】[3,4],[2,4]【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由1≤x ≤2，得2≤x +1≤3，即f (x )的定义域为[2,3]，于是在y =2f (x −1)中，2≤x −1≤3，解得3≤x ≤4，即函数y =2f (x −1)的定义域为[3,4].又y =f (x +1)与y =f (x −1)的值域相同，故y =2f (x −1)的值域为[2,4]．故答案为：[3,4]；[2,4]．【答案】60【考点】Venn 图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算集合的含义与表示【解析】此题暂无解析【解答】解：设全集U ={200名教职工}，A ={购买了轿车的教职工}，B ={购买了SUV 的教职工}，则A ∩B ={既购买了轿车又购买了SUV 的教职工}，∁U (A ∪B )={没买汽车的教职工}，设既购买了轿车又购买了SUV 的教职工有x 人，由Venn 图可得(130−x )+x +(100−x )+30=200，解得x =60．故答案为：60．四、解答题【答案】解：(1)∵ A ∩B ={3}，∴ {27−3a +3=0,−9+6+a −7=0，解得a =10 .此时A ={3,13}，B ={3,−1}． (2)U ={−1，0，13，1，3}， (∁U A )∩(∁U B )={−1, 0, 1}∩{0, 13, 1} ={0,1}．∁U (A ∪B )={0,1}．(3)(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )．【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算集合的相等【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ A ∩B ={3}，∴ {27−3a +3=0,−9+6+a −7=0，解得a =10 .此时A ={3,13}，B ={3,−1}．(2)U ={−1，0，13，1，3}，(∁U A )∩(∁U B )={−1, 0, 1}∩{0, 13, 1}={0,1}．∁U(A∪B)={0,1}．(3)(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)．【答案】解：(1)∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(0)=0，f(−1)=−f(1)=−(−1)=1，f(f(−1))=f(1)=−1.∴ f(0)+f(f(−1))=−1．(2)设x<0，则−x>0，∴ f(−x)=−2x−3.又f(x)为奇函数，∴ f(x)=−f(−x)=2x+3．故f(x)={2x+3, x<0, 0, x=0,2x−3, x>0.f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(0,+∞)．【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(0)=0，f(−1)=−f(1)=−(−1)=1，f(f(−1))=f(1)=−1.∴ f(0)+f(f(−1))=−1．(2)设x<0，则−x>0，∴ f(−x)=−2x−3.又f(x)为奇函数，∴ f(x)=−f(−x)=2x+3．故f(x)={2x+3, x<0, 0, x=0,2x−3, x>0.f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(0,+∞)．【答案】解：(1)由p得¬p:∀x∈R，14mx2+mx+4≥0，因为¬p为真命题，所以m =0或{m >0，m 2−4m ≤0，解得0≤m ≤4．所以实数m 的取值范围为[0,4]．(2)记A ={m|0≤m ≤4}，B ={m|k +1≤m ≤2k +1}， 若q 是¬p 的充分不必要条件，则B ⫋A ．当B =⌀时，k +1>2k +1，解得k <0，符合题意；当B ≠⌀时， {k +1≤2k +1，2k +1≤4，k +1≥0，解得0≤k ≤32．综合可得k 的取值范围为(−∞,32]． 【考点】全称命题与特称命题根据充分必要条件求参数取值问题命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由p 得¬p:∀x ∈R ，14mx 2+mx +4≥0，因为¬p 为真命题，所以m =0或{m >0，m 2−4m ≤0，解得0≤m ≤4．所以实数m 的取值范围为[0,4]．(2)记A ={m|0≤m ≤4}，B ={m|k +1≤m ≤2k +1}， 若q 是¬p 的充分不必要条件，则B ⫋A ．当B =⌀时，k +1>2k +1，解得k <0，符合题意；当B ≠⌀时， {k +1≤2k +1，2k +1≤4，k +1≥0，解得0≤k ≤32．综合可得k 的取值范围为(−∞,32]．【答案】解：(1)依题意得(a −1)2=1⇒a =0或a =2，当a =0时，f (x )=x −1在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当a =2时，f (x )=x 在(0,+∞)上单调递增，符合题意．综上，a 的值为2．(2)由(1)得，f (x )=x ，所以g (x )=x 2+mx +m −7(m ∈R)，当−m 2≤−1，即m ≥2时，函数y =g (x )在区间[−1,1]上单调递增，所以ℎ(m )=g (−1)=−6．当−1<−m 2<1，即−2<m <2时，函数y =g (x )在区间[−1,−m 2]上单调递减，在区间[−m 2,1]上单调递增， 所以ℎ(m )=g (−m 2)=−m 24+m −7， 当−m 2≥1，即m ≤−2时，函数y =g (x )在区间[−1,1]上单调递减，所以ℎ(m )=g (1)=2m −6.综上得ℎ(m )={ −6，m ≥2，−m 24+m −7，−2<m <2，2m −6，m ≤−2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数的最值及其几何意义函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)依题意得(a −1)2=1⇒a =0或a =2，当a =0时，f (x )=x −1在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当a =2时，f (x )=x 在(0,+∞)上单调递增，符合题意． 综上，a 的值为2．(2)由(1)得，f (x )=x ，所以g (x )=x 2+mx +m −7(m ∈R)，当−m 2≤−1，即m ≥2时，函数y =g (x )在区间[−1,1]上单调递增，所以ℎ(m )=g (−1)=−6．当−1<−m 2<1，即−2<m <2时，函数y =g (x )在区间[−1,−m 2]上单调递减，在区间[−m 2,1]上单调递增， 所以ℎ(m )=g (−m 2)=−m 24+m −7， 当−m 2≥1，即m ≤−2时，函数y =g (x )在区间[−1,1]上单调递减，所以ℎ(m )=g (1)=2m −6.综上得ℎ(m )={ −6，m ≥2，−m 24+m −7，−2<m <2，2m −6，m ≤−2．【答案】解：(1)因为对任意x ∈R ，f(f(x))=3(3x −2)−2=9x −8≠x ， 所以f (x )∉M ．因为对任意x ∈(−∞,0)∪(0,+∞)，g(g (x ))=−11−x =x ，所以g (x )∈M .(2)因为函数ℎ(x )∈M ，且ℎ(x )=kx +a (k ≠1)，所以ℎ(ℎ(x))=k(kx +a)+a =x ，所以{k 2=1，ka +a =0，解得{k =1，a =0（舍去）或{k =−1，a ∈R ，所以ℎ(x)=−x +a .当x ∈(−∞,1]时，ℎ(x)∈[a −1,+∞)，12ℎ(x)∈[a 2−12,+∞). 函数φ(x )=x +a x ，当a ≤1时，φ(x )在[1,+∞)上单调递增，故φ(x)∈[1+a,+∞).根据题意得{1+a ≤a−12,a ≤1,解得a ≤−3 .当a >1时，φ(x)在[1,√a)上单调递减，在[√a,+∞)上单调递增， 故φ(x )≥φ(√a)=2√a ，根据题意得{2√a ≤a−12a >1,’ 解得a ≥9+4√5 .综上所述，实数a 的取值范围为(−∞,−3]∪[9+4√5,+∞) .【考点】函数新定义问题函数恒成立问题函数解析式的求解及常用方法函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为对任意x ∈R ，f(f(x))=3(3x −2)−2=9x −8≠x ，所以f (x )∉M ．因为对任意x ∈(−∞,0)∪(0,+∞)，g(g (x ))=−11−x =x ，所以g (x )∈M .(2)因为函数ℎ(x )∈M ，且ℎ(x )=kx +a (k ≠1)，所以ℎ(ℎ(x))=k(kx +a)+a =x ，所以{k 2=1，ka +a =0，解得{k =1，a =0（舍去）或{k =−1，a ∈R ，所以ℎ(x)=−x +a .当x ∈(−∞,1]时，ℎ(x)∈[a −1,+∞)，12ℎ(x)∈[a 2−12,+∞). 函数φ(x )=x +a x ， 当a ≤1时，φ(x )在[1,+∞)上单调递增，故φ(x)∈[1+a,+∞).根据题意得{1+a ≤a−12,a ≤1,解得a ≤−3 .当a >1时，φ(x)在[1,√a)上单调递减，在[√a,+∞)上单调递增， 故φ(x )≥φ(√a)=2√a ，根据题意得{2√a ≤a−12a >1,’ 解得a ≥9+4√5 .综上所述，实数a 的取值范围为(−∞,−3]∪[9+4√5,+∞) .【答案】(1)证明：在f (x )中，令x =0,y =0，得f (0)=f (0)+f (0)−2， ∴ f (0)=2.令y =−x ，有f (x −x )=f (x )+f (−x )−2，即2=f (x )+f (−x )−2，∴ f (−x )−2=−[f (x )−2]，即g (−x )=−g (x ).∴ g (x )为奇函数．(2)证明：f(x)在R 上是增函数，证明如下：设x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2，令x 2=x 1+t (t >0)，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 1+t )−f (x 1)=f (x 1)+f (t )−2−f (x 1)=f (t )−2，又当t >0时，f (t )>2，∴ 有f (x 2)−f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．∴ f (x )在R 上是增函数．(3)解：g(x12)+g(−2×x14)>g(k)等价于f(x12)+f(−2×x14)−4>f(k)−2，即f(x 12−2×x14)−2>f(k)−2，∴ f(x12−2×x14)>f(k)．由(2)知f(x)在R为增函数，∴ k<x12−2×x14对x∈R恒成立．记m(x)=x 12−2×x14，则m(x)=(x 14−1)2−1，当x 14=1，即x=1时，m(x)取得最小值−1．∴ k的取值范围是(−∞,−1)．【考点】函数恒成立问题函数奇偶性的判断函数的最值及其几何意义函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：在f(x)中，令x=0,y=0，得f(0)=f(0)+f(0)−2，∴ f(0)=2.令y=−x，有f(x−x)=f(x)+f(−x)−2，即2=f(x)+f(−x)−2，∴ f(−x)−2=−[f(x)−2]，即g(−x)=−g(x).∴ g(x)为奇函数．(2)证明：f(x)在R上是增函数，证明如下：设x1,x2∈R，且x1<x2，令x2=x1+t(t>0)，则f(x2)−f(x1)=f(x1+t)−f(x1)=f(x1)+f(t)−2−f(x1)=f(t)−2，又当t>0时，f(t)>2，∴ 有f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)在R上是增函数．(3)解：g(x12)+g(−2×x14)>g(k)等价于f(x12)+f(−2×x14)−4>f(k)−2，即f(x 12−2×x14)−2>f(k)−2，∴ f(x12−2×x14)>f(k)．由(2)知f(x)在R为增函数，∴ k<x12−2×x14对x∈R恒成立．记m(x)=x 12−2×x14，则m(x)=(x 14−1)2−1，当x 14=1，即x=1时，m(x)取得最小值−1．∴ k的取值范围是(−∞,−1)．。

2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高三（上）起点数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 命题“∃x 0≥0，2x +x 0−a ≤0”的否定是( )A. ∀x ≤0，2x +x −a ≤0B. ∀x ≥0，2x +x −a >0C. ∃x 0≤0，2x +x 0−a >0D. ∃x 0≥0，2x +x 0−a >02. 设集合M ={x|x 2+ax +6=0}，N ={−3,−2,−1}，若M ⊆N ，则a 的取值范围是( )A. {a|a =5或a =7〉B. {a|a =5或−2√6<a <2√6}C. {a|−2√6<a <2√6}D. {a|a =7或{2√6<a <2√6}3. 已知a >0，b >0且a +b =1，若不等式1a +1b >m 恒成立．m ∈N +，则m 的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=a 2x −a −2x +1(a >0且a ≠1)，则f(1)=( )A. −1B. 0C. 1D. 25. 已知sin(π3−α2)=−√32,−7π3<α<−4π3，则cos(7π12−α2)=( )A. −√3+√24B. √3+√24C. −√6+√24D. √6−√246. 若a =(2)25,b =325,c =(12)25,d =(13)25，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A. a >b >c >dB. b >a >d >cC. b >a >c >dD. a >b >d >c7. 已知在三棱锥S −ABC 中，SA =SB =SC =AB =2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为( )A. 32√3π27B. 4√3π9C.32π3D.16π38. 已知f(x)=12x 2−2ax ，g(x)=3a 2lnx −b ，其中a >0，设两曲线y =f(x)，y =g(x)有公共点．且在该点的切线相同，则( )A. 曲线y =f(x)，y =g(x)有两条这样的公共切线B. b =3a 22+3a 2lnaC. 当a=3e时，b取最小值D. b的最小值为−16e2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知等比数列{a n}的公比为q，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4成等差数列，则q的值可能为()A. 12B. 1C. 2D. 310.已知a⃗=(3,−1),b⃗ =(1,−2)，则下列说法正确的有()A. a⃗在b⃗ 方向上的投影为√5B. 与a⃗同向的单位向量是(3√1010,−√1010)C. <a⃗⋅b⃗ >=π4 D. a⃗与b⃗ 平行11.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于点(π12,0)对称，则()A. f(x)的最小正周期是πB. 函数f(x)在[π3,π2]上单调递增C. 函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则a的最小值是5π12D. 若x1，x2∈[π4,3π4]，x1≠x2时，f(x1)=f(x2)成立，则|x1−x2|的最大值为π312.设函数f(x)=(1+1m )lnx−x+1mx(m≠0)，则()A. 当m<0时，f(x)<−1B. 当m<0时，f(x)有两个极值点C. 当0<m<1时，f(x)在(1,+∞)上不单调D. 当m>1时，存在唯一实数m使得函数g(x)=f(x)+2恰有两个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设i是虚数单位，若复数2−a2−i(a∈R)是纯虚数，则a=______ ．14.已知tan(π4−α)=13，则cos2α1−sin2α=______．15.已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n，若S n+1=2S n+1，则a7=______．16. 函数f(x)=(x 2−3)e x ，关于x 的方程f 2(x)−mf(x)+1=0恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为 ______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设函数f(x)=sinx ，x ∈R ．(1)已知θ∈[0,3π2)，函数f(x +θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y =[f(x +π12)]2+[f(x +π4)]2−1,x ∈[π12,2π3]的值域．18. 已知数列{a n }为等差数列，其公差不为0，a 3=5，a 2是a 1与a 5的等比中项．(1)求{a n }通项公式； (2)记b n =1a 2n ⋅a 2n+2，求数列{b n }的前n 项之和T n ．19. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，为sinB−sinAb−c=sinC a+b．(1)求角A 的大小； (2)当a =√3时，求b+c 2的取值范围．20.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP．(1)设点M为棱PD中点，求证：EM//平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于2√105？若存在，试求出线段PN的长度；若不存在，请说明理由．3521.北京时间2021年7月23日19：00，东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a+5元(5≤a≤8)的税收，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18−x)2万件．(1)求该商店一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．22.已知函数f(x)=(x+1)e x+mx，g(x)=3ncosx+3(m,n∈R)．(1)讨论函数f(x)的导数f′(x)的单调性，mx+1对x≥0恒成立，求实数m的取值(2)当n=−1时，不等式f(x)+g(x)≥14范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：命题“∃x0≥0，2x+x0−a≤0”的否定为∀x≥0，2x+x−a>0，故选：B．由题意根据命题的否定的定义，得出结论．本题主要考查求一个命题的否定，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：集合M={x|x2+ax+6=0}，N={−3,−2,−1}，M⊆N，当M=⌀时，即△=a2−24<0，解得−2√6<a<2√6，此时满足题意；当M≠⌀时，设方程x2+ax+6=0两根为x1，x2，则x1+x2=−a，x1x2=6，结合N={−3,−2,−1}，可−3，−2是x2+ax+6=0两根，则−a=−3−2，即a=5，综上所述a的取值范围为{a|a=5或−2√6<a<2√6}.故选：B．利用集合的包含关系和一元二次方程的根的关系可得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：a>0，b>0且a+b=1，则1a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ab ⋅ba=4，当且仅当a=b=12时取等号，∴m<4，∵m∈N+，∴m的最大值为3，故选：A．恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，由此即可求解．本题考查了恒成立问题以及利用基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：因为定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=a 2x −a −2x +1(a >0且a ≠1)，所以f(1)+g(1)=a 2−a −2+1①，f(−1)+g(−1)=a −2−a 2+1，即f(1)−g(1)=a −2−a 2+1②， ①+②得2f(1)=2， 所以f(1)=1． 故选：C ．由已知结合函数的奇偶性可知，f(1)+g(1)=a 2−a −2+1，f(−1)+g(−1)=a −2−a 2+1，结合两式即可求解．本题主要考查了函数奇偶性的性质的简单应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵−7π3<α<−4π3，∴2π3<−α2<7π6，∴π<π3−α2<3π2，∵sin(π3−α2)=−√32，∴π3−α2=4π3．则cos(7π12−α2)= cos(π4+π3−α2)=cos π4cos(π3−α2)−sin π4sin(π3−α2) =√22×(−12)−√22×(−√32)=√6−√24， 故选：D ．由题意求出π3−α2的值，再利用两角差的余弦公式，计算求得结果． 本题主要考查两角差的余弦公式，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：∵a =(2)25,b =325,c =(12)25,d =(13)25，函数y =x 25是(0,+∞)上的增函数，3>2>12>13，∴b >a >c >d ，故选：C ．由题意根据幂函数的单调性，得出结论． 本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 由题意求得三棱锥S −ABC 的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案． 【解答】 解：如图，∵SA =SB =SC ，∴S 在底面ABC 上的射影D 为底面三角形的外心， 又AC ⊥BC ，∴D 为AB 的中点，又SA =SB =AB =2，∴△SAB 外接圆的半径即为三棱锥S −ABC 外接球的半径， 等于23×√22−12=2√33． ∴该三棱锥外接球的体积为43π×(2√33)3=32√3π27．故选：A ．8.【答案】D【解析】解：f(x)=12x 2−2ax ，g(x)=3a 2lnx −b ， f′(x)=x −2a ，g′(x)=3a 2x ，设两曲线的公共点为(x 0,y 0)，由题意可得，{f(x 0)=g(x 0)f′(x 0)=g′(x 0)，即{12x 02−2ax 0=3a 2lnx 0−b x 0−2a =3a 2x 0， 由x 0−2a =3a 2x 0，得x 02−2ax 0−3a 2=0，解得x 0=3a 或x 0=−a(舍去)；∴曲线y =f(x)，y =g(x)有一条这样的公共切线，故A 错误； b =3a 2lnx 0−12x 02+2ax 0=3a 2ln3a −9a 22+6a 2=3a 2ln3a +32a 2，故B 错误；令F(a)=3a 2ln3a +32a 2，F′(a)=6aln3a +6a ， 当0<a <13e 时，F′(a)<0，当a >13e 时，F′(a)>0， ∴当a =13e 时，b 取得最小值为F(13e )=−13e 2+32⋅19e 2=−16e 2， 故C 错误，D 正确． 故选：D ．设两曲线的公共点为(x 0,y 0)，由题意可得{f(x 0)=g(x 0)f′(x 0)=g′(x 0)，求解可得x 0=3a 判断A ；把b 用含有a 的代数式表示判断B ；再由导数求最值判断C 与D ．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】AC【解析】解：因为a 2，a 3+1，a 4成等差数列， 所以a 2+a 4=2(a 3+1)，因此，a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14， 故a 3=4．又{a n }是公比为q 的等比数列， 所以由a 2+a 4=2(a 3+1)，得a 3(q +1q )=2(a 3+1)，即q +1q =52， 解得q =2或12． 故选：AC ．运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：∵向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=√1+4=√5，∴A正确，∵与向量a⃗同向的单位向量为a⃗|a⃗ |=√9+1−1)=(3√1010,−√1010)，∴B正确，∵cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√10⋅√5=√22，<a⃗，b⃗ >∈[0,π]，∴<a⃗，b⃗ >=π4，∴C正确，∵3×(−2)≠−1×1，∴a⃗，b⃗ 不平行，∴D错误，故选：ABC．根据向量的投影公式判断A，求出向量单位向量判断B，利用向量夹角公式求出夹角判断C，根据向量共线的定义判断D．本题考查了平面向量的坐标运算，考查向量投影，单位向量，夹角，共线，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于点(π12,0)对称，当x=π12时，f(π12)=sin(π6+φ)=0，可得π6+φ=kπ，k∈Z，由于−π2<φ<π2，所以φ=−π6，故函数的解析式为f(x)=sin(2x−π6)，故函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确；对于B：由于π3≤x≤π2，所以2x−π6∈[π2,5π6]，函数在该区间上单调递减，故B错误；对于C：函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)= sin(2x−2a+π3)，由于该函数是奇函数，所以−2a+π3=kπ(k∈Z)，整理得：当k=0时，a的最小值为π6，故C错误；对于D：若x1,x2∈[π4,3π4],x1≠x2时，f(x1)=f(x2)成立，所以函数y=a与函数f(x)=sin(2x−π6)的图象有两个不同的交点，因为x1，x2∈[π4,3π4]，则2x−π6∈[π3,4π3]，因为sinπ3=sin2π3=√32，所以|x1−x2|的最大值为2π3−π3=π3，故选项D正确．故选：AD．利用三角函数的对称性，求出f(x)的解析式，然后利用周期公式判断选项A，由三角函数的对称性判断选项B，由三角函数的图形变换判断选项C，利用直线与函数f(x)有两个交点，即可判断选项D．本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数模型解析式的求解，三角函数单调性、奇偶性、对称性的应用，三角函数图形变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)=(1+1m )lnx−x+1mx(m≠0)，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1+1 mx −1−1mx2=−(mx−1)(x−1)mx2，当m<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=−1+1m<−1，故选项A正确；当x=1时，函数f(x)取得极大值，无极小值，所以f(x)只有一个极值点，故选项B错误；当0<m<1时，f(x)在(1,1m )上单调递增，在(1m,+∞)上单调递减，所以f(x)在(1,+∞)上不单调，故选项C正确；当m>1时，f(x)在(0,1m )上单调递减，在(1m,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且f(1)=−1+1m <−1，x→+∞limf(x)→−∞，因为函数g(x)=f(x)+2恰有两个零点，即方程f(x)=−2恰有两个解，即f(1m)=−2恰有两个解，整理可得3m−(m+1)lnm−1=0恰有两个解，令ℎ(m)=3m −(m +1)lnm −1， 则ℎ′(m)=2−1m −lnm ， ℎ′′(m)=1−a a 2<0对m >1恒成立，所以ℎ′(m)单调递减，又ℎ′(1)=1>0且m →∞limℎ′(m)→−∞，所以存在m 0∈(1,+∞)，使得ℎ′(m 0)=0在(1,m 0)上单调递增，在(m 0,+∞)上单调递减， 由ℎ(1)=2>0且m →∞lim ℎ(m)→−∞，所以存在唯一的m 1∈(m 0,+∞)，使得ℎ(m 1)=0，即存在唯一实数m 使得函数g(x)=f(x)+2恰有两个零点， 故选项D 正确． 故选：ACD ．利用导数求出f(x)的单调性，确定最值以及极值点判断选项A ，B ，由导数的正负确定函数的单调性判断选项C ，由函数f(x)的单调性确定g(x)恰有两个零点，等价于f(1m )=−2，再构造函数ℎ(m)=3m −(m +1)lnm −1，得出其单调性，证明m 的唯一性即可判断选项D ．本题考查了导数的综合应用，导数判断函数的单调性以及最值问题的应用，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．13.【答案】5【解析】解：∵2−a2−i =2−a(2+i)(2−i)(2+i)=2−2a+ai22+(−1)2=(2−2a5)−a5i 是纯虚数， ∴{2−2a 5=0a5≠0，解得a =5．故答案为：5．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a 值． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查两角差的正切公式，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．由题意利用两角差的正切公式求得tanα的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：已知tan(π4−α)=13=1−tanα1+tanα，∴tanα=12，则cos2α1−sin2α=cos2α−sin2αcos2α−2sinαcosα+sin2α=1−tan2α1−2tanα+tan2α=1−141−1+14=3，故答案为：3．15.【答案】96【解析】解：由S n+1=2S n+1，得S n+1+1=2(S n+1)，∵a1=2，∴S1+1=a1+1=3，则数列{S n+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，∴S n+1=3⋅2n−1，则S n=3⋅2n−1−1．∴a7=S7−S6=3⋅26−3⋅25=96．故答案为：96．把已知数列递推式变形，可得数列{S n+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，求得S n，再由a7=S7−S6求解．本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】(6e3+e36,+∞)【解析】解：f′(x)=(x2+2x−3)e x=(x+3)(x−1)e x，令f′(x)=0得，x=−3或1，当x<−3时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞,−3)上单调递增，且f(x)>0，当−3<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)在(−3,1)上单调递减，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)极大值=f(−3)=6e3，f(x)极小值=f(1)=−2e，令f(x)=t ，则方程t 2−mt +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，且一个根在(0,6e 3)内，一个根在(6e 3,+∞)内，或者两个根都在(−2e,0)内，或者一个根在(−2e,0)内，一个根为6e 3， 因为m 为正数，所以t 1+t 2=m >0，又t 1t 2=1，所以t 1，t 2 都为正根， 所以两个根不可能在(−2e,0)内，令g(x)=x 2−mx +1，因为g(0)=1>0， 所以只需g(6e 3)<0，即36e 6−6m e 3+1<0，得m >6e3+e 36，即m 的取值范围为：(6e 3+e 36,+∞)，故答案为：(6e3+e 36,+∞)．先利用导数得到f(x)极大值=f(−3)=6e 3，f(x)极小值=f(1)=−2e ，令f(x)=t ，则方程t 2−mt +1=0有两个不同的实数根，且一个根在(0,6e 3)内，一个根在(6e 3,+∞)内，令g(x)=x 2−mx +1，因为g(0)=1>0，所以只需g(6e 3)<0，即36e 6−6m e 3+1<0，从而解得m 的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．17.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sinx ，x ∈R ，函数f(x +θ)=sin(x +θ)是偶函数，∴θ=kπ+π2，k ∈Z ．当θ∈[0,3π2)，θ=π2．(2)函数y =[f(x +π12)]2+[f(x +π4)]2−1=sin 2(x +π12)+sin 2(x +π4)−1=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2−1=12[sin2x −cos(2x +π6)]=12(sin2x −cos2xcos π6+sin2xsin π6)=12(32sin2x −√32cos2x)=√32(√32sin2x −12cos2x)=√32sin(2x −π6).∵x ∈[π12,2π3]，∴2x −π6∈[0,7π6]，sin(2x −π6)∈[−12,1]，故√32sin(2x −π6)∈[−√34,√32]，故函数的值域为[−√34,√32].【解析】(1)由题意利用三角函数的奇偶性，求得θ的值．(2)由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查三角函数的奇偶性，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则{a 22=a 1⋅a 5a 3=a 1+2d =5，即{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)a 1+2d =5， 解答{d =2a 1=1或{d =0a 1=5(舍)， ∴a n =2n −1.， (2)∵b n =1a 2n ⋅a 2n+2=1(4n−1)(4n+3)=14(14n−1−14n−3)，T n =b 1+b 2+...+b n =14(13−17+17−111+...+14n−1−14n+3) =14(13−14n+3)=112−116n+12=n12n+9．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，则{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)a 1+2d =5，解答q ，a 1，即可；(2)可得b n =1a2n ⋅a 2n+2=1(4n−1)(4n+3)=14(14n−1−14n−3)，累加即可；本题考查了等差数列、等比数列的性质，考查了裂项求和，属于中档题．19.【答案】解：(1)由sinB−sinAb−c=sinC a+b及正弦定理得：(b −a)(b +a)=(b −c)c ，所以a 2=b 2+c 2−bc ， 所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)，所以A =π3；(2)a =√3，A =π3，由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =√3sin π3=2，所以b+c 2=(sinB +sinC)=sinB +sin(2π3−B)=2sin π3cos(B −π3)=√3cos(B −π3)，因为△ABC 为锐角三角形，所以B ∈(π6,π2)， 则B −π3∈(−π6,π6)， 所以cos(B −π3)∈(√32,1]，所以b+c 2∈(32,√3].【解析】(1)利用正弦定理，化简sinB−sinAb−c=sinC a+b得(b −a)(b +a)=(b −c)c ，整理为a 2=b 2+c 2−bc ，利用余弦定理可得A 的大小． (2)由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =√3sin π3=2，可得b+c 2=(sinB +sinC)=sinB +sin(2π3−B)=√3cos(B −π3)，分析得到B ∈(π6,π2)，则B −π3∈(−π6,π6)，cos(B −π3)∈(√32,1]，继而可得答案．本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的三角函数关系，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ， ∴BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ， ∴直线BA ，BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2，0)，B(0,0，0)，D(2,0，1)，E(2,1，0)，C(0,0，1)，∴M(1,1，12)，∴EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，12)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，∵BP ⊥平面ABCD ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABCD 的一个法向量，∵EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1)×0+0×2+12×0=0，∴EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又EM ⊄平面ABCD ， ∴EM//平面ABCD ．(2)解：线段PD 上存在两个点N 使当PN =1，或53时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于2√10535． 理由如下：∵PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，设平面PCD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{2x =02x −2y +z =0， 令y =1，得n⃗ =(0,1，2)， 假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于2√10535， 设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,−2λ,λ)(0≤λ≤1)， ∴BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,2−2λ,λ)， ∴|cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅√9λ2−8λ+4=2√10535， ∴9λ2−8λ+53=0，解得λ=13，或59，∴线段PD 上存在两个点N 使当PN =1，或53时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于2√10535．【解析】(1)证明BP ⊥平面ABCD ，以B 为原点建立坐标系，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABCD 的法向量，求出EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×0+0×2+12×0=0，从而有EM//平面ABCD ； (2)假设存在点N 符合条件，设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，平面PCD 的法向量n ⃗ 的坐标，令|cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅√9λ2−8λ+4=2√10535解出λ，根据λ的值得出结论． 本题考查了线面平行的判断，考查空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)商店一年的利润L(万元)与售价x 的函数关系式为L =(x −10−a)(18−x)2，x ∈[13,17]；(2)因为L =(x −10−a)(18−x)2，x ∈[13,17]， 则L′(x)=(18−x)(38+2a −3x)， 令L′(x)=0，解得x =38+2a 3或x =18， 因为5≤a ≤8，则16≤38+2a 3≤18，①当16≤38+2a 3<17，即5≤a <6.5时，当x∈[13,38+2a3]时，L′(x)≥0，则L(x)单调递增；当x∈[38+2a3,17]时，L′(x)≤0，则L(x)单调递减，所以当x=38+2a3时，L(x)取得最大值L(38+2a3)=427(8−a)3；②当17≤38+2a3≤18，即6.5≤a≤8时，L′(x)≥0，则L(x)在[13,17]上单调递增，所以当x=17时，L(x)取得最大值L(17)=7−a，故Q(a)={427(8−a)3,5≤a<6.57−a,6.5≤a≤8．答：若5≤a<6.5，则当每件售价为38+2a3元时，商店一年的利润L最大，最大值Q(a)=427(8−a)3万元；若6.5≤a≤8，则当每件售价为17元时，商店一年的利润L最大，最大值Q(a)=7−a 万元．【解析】(1)由题意，列出商店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式即可，注意定义域的求解；(2)求出L′(x)，分16≤38+2a3<17和17≤38+2a3≤18两种情况，分别利用导数研究函数L(x)的单调性，确定最值即可．本题考查了函数在实际问题中的应用，利用导数研究函数最值的应用，分段函数的应用，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为数学问题进行研究，考查了逻辑推理能力与数学建模能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=(x+1)e x+mx+3，f′(x)=(x+2)e x+m，令g(x)=(x+2)e x+m，由g′(x)=(x+3)e x，当x<−3时，g′(x)<0，当x>−3时，g′(x)>0，所以f′(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增．(2)当n=−1时，不等式f(x)+g(x)=(x+1)e x+mx−3cosx+3≥14mx+1对x≥0恒成立，等价于4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0对x≥0恒成立，令q(x)=4(x+1)e x+3mx−12cosx+8，x≥0，则q′(x)=4(x+2)e x+3m+12sinx，q(0)=0，q′(0)=8+3m，令ℎ(x)=q′(x)=4(x+2)e x+3m+12sinx，x≥0，则ℎ′(x)=4(x+3)e x+12cosx=4xe x+12(e x+cosx)>0对x≥0恒成立，从而有q′(x)在[0,+∞)上单调递增，①当m≥−83时，q′(x)≥q′(0)≥0，q(x)在[0,+∞)上单调递增，q(x)≥q(0)=0，即4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0对x≥0恒成立，②当m<−83时，q′(0)=8+3m<0，q′(1−34m)=4(3−34m)e1−34m+3m+12sin(1−34m)>12−3m+3m+12sin(1−3 4m)=12+12sin(1−34m)>0，存在x0∈(0,1−34m)，使得q′(x0)=0，当0<x<x0时，q′(x)<0，q(x)在(0,x0)上单调递减，当0<x≤x0时，q(x)<q(0)=0，故4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0不成立，综上，m的取值范围是m≥−83．【解析】(1)求导得f′(x)=(x+2)e x+m，令g(x)=(x+2)e x+m，求导得g′(x)= (x+3)e x，分析g′(x)的正负，即可得出答案．(2)当n=−1时，不等式f(x)+g(x)=(x+1)e x+mx−3cosx+3≥14mx+1对x≥0恒成立，等价于4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0对x≥0恒成立，令q(x)=4(x+ 1)e x+3mx−12cosx+8，x≥0，只需q(x)min≥0，即可得出答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2021年高三数学9月月考试题文（含解析）【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。

解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。

总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励.第1卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M={1,2,3}，N={x|），则=( )A．{3} B．{2,3} C．{1,3} D．{1,2,3}【知识点】解不等式；集合运算. E1 A1【答案解析】A 解析：N={x|x>2}，所以={3}，故选A.【思路点拨】解出集合N中的不等式，从而求得.【题文】2．已知等比数列{}满足：．等，则=( )A． B． C．± D．±【知识点】等比数列的性质. D3【答案解析】B 解析：，所以，所以cos=，故选B.【思路点拨】由等比数列的性质得，所以cos=.【题文】3．已知，则的值为( )A． B． C． D．【知识点】诱导公式；二倍角公式. C2 C6【答案解析】D 解析：由得，所以，故选D.【思路点拨】由诱导公式得，再由二倍角公式得.【题文】4．已知命题，命题,则( )A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题【知识点】基本逻辑连结词及量词. A3【答案解析】C 解析：因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题是真命题，所以命题是真命题，故选C.【思路点拨】先判断题干中各命题的真假，再确定正确选项.【题文】5．若x>0, y>0且，则的最小值为( )A．3 B． C．2 D．3+【知识点】基本不等式求最值. E6【答案解析】D 解析：因为，所以x=-2y+1,即x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立，故选D.【思路点拨】由已知条件得到x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立.【题文】6．函数的大致图象是( )【知识点】导数的应用. B12【答案解析】B 解析：因为函数的定义域，所以得，经检验在上递增，在上递减，且最大值，故选B.【思路点拨】利用导数确定函数的单调性和最大值，从而求得正确选项.【题文】7．若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A． B． C． D．【知识点】奇函数定义；函数零点的意义. B4 B9【答案解析】C 解析：因为是函数的一个零点，所以，把，代入个选项得，选项C中，成立，故选C.【思路点拨】由已知得，把，代入个选项得，选项C正确.【题文】8．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知，，则cosA=( ) A． B． C． D．【知识点】解三角形. C8【答案解析】A 解析：由已知得，代入得，故选A.【思路点拨】根据已知条件可得a,b关于c的表达式，将其代入得所求结果.【题文】9．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是( )A．6 B．0 C．2 D．【知识点】线性规划. E5【答案解析】A 解析：画出可行域，由可行域面积为4得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6，故选A.【思路点拨】画出可行域，根据已知得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6.【题文】10．在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足，,则 cos A = ( ) A．0 B． C． D．【知识点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案解析】D 解析：AC=b, ,则AB=2b,根据题意得：= ,同理,因为，所以,整理得,即,所以，故选D.【思路点拨】把已知中涉及到的线段所对应的向量，都用向量表示，再用，得向量间的等量关系，从而求得cos A的值.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小l15分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．【题文】11．已知，其中i为虚数单位，则=____________.【知识点】复数的运算. L4【答案解析】5 解析：由得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【思路点拨】利用复数乘法变形已知等式，得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【题文】12．已知等差数列{}的前n项和为，若，则=____________.【知识点】等差数列的性质及前n项和公式. D2【答案解析】36 解析：由已知得，所以.【思路点拨】利用等差数列的性质及前n项和公式求解.【题文】13.已知为单位向量，,则____________.【知识点】向量的坐标运算. F2【答案解析】23 解析：设，因为为单位向量，所以①，又,所以②，由①②得3x+4y=23,所以3x+4y=23.【思路点拨】设，利用已知得到关于x,y的方程组求得x,y的值，或x,y的关系，代入关于x,y的表达式即可.【题文】14．设m，n，p∈R，且，，则p的最大值和最小值的差为__ __．【知识点】直线与圆有公共点的条件. H4【答案解析】解析：把m,n看成变量p看成字母常数，则方程有解的条件是，把直线代入圆消去n整理得：,由判别式得，解得，所以p的最大值和最小值的差为.【思路点拨】把m,n看成变量p看成字母常数，利用直线与圆有公共点的条件得p的最大值与最小值，从而求得p的最大值和最小值的差.【题文】15．函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤>-=,1)21(2,2sin2),1(log)(2015xxxxxxfxπ，若a,b,c,d是互不相等的实数，且，则a+b+c+d的取值范围为___ .【知识点】分段函数. B1【答案解析】(4，xx) 解析：设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得：当m趋向于0时，a、b都趋向于0，c、d都趋向于2，a+b+c+d趋向于0+0+2+2=4；当m趋向于1时，a趋向于-1，b、c都趋向于1，而d趋向于xx，a+b+c+d趋向于-1+1+1+xx=xx，所以a+b+c+d的取值范围为(4，xx).【思路点拨】作函数的图像，设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得结论. 三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（13分）等差数列{}满足：，，其中为数列{}前n项和．(I)求数列{}通项公式；(II)若，且，，成等比数列，求k值．【知识点】等差数列；等比数列. D2 D3【答案解析】（Ⅰ）n；（Ⅱ）4. 解析：（Ⅰ）由条件，；（Ⅱ），∵22329(21)4 k k ka a S k k k k k=⋅⇒=⋅+⇒=．【思路点拨】（Ⅰ）把等差数列的通项公式、前n项和公式，代入已知等式得关于的方程组，求得，进而求；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式、前n项和公式，求得，，，代入得关于k的方程解出k值.【题文】17．（13分）某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．【知识点】茎叶图；一组数据的数字特征；古典概型；I2 K2【答案解析】(Ⅰ)x=5，y=6，，，应选甲班参加；(Ⅱ) .解析：(Ⅰ)甲班的平均分为1748284(80)908355xx x+++++==⇒=，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．(Ⅱ) 分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为.【思路点拨】(Ⅰ)根据平均数、中位数、方差的计算公式求得各值，通过比较平均数、方差得选派参加比赛的班；(Ⅱ) 分及以上甲班有人，乙班有人，用列举法写出，从这人中抽取人的选法共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为. 【题文】18．（13分）已知函数(I)当a=2时，求曲线在点A(1，f（1）)处的切线方程；(II)讨论函数f(x)的单调性与极值．【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.解析：（Ⅰ）时，，，∴，又，故切线方程为：即.（Ⅱ）函数的定义域为，令①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求得曲线在点A处切线的斜率，从而写出切线方程；（Ⅱ）先确定函数的定义域，再求函数的导函数，由导函数大于0得，所以，①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【题文】19．（12分）设函数)0(41coscos)6sin()(2>-+⋅-=ϖϖϖπϖxxxxf图像上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=．(I)求的值；(II)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，，求的值域．【知识点】函数的图像与性质；解三角形. C4 C8【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 解析：(Ⅰ) ，由条件得，.(Ⅱ)由余弦定理：bcbccbAbccba343)(cos22222-=-+=-+=又，故，又，故由，，所以的值域为.【思路点拨】(Ⅰ)由二倍角公式、两角和与差的三角函数得，再由相邻最高点与最低点间距离为得周期T=2，从而求得的值；(Ⅱ)由已知条件及余弦定理得，又，故，又，故，由，，所以的值域为：.【题文】20.（12分）已知数列{}的前n 项和为，且满足．(I)证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；(II)数列{}满足，其前n 项和为，试求满足的最小正整数n ．【知识点】数列综合问题. D5【答案解析】（Ⅰ）证明数列为等比数列.略, ；（Ⅱ）8.解析：（Ⅰ）当时，；当时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即（），且，故为等比数列（）.（Ⅱ）设 ………………① 23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… …………② ①②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴， ∴，21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数【思路点拨】（Ⅰ）利用公式将已知递推公式转化为关于的递推公式，从而证得数列为等比数列，由此进一步求得；（Ⅱ）由条件求得，从而求得数列的前n 项和，所以21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数.【题文】21.（12分）对于函数与常数a ，b ，若恒成立，则称（a ，b ）为函数的一个“P 数对”：设函数的定义域为，且f(1)=3．(I)若（a ，b ）是的一个“P 数对”，且，，求常数a ，b 的值；(Ⅱ)若(1，1)是的一个“P 数对”，求；(Ⅲ)若()是的一个“P 数对”，且当时，，求k 的值及在区间上的最大值与最小值．【知识点】函数综合问题. B14【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．解析：（Ⅰ）由题意知，即，解得：（Ⅱ）由题意知恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列故，又，故．（Ⅲ）当时，，令，可得，解得，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．【思路点拨】（Ⅰ）根据“P数对”的定义及已知得，关于a,b的方程组，求得a,b值；（Ⅱ）因为(1，1)是的一个“P数对”，所以恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列，因为，故.（Ⅲ）因为当时，，又f(1)=3，所以，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为． 22768 58F0 声J21875 5573 啳29828 7484 璄i 34377 8649 虉j 34293 85F5 藵25978 657A 敺20705 50E1 僡 +。

2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是．5．如图所示的流程图，输出的n= ．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= ．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．xx学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1，2} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．解答：解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是 2 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：先求得数据的平均数，再利用方差计算公式计算．解答：解：==10，∴方差Dx=×（4+1+0+1+4）=2．故答案为：2．点评：本题考查了由茎叶图求数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．5．如图所示的流程图，输出的n= 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为6π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2．解答：解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．点评：考查了学生的空间想象力．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= 40 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．解答：解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．（14分）（xx秋•泗洪县校级期中）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．解答：解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．解答：（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．点评：本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆方程．（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，由此能求出直线方程．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，），∴，∴a=2c，…（2分）∴b2=a2﹣c2=3c2设椭圆方程为：，∴∴椭圆方程为：…（7分）（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，∴﹣x0=2，m﹣y0=3﹣2m，即x0=﹣2，y0=3m﹣3，代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）∴．…（16分）点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a n}的通项公式，进一步求得{b n}是等比数列，则其前n项和s n可求；（2）把b n=3n代入b n=a n•a n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由b n=n+2得到a n a n+1=n+2，进一步得到，代入++…+整理后利用基本不等式证得结论．解答：（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{a n}为等比数列，则，∴．当a=1时，b n=1，则s n=n；当a≠1时，．（2）解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n（n≥2，n∈N），∴．当n=2k+1（k∈N*）时，∴；当n=2k，（k∈N*）时，∴．∴．（3）证明：∵a n a n+1=n+2 ①，∴a n﹣1a n=n+1（n≥2）②，①﹣②得∴=（a3﹣a1）+（a4﹣a2）+…+（a n+1﹣a n﹣1）=a n+a n+1﹣a1﹣a2∴=．∵，∴＞﹣3．点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）构造函数F（x）=e x﹣x﹣1，求函数的导数即可证明f（x）≥x+1；（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g（x）图象在点A （x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求函数的导数，利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．解答：解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．点评：本题主要考查导数的综合应用，综合性较强，运算量较大．25479 6387 掇36279 8DB7 趷h31814 7C46 籆31899 7C9B 粛c>37172 9134 鄴638874 97DA 韚21629 547D 命Q23777 5CE1 峡。

湖北省 高三9月月考数学(文)试卷本试题卷共4页，三大题24小题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★★注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知33(23)i z i -=⋅-，那么复数z 在平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知向量(1,)a n =，(1,)b n =-，若a b ⊥，则a = A ．1B ．2C ．2D ．43、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为 原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 A ．cos y x =- B ．sin 4y x =C ．sin()6y x π=-D ．sin y x =4、下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00x e≤ B ．函数2()2x f x x =-有两个零点 C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件5、若01,x y <<<则下列不等式成立的是A. 11()()22x y <B. 1133x y --< C. 11log log 22x y < D. log 3log 3x y <6、已知sin cos 2αα-=，(0,)απ∈，则tan α=A ．－1B ．－22 C.22D ．1 7、函数1xy a a=-(0a ≠，且1a ≠)的图象可能是( )8、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-.则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为A ．{}1,3B ．{}3,1,1,3--C ．{}27,1,3-D ．{}27,1,3--9、若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=A ．13- B. 79- C. 79D. 1310、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+； 当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++= ( ) A ．335 B ．338 C ．1678 D ．201211、设O 为ABC ∆所在平面内一点．若实数,,x y z 满足0xOA yOB zOC ++=，其中222(0)x y z ++≠,则“0xyz =”是“点O 在ABC ∆的边所在直线上”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件12、如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且AC AD λ=， 若BD CE ⊥，则=λ A.177 B. 178 C. 179 D. 1710第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2021年高三上学期9月月考数学理试卷 Word 版含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，集合B ＝{－2，－1，0，1，2}，则（∁R A)∩B=（ ）A ．{0,1,2}B ．{-2,-1}C ．{0}D ．{-2,-1,0}2．已知命题:,,那么命题为（ ） A ． B ． C ．D ．3．下列函数中，既是奇函数，又是在区间（0，1）上单调递增的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知，则的值等于 A ．B ．C ．D ．5．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）6．已知函数为定义在R 上的奇函数，当时，为常数），则的值是( ) A ． B ． C ． D ． 7．若)0)(sin(3)(:;,22:≠+=∈+=ωϕωππϕx x f q Z k k p 是偶函数，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝3x -2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为()B.A ．－12B ．1C ．4D ．59．在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 10．若,则值为（ ） A ．3 B ． C ． D ． 11．已知为R 上的可导函数，当时，，则关于x 的函数的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或 2 12．定义在上的函数，当时，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）13．设函数 则的单调减区间为___________． 14．函数,（均为常数）,且,则 ．15．定义在R 上的偶函数在[0，)上是增函数，则方程的所有实数根的和为 ． 16．给出下列命题：①若是锐角的内角,则；②存在实数,使；③直线是函数图象的一条对称轴；④函数的图象向右平移个单位,得到的图象．其中正确的命题是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x x f 4sin 4sin 223cos πππ， （I ）求函数的最小正周期；（II ）求函数在区间上的最值及相应的x 的值．18．（本小题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－12x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：不等式(12)x +1－a <0对均成立．(I)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(II)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知．(I)若的面积等于，求；(II)若，求的面积．20．（本小题满分12分）某大桥长3150米，通过大桥的车速不能超过30米/秒，一个由10辆同一车型组成的车队匀速通过该大桥．设车队的速度为x米/秒，根据安全的需要，相邻两车至少保持米的距离，其中为常数且．从第一辆车上桥到最后一辆车下桥（不记车长）所用时间为y（秒）．（I）若大桥限制最低速度为20米/秒，则两车之间的最低安全距离为多少？（II）求车队通过大桥所用时间取最小值时，车队的速度．21．（本小题满分12分）设点、是函数的图象上的任意两点，且角的终边经过点P．当时，的最小值为．（I）求函数的解析式；（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝ax2＋12bx(a，b∈R)．(I) 若b＝6且h(x)＝f(x－1)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(II)若a＝0，b＝2，求证：当x∈(－1，＋∞)时，f(x)－g(x)≤0恒成立；(III)利用(II)的结论证明：若x>0，y>0，x≠y，则x ln x＋y ln y>(x＋y)ln x＋y 2.郴州市二中xx届高三9月月考答卷数学（理科）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）13.______________________; 14.___________________________;15.______________________; 16.___________________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17.（本小题满分10分）19.（本小题满分12分）21.（本小题满分12分）郴州市二中xx 届高三9月月考试卷数学（理科）参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，）13. ; 14. 2; 15.4; 16. ①③.三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．解：(I)()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x x f 4sin 4sin 223cos πππ ()()x x x x x x sin cos sin cos 2sin 232cos 21-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=32sin 32cos 2sin 232cos 21πx x x x ． ． …………………………………………………………5分(II) ,． 所以，，此时，即；，此时，即．…………………………………………………………10分18．解：(I)若命题p 为真，即ax 2－12x ＋116a >0对任意x 恒成立．(ⅰ)当a ＝0时，不合题意；(ⅱ)当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，14－14a 2<0，解得a >1.所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．……………………………………………6分 (II) 命题q ：不等式(12)x +1－a <0对均成立．即(12)x < a －1，所以 a －1>[(12)x ]max =2， 因此，若命题q 为真，则a >3.由命题“p 或q ”为真且“p 且q ”为假，得命题p 、q 一真一假．所以实数a 的取值范围是(1,3]． ……………………………………………12分 19．解：(I )由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得．……………………………………………………………5分(II )由题意得B A B A B A B A B B sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 4+=+-， 即， ……………………………………………7分 当时，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得．………………10分所以,不论如何，的面积．…………………12分20.解：（I ）两车之间的安全距离：2211()50()5024g x ax x a x a a=++=++-，时，是增函数．（米） …………………………………5分 （II ）车队通过大桥所用时间：29(50)3150360099(030)ax x y ax x x x+++==++<≤ ……………8分当时，22236009(400)(0,30],'90ax x y a x x-∈∴=-=< 时， ………………………………10分当时，360099y ax x =++≥=当且仅当时，取得最小值． ……………………………12分21.解：(I)角ϕ的终边经过点P(，-1)，∵，∴ϕ=. 由于=，且的最小值为， 所以T=，即，∴ω=3，∴ ………………………………5分 (II) 当时，，，…………………7分 ①当时，因为，所以，可化为所以，由，可知；…………………9分 ②当时，因为，可化为所以，由，可知．……………11分因此，实数的取值范围是或． …………………………12分22.解：(I)当b ＝6时，h (x )＝ln x －ax 2－3x∴h ′(x )＝1x －2ax －3.∵h (x )有单调减区间，∴h ′(x )<0有解，即1－2ax 2－3xx <0 ∵x >0，∴2ax 2＋3x －1>0有解． (ⅰ)当a ≥0时符合题意；精品文档实用文档 (ⅱ)当a <0时，Δ＝9＋8a >0，即a >－98，所以，－98<a <0. 综上所述，a 的取值范围是(－98，＋∞)． …………………………………………4分(II)当a ＝0，b ＝2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1. ∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表： ↗ ↘ ∴当x ＝0∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立．…………………………………8分 (III)证明：∵x >0，y >0，∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )ln x ＋y 2＝x ⎝⎛⎭⎫ln x －ln x ＋y 2＋y ⎝⎛⎭⎫ln y －ln x ＋y 2 ＝x ln 2x x ＋y ＋y ln 2y x ＋y＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y 2y ＝－x ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y . ∵x >0，y >0，x ≠y ，∴y －x 2x +1=y +x 2x >0, y －x 2x >－1,且y －x 2x ≠0，由(2)有ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x <y －x 2x 同理ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y <x －y 2y . ∴ －x ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0 ∴ x ln x ＋y ln y >(x ＋y )lnx ＋y 2. …………………………………………12分 20933 51C5 凅27630 6BEE 毮30756 7824 砤HIEk21379 5383 厃31649 7BA1 管|0(W21741 54ED 哭。