定积分在生活中的应用

院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用

年级专业 : 11级市场营销班

学生姓名 : 孙 天 鹏

定积分在生活中的应用

PINGDINGSHAN UNIVERSITY 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数fx在区间,ab上有界. ①在,ab中任意插入若干个分点011nnaxxxxbL,把区间,ab分成n个小区间01121,,,,,,,nnxxxxxxL且各个小区间的长度依次为110xxx，

221xxx，…，1nnnxxx。 ②在每个小区间1,iixx上任取一点i，作函数if与小区间长度ix的乘积iifx（1,2,,inL），

③作出和 1niiiSfx。记12max,,,nPxxxL作极限01limniiPifx



如果不论对,ab怎样分法，也不论在小区间1,iixx上点i怎样取法，只要当0P时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在区间,ab上的定积分（简称积分），记作bafxdx，即 bafxdx=I=01limniiPifx,

其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，,ab叫做积分区间。 2．定积分的性质 设函数fx和gx在,ab上都可积，k是常数，则kfx和fx+gx都可积，并且 性质1 bakfxdx=bakfxdx; 性质2 bafxgxdx=bafxdx+bagxdx

bafxgxdx=bafxdx-bagxdx.

性质3 定积分对于积分区间的可加性 设fx在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的相对位置如何，都有cafxdx=bafxdx+cbfxdx。 性质 4 如果在区间,ab上fx1，则1badx=badx=ba。 性质 5 如果在区间,ab上fx0,则bafxdx0ab。

性质 6 如果在],[ba上,Mxfm)(,则baabMdxxfabm)()()( 性质 7（定积分中值定理）如果)(xf在],[ba上连续，则在],[ba上至少存一点使得 baabfdxxf))(()( 3．定理 定理1 微积分基本定理 如果函数fx在区间,ab上连续,则积分上限函数x=xaftdt在,ab上

可导,并且它的导数是 'x=xadftdtdx=fxaxb. 定理 2 原函数存在定理 如果函数fx在区间,ab上连续,则函数x=xaftdt就是fx在,ab上的一个原函数.

定理3 如果函数Fx是连续函数fx在区间,ab上的一个原函数, 则 bafxdx=FbFa 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. 二 、定积分的应用 1、定积分在几何中的应用 （1）设连续函数)(xf和)(xg满足条件)(xg)(xf，x],[ba．求曲线

y)(xf，y)(xg及直线bxax,所围成的平面图形的面积S．（如图1） 解法步骤： 第一步：在区间],[ba上任取一小区间],[dxxx，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以)]()([xgxf为高，以dx为底的矩形面积近似，于是dxxgxfdS)]()([． 第二步：在区间],[ba上将dS无限求和，得到badxxgxfS)]()([. （2）上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线)(yx、)(yx其中)()(yy与直线cy、dy所围成的平面图形（图2）的面积为： dcdyyyS)]()([

例1 求由曲线xysin，xycos及直线0x，x所围成图形的面积A． 解 （1）作出图形，如图所示．

易知，在],0[上，曲线xysin与xycos的交点为)22,4(； （2）取x为积分变量，积分区间为],0[．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分； （3）区间]4,0[上这一部分的面积1A和区间],4[上这一部分的面积2A

图2 分别为 401)sin(cosdxxxA

， 42)cos(sindxxxA，

所以，所求图形的面积为 21AAA=40)sin(cosdxxx+4)cos(sindxxx

22sincoscossin440xxxx．

例2 求椭圆22221xyab的面积. 解 椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即

10

44aSSydx 利用椭圆的参数方程 cossinxatybt



应用定积分的换元法,sindxatdt,且当0x时,,2txa时,0t,于

是 0222

0

20

4sin(cos)4sin1cos24214sin22240Sbtatdtabtdttabdttabtab







2．求旋转体体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割bxxxaTn10:划分成许多基本的小块，每一块的厚度为),,2,1(nixi，假设每一个基本的小块横切面积为),,2,1)((nixAi，)(xA为ba,上连续函数，则此小块的体积大约是iixxA)(，将所有的小块加起来，令0T，我们可以得到其体积：

baniiiTdxxAxxAV)()(lim

10 。

例2 求由曲线4xy, 直线 1x,4x,0y绕x轴旋转一周而形成的立体体积. 解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+xd]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为xd，底面积为2πy

的小圆柱体体积近似

代替， 即体积微元为 Vd=2πyxd=π2)4(xxd, 于是，体积 V=π

4

12d)4(x

x

=16π

4

12d1x

x

16π411x=12π.

3.求曲线的弧长 （1）设曲线)(xfy在ba,上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x为积分变量，在ba,上任取小区间xxxd,，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即dslMN.得弧长微元为： dxyyxMTs222)(1)d()d(d,再对其积分， 则曲线的弧长为：dxxfdxydssbababa22)]([1)(1

O x x x+dx xy=4 y 1 4 （2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线)()(tytx上,t一段的弧长.这时弧长微元为： 2222dxdy

dsdxdydtdtdt



即22dsttdt

则曲线的弧长为 dtttdss22)]([)]([ 例3 (1)求曲线 2332xy上从0到3一段弧的长度 解 由公式 s=xybad12 （ ba）知,弧长为 s=xyd1302=xx30d1=323023)1(x=31632=314. (2)求摆线 (sin),(1cos)xattyat 在20t上的一段弧的长度（0a）． 解 取t为积分变量，积分区间为]2,0[．由摆线的参数方程，得 )cos1(tax，taysin， tatayx222222sin)cos1( |2sin|2)cos1(2tata

．

于是，由公式（16-13），在20t上的一段弧的长度为22002|sin|2sin22ttsadtadt

2

04cos82taa



2、定积分在经济中的应用 （1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[,]ab上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]ab上的定积分： ()()()baRbRaRxdx （1） ()()()baCbCaCxdx （2）