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定积分在经济学中的应用文稿演示

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经济应用数学课件4.6定积分的应用

经济应用数学课件4.6定积分的应用
例6.4 设某产品在时刻 t 总产量的变化率为
经济应用数学
f(t)10012t0.6t2， 求：
（1）总产量函数 Q ( t )；
（2）从 t0 2 到 t1 4 这段时间内的总产量．
解 （1）总产量函数为
Q(t) t f (u)du t(10012u0.6u2)du
P(1,1),Q(4,2)
y 2 x
A
1[(2y)y2]dy
2
(2y
y2 2

y3)1 9 3 2 2
8
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2．旋转体的体积
经济应用数学
旋转体是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转 一周所形成的立体图形，这条直线叫做旋转轴．
下面我们计算由连续曲线 y f (x) 、直线 xa x b 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体
a
a
类似地，如图所示，由连续曲线 x ( y),
直线 y c, y d c d 以及 y 轴所围成的.
11
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经济应用数学
曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
d
V y π
x 2d y
c
π d [ g ( y )] 2 d y c
L (x)R (x)C (x) 7x 1 x2 (13x1x2)
2
6
4x 2x2 1 (万元) 3
（2） 当产量从4台增加到6台时，增加的总成本和总收入
分别为
C
6
C(x)dx

C
(
x
)
6

(完整版)定积分在经济中的应用

(完整版)定积分在经济中的应用

定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1）()()()baC b C a C x dx '-=⎰ （2）()()()baL b L a L x dx '-=⎰ （3）例 1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。

解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。

例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。

经济数学基础——定积分在经济学中的应用

经济数学基础——定积分在经济学中的应用

. -XX省高等教育自学考试定积分在经济学中的应用——定积分在经济学中的应用地市：XX市专业：投资管理：郭梦帆XX号：1XX号：3 联系：内容摘要经济数学根底本着根底教学为专业效劳及注重应用、培养能力的原那么，根据微积分、线性代数、概率统计的根本知识逻辑，以知识介绍为重点，详略得当；表达上力求简明、通俗，又不失科学性。

关键词：定积分微分经济学边际函数投资经济数学根底知识点1.一元函数极值设函数f〔x〕在X0的一个邻域内有定义，假设对于该邻域内异于X0的X恒有:f(x)<f(x0)，那么称f(X0)为函数的极大值，称X0为函数的极大值点.f(X)>f(X0)，那么f(X0)称为函数的极小值，称X0为极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为函数的极值点。

极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大〔小〕值不一定是区间上的最大〔小〕值，但就极值点附近的X围来说极大〔小〕值就是最大〔小〕值；区间上的极值点可能有假设干个。

2.二元函数极值设函数Z=f(x,y)在点(x0,y0)的邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点，如果都有f(x,y)<f(x0,y0)，那么称f(x0,y0)为函数Z=f〔x,y〕的极大值；如果都有f(x,y)>f(x0,y0)，那么称f(x,y)为函数Z=f(x,y)的极小值；极大值和极小值统称为二元函数Z=(x,y)的极值；使二元函数Z=〔x,y〕取得极大值的点或者极小值的点f(x0,y0)，称为极大值点或者极小值点；极大值点和极小值点统称为极值点．求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决．与一元函数类似，可以利用函数的极大值、极小值求解函数的最大值、最小值，但是由于自变量个数的增加，应特别注意概念中的一些变化和计算．对于二元以上的函数极值问题可类似的加以解决，如可以将二元函数极值问题的理论推广到多元函数的情形，以及利用泰勒公式推导出判断多元函数极值存在的充分条件、极值不存在的必要条件等。

(完整版)定积分在经济中的应用

(完整版)定积分在经济中的应用

定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1） ()()()ba Cb C a C x dx '-=⎰ （2） ()()()ba Lb L a L x dx '-=⎰ （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。

解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元 300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。

例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解 由于2200()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为20()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt'=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。

定积分在经济学中的应用

定积分在经济学中的应用

定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。

文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。

关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。

由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。

可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。

微积分是与应用联系着并发展起来的。

定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。

本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。

可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。

设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有dx x u u x u x)()0()(0⎰'+=例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。

解 总成本函数dx x c c x c x ⎰'+='0)()0()(=dx x x x )100143(1000002+-+⎰=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。

7.3 定积分在经济上的应用

7.3 定积分在经济上的应用

解 资本价值=收益流的现值投入资金的现值
W

10
0
200e0.05t dt 1000
10
200 0.05t e 1000 0.05 0
4000(1 e0.5 ) 1000
573.88 （万元）
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二、贴现问题（收益流的现值和将来值）
在讨论连续收益流时，为简单起见，假设以连续复利率r计息 若有一笔收益流的收益流量为P(t) (元/年)，且连续复利率为r 计算从现在开始t=0到T年后这一时间段收益流的现值及将来值 利用微元法 (1)在区间[0,T]内任取一小区间[t,t+dt] ， (2)在[t,t+dt]内将P(t)近似看做常数,则所应获得的金额近似等于 P(t)dt(元),在[t,t+dt]内 T rt 总现值 P(t )e rt dt 收益的现值 [ P(t )dt ]e
F ( x) F (0)

x 0
F ( x)dx
b
若要求经济函数从a到b的增量，则
F F (b) F (a) F ( x)dx
a
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例1 设生产某种商品每天的固定成本为200 元，边际成本函数 （元/单位），求总成本函数 C ( x)如果这种商 C ( x) 0.04x 2 品的单价为18元，且产品供不应求， 求总利润函数 L( x) ,并决 策每天生产多少单位可获得最大利润？ x 解 C ( x) C (0) C (t )dt
200

x

0
0
(0.04t 2)dt

6.6 定积分在经济上的应用

6.6 定积分在经济上的应用

B = ∫ f (t )er (T −t ) dt
0
T
若收入流(或支出流) f (t ) = a(常数) ，则称此为均 匀收入流(或支出流)．
例 题 四
求收入流为 1000(元 / 年) 在 20 年时间内的现值 与将来值，这里以 10%的年利率连续复利方式赢 取利息．
解
据公式有现值
P = ∫ 1000 ⋅ e
dF (t ) = f (t )) ，则从 a 时期到 b dt
时期净投资与资本存量之间的关系可用定积分表示为
F (b) − F (a) = ∫ f (t )dt
a
b
假设某个体老板在时期 t = 0 时拥有资本存量
例 题 六
解
500 000 元，除了资本折旧之外，计划在未来 10 年以
f (t ) = 600t 2 的速度进行新资本投资，计算从现
0 20 −0.1t
1000 −0.1t 20 dt = − e 0 0.1
= 10000(1 − e−2 ) ≈ 8646.65(元)
将来值
P = ∫ 1000 ⋅ e
0
20
0.1(20 −t )
1000 0.1(20−t ) 20 dt = − e 0 0.1
= 10000(e 2 − 1) ≈ 63890.56(元)
固定成本是 2000，试确定总成本函数．
总成本函数
C (Q) = ∫ (3Q 2 − 118Q + 1315)dQ + C0
0
Q
= Q 3 − 59Q 2 + 1315Q + 2000
例 题 二
解
．
已知某产品的边际成本 C '(Q) = 1 (万元/百台)，边际 收益 R '(Q) = 5 − Q (万元/百台)，其中 Q 为产量，固定 成本 1 万元，问（1）求收益函数和成本函数； （2）产量等于多少时利润最大?

6.5 定积分的经济应用(部分)

6.5 定积分的经济应用(部分)
C 此时的总成本为： (4) 19(万元)
及总收入为： R(4) 28
(万元).
6
2.已知净投资函数(流量)，求总资本量. 此式两边从 0 到 t 作定积分, 有
K ( t ) I ( x )dx K (0)
t 0
此公式的经济意义：任意时刻 t 的总资本量 K ( t )等于 t 区间 [0, t ] 内的新增资本 0 I ( x )dx 与初始时刻 t 0时 的资本(即初始资本)K (0) 之和. 这三量的直观意义如下图：
8
I
I I (t )
K
K K (t )
I ( x)dx
0
t
0
t
t
K (0)
0
t
I ( x)dx
0
t
t
显然，在时间间隔[a , b] 上，总资本的追加部分 (即[a , b]上的净投资量)为

b a
I ( x )dx K (b) K (a )
9
例2.设净投资函数 I ( t ) 10t (百万元/年)且当
(1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总 收入各增加多少? (2)已知固定成本C (0) 1万元.分别求出总成本、 总收益、总利润与产量 x 的函数关系式；
(3)产量为多少时,总利润最大；并求此时的最
大总利润,总成本及总收益各为多少?
4
解：(1)产量由1百台增加到5百台时总成本与总 5 x 收入分别为 C (4 )dx 19(万元) 1 4 5 R (9 x )dx 24(万元)
1
(2)因总成本是固定成本与可变成本的和,则总 成本函数为
C ( x ) C (0) C (t )dt 0 x t 1 2 1 (4 )dt 1 4 x x 0 4 8

定积分在经济分析中的应用

定积分在经济分析中的应用

r m ⋅t F = lim P (1 + ) = Pe r ⋅ t m→∞ m
若要从终值F求原来的投资初值 ，则有现值公式： 若要从终值 求原来的投资初值P，则有现值公式： 求原来的投资初值 − r ⋅t (*) P = Fe 此时，公式中的时间变量 为连续的变量 为连续的变量。 此时，公式中的时间变量t为连续的变量。 若仍假定收入流以每年a元的变化率进行，则在从 年到 若仍假定收入流以每年 元的变化率进行，则在从t年到 元的变化率进行 （t+∆t）年的小时间间隔内得到的收入（近似地）为a·∆t . ）年的小时间间隔内得到的收入（近似地）
由于R′(x)= MR(x) 由于
所以 R( x ) =
y S H N P Q O M
∫
x
0
M R ( x )dx + C
R(x) AR(x) MR(x)
x
由于R(0)=0，所以C=0, ，所以 由于
R( x ) =
∫
x
0
M R ( x )dx
(1 )
在几何图形上是以边际收益曲线M (x)为曲边的曲边梯形 在几何图形上是以边际收益曲线MR(x)为曲边的曲边梯形 OMQS的面积（图中阴影部分）。 的面积（图中阴影部分）。 的面积 当产量为x时 相应的平均收益为 当产量为 时，相应的平均收益为AR(x)，总收益为 ， R(x)=x· AR(x) （2） ） 在几何图形上总收益R(x)为矩形 为矩形OMPN的面积。 的面积。 在几何图形上总收益 为矩形 的面积
r mn F = P (1 + ) 已知） ( P已知） m r − mn P = F (1 + ) ( F已知） 已知） m
上述几个公式中的时间n都是离散取值的。 上述几个公式中的时间 都是离散取值的。 都是离散取值的 单笔投资P在连续复利（每年计息无数次）的条件下， 单笔投资 在连续复利（每年计息无数次）的条件下，t 在连续复利 年后的复利终值F为 年后的复利终值 为：

8_4 定积分在经济问题中的应用举例

8_4 定积分在经济问题中的应用举例
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息）
分析 在区间 [0,T]内任取一小区间 [t ,t + dt], 在[t ,t + dt]内所获得的金额近似为 P(t)dt ， 从 t =0 开始, P(t)dt 这一金额是在 t 年后的 将来获得的,因此在[t ,t + dt]内， 收益现值 [ P(t )dt ]e 总现值
rt
P(t )e rt dt

T
0
P(t )e rt dt
计算将来值时，P(t)dt 在 T-t 年获得利息,
从而在 [t ,t + dt] 内, 收益流的将来值 [ P(t )dt ]e
r (T t )
P(t )e
r (T t )
dt
总的将来值

T
0
P(t )er (T t ) dt erT 总现值
be0.1(10t ) dt 10b(e 1) 0 10e b 0.110 贷款本息和 100e e 1
10
(2) 100

0
10
0
20e
t
e10 (1 5 ) 1 dt
(3) W 20e
10
0.1t
200 dt 100 100 e
x x 0
u( x) u(t ) dt u(0)
经济应用函数 u(x) 常为需求函数、生产函数、 成本函数、收益函数等. 在经济管理中，可以利用 边际函数 u′(x), 求出总量函数 u(x) 或u(x) 在区间

定积分在经济方面的应用

定积分在经济方面的应用

B
s s0 O A x
称为不平均系数,反映分配不平均的程度, 称为不平均系数,反映分配不平均的程度, 记为CI. 记为 .
即用定积分表示为
∫0[ x L( x)]dx = 2 1[ x L( x)]dx CI = ∫0 1 ∫0xdx
1
�
2.洛 滋 线 不 均 数 CI ) 论 曲 与 平 系 (
洛伦兹曲线是一种描述社 会分配的曲线. 会分配的曲线. 经济学中用面积S与绝对平 经济学中用面积 与绝对平 均曲线(OB)和绝对不平衡 均曲线 和绝对不平衡 曲线(OAB)之间的面积 曲线 之间的面积 S+S0的比值
S S + S0
y 1
生产者剩余:
生产者愿以低于均衡价格 供给而实际仍以 0 (均衡价格 p ) 供给的事实中得到利益. S p 可用供给曲线 ( p)与直线 = p0
左边的面积表示, 左边的面积表示,
q
q=D(P)
q=S(p)
P = ∫ S( p)dp. s
pL
p0
q0 pL Ps p0Байду номын сангаасpU p
例子看书P199 .
第三节 定积分在经济上的应用
1.消费者剩余与生产者剩 余.
在经济管理中,需求函 数q = D(p)是 价格p的减函数, 供给函数 q = S(p)是 q q=D(P) 价格p的增函数.
需求曲线(函数) q = D ( p )与供给曲线 q0 (函数) q = S(p)的交点
q=S(p)
pL
p0
pU p

66定积分的应用 共15页PPT资料

66定积分的应用 共15页PPT资料

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(2) 总收益函数
已知边际收益函数 R (Q ), 则产品未销售前的收益 R0 R(0)0,
从而总收益函数
Q
R(Q)0 R'(Q)dQ.
(3) 总利润函数
总利润函数 L ( Q ) 为 L (Q )R (Q )C (Q ).
例7 设某种产品生产Q单位时的边际成本和边际收益分别为 C(Q) 3 1Q 与 R(Q)6Q 2
1 .
3 练习：P184 ,1(1).
2019/9/18
微积分II 第六章定积分
4
1,(1)由曲线 y x2 3在区间[0,1]上的曲边梯形的面积
解：作图
S 1(x2 3)dx 0

(1 3
x3

3x)
|10
(1 3) 3
10 . 3
y
3
0
1x
2019/9/18
微积分II 第六章定积分
1/3
x
1
(3xln|x|)|1 1/3(3x1 2x2)|1 3
4ln3.
2019/9/18
微积分II 第六章定积分7Βιβλιοθήκη 二、定积分在经济分析中的应用
1.已知边际函数求总函数.
在经济问题中, 经常都要涉及到各种经济量的总量. 这些总量,
在一定条件下, 也可用定积分来进行计算.
由牛顿——莱布尼兹公式知：若 f ( x ) 连续，则

x2
x 0

y

, 0
x 1 y 1
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及
(1, 1). 从而知道所求图形在
直线 x = 0 及 x = 1 之间.
则

定积分在经济学中的应用

定积分在经济学中的应用

论文题目定积分在经济学中的应用系别：数学系专业：数学与应用数学学号：2007101208姓名：卢欢定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。

文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。

关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。

由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。

可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。

微积分是与应用联系着并发展起来的。

定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。

本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。

可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。

设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有dx x u u x u x)()0()(0⎰'+=例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。

解 总成本函数dx x c c x c x ⎰'+='0)()0()(=dx x x x )100143(1000002+-+⎰=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。

定积分的经济应用

定积分的经济应用

练习答案
x 解：边际收益函数 R' ( x) 200 ，所以总收益函数
x x2 R( x) (200 )dx 200 x C 50 100
因为 R(0) 0 ，所以 C 0
x2 总收益函数 R( x) = 200 x ； 100
x 平均单位收益函数 R( x) 200 100
t =2 到 t =4 这两小时的总产量为：
P(4) P(2) 260.8
例1: 设某产品在时刻 t 总产量的变化率
f (t ) 100 12t 0.6t （单位/小时）
2
求 t =2 到 t =4 这两小时的总产量；
方法（2） ：设总产量 P(t ) 是 f (t ) 的原函数，即 P' (t ) = f (t ) ， 所以 t =2 到 t =4 这两小时的总产量为：
L' ' ( x) 0.4 0 ；
所以每天生产 40 个单位时利润最大，最大利润
L(40) 0.2 402 16 40 20 300 （元）
练习:
x 已知生产某产品 x 单位时，边际收益函数 R' ( x) 200 （元/单位） ， 50
试求生产 x 单位时总收益 R( x) 以及平均单位收益 R( x) ， 并求生产这种产品 2000 单位是的总收益以及平均收益。
2
解： （2）总收益函数 R( x) 18 x 总利润函数 L( x) R( x) C( x) 18x [0.2x 2x 20]
2
= 0.2 x 16 x 20
2
边际利润函数 L' ( x) 0.4 x 16 令 L' ( x) 0 ，解得 x =40，

定积分经济应用10

定积分经济应用10
S [ f ( x ) g( x )]dx
a b
注1 在选择积分变量时, 还要考虑图形特征.
4
1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与 x = b之间, 且其上 下曲线的方程分别为 y = ƒ(x)和 y = g(x) ，则图形的面积为
S [ f ( x ) g( x )]dx
13
o
a x b
x
在[a, b]上任取一个小区间[x, x + dx], 得一薄片的体积 微元(近似值)为 dV = S(x)dx
y
S(x)
o
a
x
x+dx
b
x
在[a, b]上作定积分, 得
V S ( x )dx
a b
14
类似地，若立体被夹在过 y 轴上的点 y = c 与 y = d
并垂直于 y 轴的两平面之间, 在[c, d]上的任意点 y 处
3
二.平面图形的面积
求平面图形面积的步骤:
(1) 选取积分变量 x (过点 x 作垂直
于 x 轴的直线穿区域D, 是一进一出) 或 y (过点 y 作垂直于y 轴的直线穿区 域 D, 是一进一出)及积分区间. (2) 写出面积微元dS;
o a
x x+dx
y y=ƒ(x)
y=g(x) b x
(3) 作定积分
垂直于 y 轴的截面面积 S( y )是 y 的连续函数, 则立体
的体积为
V S ( y )dy
c
d
15
例5 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与
底面交成角 , 计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解 建立如图所示的坐标系, 从而底面圆的方程为
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一、已知边际函数求总函数
问题：已知某边际经济函数，求该总经济量.
设某个经济函数 u(x)的边际函数为u(x), 则有
于是
xu(x)d xu(x)u(0)
0
u(x)u(0)xu(x)d.x 0
1. 已知生产某产品的边际成本为 C ( x ) ，x为产量， 固定成本为C(0), 则总成本函数为
x
定积分在经济学中的应用文稿演示
（优选）定积分在经 济学中的应用
4.边际
f(x) 在 x=x0处的边际值为f′(x0).
边际的经济意义:当xx0时, x 改变一个单位, y 改变
f(x0) 个单位 .
5.常用的边际函数
边际成本；边际收益；边际利润
第六章
定积分在经济学中的应用
➢ 一、已知边际函数求总函数 ➢ 二、资金流的现值和未来值
三、收益流的现值与未来值
1. 单利
假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内 都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.
设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和 为A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和为
An=A0+nA0r=A0(1+nr)． 这就是单利的本利和计算公式．
三、收益流的现值与未来值
2. 复利
这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被 计入下一期的本金. 就像常说的“利滚利”.
第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的 本利和为A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照 此计算,n年后应得本利和为
An＝A0(1＋r)n． 这就是一般复利的本利和计算公式.
C(80)C(40) C(x)dx 40 143.96 （万元）
当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;
80
R(80)R(40) R(x)dx 40 240 （万元）
二、由变化率求总量
例5 某工厂生产某商品, 在时刻 t 的总产量变化率
为 x(t)10 10 t2 (单位/小时). 求由 t = 2 到 t = 4 这两小时
C(x)0C(x)dxC(0)
2. 已知销售某产品的边际收益为 R(x)，x为销售量， R(0)=0, 则总收益函数为
x
R(x)0R(x)dx
3. 设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量， R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若 L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为： L (x)=R(x)-C(x).
lni m A0[(1nr)nr]rt
A0ert.
这就是连续复利公式．
3. 连续复利
期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时
每刻计算复利的方式称为连续复利. 因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：
（1）已知现值为A0, 则t年后的未来值为 At＝A０ert，
贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.
R(x) 30 2 x
1 x2
(万元/台).
5
(1) 若不变成本为C(0)=10 (万元/台),求总成本函数，
总收入函数和总利润函数；
(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;
解:
(1)总成本为 C ( x)
x
C(0)0 C(x)dx
x 150
10 [
1]dx
0 1x2
10150ln(x1x2)x
例2 已知边际收益为 R (x)7 8 2x , 设R(0) = 0, 求
收益函数R(x) .
解
x
R (x)R (0) (7 82x)dx
0
78xx2.
例3：设某商品的边际收益为 R(Q)200 Q
100
(1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益； (2) 如果已经销售了100个商品，求再销售
（2）已知未来值为At , 则贴现值为 A０ ＝ At 道, 若以连续复利率 r 计息, 一笔 P 元人民币 从现在起存入银行, t 年后的价值(将来值)
的总产量 .
解
总产量
4
4
Q x (t)d t (10 10 t)2 dt
2
2
[10t06t2]4 227. 2
例6 生产某产品的边际成本为C (x ) 1 5 0 .2 x 0 , 当
产量由200增加到300时, 需追加成本为多少?
解 追加成本
C 2300(0 10 500.2x)dx[15x 00.1x2]3 20 00 01000.0
由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是
总收入为
x
R(x)R(0) R(x)dx
0
x
2
00
(30 x)dx 5
30 x 1 x2 5
总利润函数为 L (x)R (x)C (x)
2 9x1x21 5 0ln (x1x2)1 0 5
(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;
80
因此总利润为：
x
L(x)0L(x)dxL(0)
x
0[R (x)C(x)]dxC(0)
例1 生产某产品的边际成本函数为
C (x)3x21x 4 100 固定成本 C(0) = 1000, 求生产 x 个产品的总成本函数 .
解 C(x)C(0) xC(x)dx 0 100 x(3 0 x2 1x 4 1)0 d0 x 0 10x 0 3 0 7x210 x.0
100个商品的总收益和平均收益；
解: (1) 总收益函数:
R(Q)
QR(Q)dQQ[200Q]dQ200Q 1 Q2
0
0
100
200
R(50)9987.5
平均收益: R(50) R(50) 199.75
50
例3：设某商品的边际收益为R(Q)200 Q
100
(1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益；
资金周转过程是不断持续进行的, 若一年中分n期计算, 年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为
A1＝A０(1＋ r/n )n， t年后本利和为
At＝A０(1＋ r/n )nt ，
若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n→∞时,
得t年后本利和为 At lni mA0(1nr)nt
(2) 如果已经销售了100个商品，求再销售
100个商品的总收益和平均收益；
解: (2) 总收益为:
R (200)R (100)
200
Q
[200 ]dQ
19850
100
100
平均收益: RR(200)R(100) 198.5
200100
例4：已知生产某产品x台的边际成本为C(x) 150 1
(万元/台)，边际收入为