平方差公式的透彻教法
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（ ６ ．） ６
表格设计意 图：
在剖析公式后 ， 通过上表 中的各式 ， 让学生加深学 习平方差公
▲问题 ： 中字母可 以表示什么？字母 可以表具体 的数 ， 式 也可 式 的本质 ：
４ 臣锄 Ｏ
２１ ０２年 １月 ８日
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课 例 交 流
借助现代媒体
漱 ｊ 课 堂教 ； ｉ 舂
▲初次实践 例． 多项式乘法中 ， 以用下方差公式计算的是 （ 下列 可
Ａ （ ）６ 口 ．叶６ （ ＋ ） Ｂ（ ＋ ）口 ６ ． ６ （－ ）
）
①什么样 的两个数是互 为相反数？ ②举例 说明两个多项式 、 个单 项式多是相 反数时 ， 两 各有 什
么特点？
ｃ 口） 丁） ． ＋（１ （ ６６ 。 ｝ 一
用平方差公式计算 ① （ ３ ）３ ） ６（６
（ （ １（ ） １ ）
Ｄ ） ． （ （ ６ ）
▲变式练习 ， 固公式本质特 征的印象 巩
▲创设情境 ， 由特殊 的式子计算 ， 引出代表一般性规律的公式
▲算 一算 ：
① （＋ ） － ） ４（ ＿ ＝ ４ ②（ ）３ ＝ ３ （吨）
３ ３ （ｍ ／ ２ ２ 和一 ４ ＋ ２＿ ／ ３
▲问题 ：从上面的各式中，同学们运用平方差公式进行计算 ▲师生活动 （ 由特殊到一般 引 出平方 差公 式 ）教师提 问 ， ： 学 时 ， 关键是什么？ 生通过探究 、 流， 交 发现规律 ： 式子左边是两个数 的和与这两个数 （ 关健 是找出相 同的部分和不同的部分， 然后运用公式进行运算） 的差 的积 ， 右边 是这两个数 的平 方差 ， 猜想 出平方 差公式 ：ａ ｂ （＋ ）
拓展新知 的过程 ， 发挥 学生的主体作 用 ， 强学 习兴 增 分母有理化 、 解一元 二次方程 、 函数等知识内容奠定基础 ， 因此平 巩 固旧知识 、 趣 的同时， 增加 了学生得到成功的喜悦 ） 方差公式在初 中阶段 的教学中也具有很重要的地位 。 但 是 ， 教学过 程 中 ， 在 我们 发现 ， 学 习了完全平 方公 式之 在 后 ， 生常常会 混淆这两个公式 ， 学 究其原因 ， 是我们在 教学 过程 中 没有讲透这两个公式 。本教案主要针对这点 ， 平方差公式的本 对 质特征——相同部分和相反部分 ， 使学生对平方 差公 式字母 抽象 淡化 ， 更易 于理解平方差公式 ， 对平方差公式进 行尝试教学。
课 例 交 流
２１ ０ ２年 １ ８日 月
平 方 差 公 式 的 透 彻 教 ， 癌
文， 霄 冰 杨
一
、
教 学 内容 分 析
以表示单项式 ， 还可 以表示多项式。 ▲师生一起分析公式的结构特征
平方差公式是初 中阶段的第 一个 公式 ， 是在 学习了有理数 运
算 、 简单 的代 数式 、 列 解一次方程及不等式、 整式 的加减及 整式乘
文， 刘宝才
新课程 改革在 《 育规划 纲要》 教 中首先 确立 了本 次课 程改革 “ 谁能说说圆柱各部分的名称及其特征？这一设计 ， ” 不仅复习了圆
的核心 目标 即课程功 能的转 变 ：改变课程过 于注重知识 的倾 向 ， 柱 的知识 ， 而且在“ 圆锥的认识” 时也起到了一个极好的铺垫作 用。 强调形成积极主动 的学习态度 ， 获得基础知识 与基本技能 的过 在认识 “ 使 圆锥 ” 各部 分 的名称 时 ， 我说“ 每组 的学生拿起桌 上的 圆
（ ６ ２ （— ） （ ＋ ）６ ３ ＝
－
（ ４ ＋２ ）４ ＋Ｌ ） ￣（ｍ ｎ ３（ｍ ｎ ３ ＋
分析 ： 式 子 相同部分 相反部分 计算结果
▲观察讨论 ： 观察上面计算 的结果 ， 你有什 么发现？ ▲问题 ： 照①②题 回答下列问题 ： 依 ①式子 的左边具有什么共 同特征？ ② 式子的右边结果有什 么特征？你发现右边结果 和左边结果
（ 通过 自主探 究、 合作 交流的学 习方式。 让学生经历探 索新知 、
先平方后差 ， 故这个公式 的名称叫平方差 。 的典型范例 。对它的学习和研究 ， 不仅给 出了特殊 的多项 式乘法 相反部分的平方 ，
的简便算法 ， 而且为 以 的因式分解 、 后 分式的化简 、 二次根式 中的
二、 教学重点
▲数形结合 ， 几何验证公式 的正确性
求 图中阴影部分的面积 ：
经历探 索平方差公 式的全过程 ，并 能运用公式 进行简单 的
运算 。
三、 教学 目标
推理能力 、 归纳能力。
分析 图中阴影部分的面积 ， 是大小两个正方形的面积差 ， 阴影 积之和 ， 即阴影 面积＝ 阴影梯形面积× 。这样 ， ２ 我们就可得 阴影面 积＝ 阴影梯形 面积ｘ ＝ ａ ｂ × ６ ÷ × ＝ 叶 ６ （＿ ） ２ （＋ ） （ ）２ ２ （ ）口 ６ ，最终
渡到具有特殊形式 的多项式的乘法 ， 是从一般 到特殊 的认 知规律
① 公式 左边共同特征 ： 边是 两个二项式相乘 ， 中“ 与 ａ 左 其 ａ ”
“ 与一 ” 法等知识 的基础上 ， 在学生 已经掌握 了多项 式乘法之后 ， 自然 过 是 相同部分 ，６ ６ 是相反部分 ；
②公式右边的结果特征： 右边是二项式， 相同部分的平方减去
①经历平方差公式的探索过程 ， 进一步发展 学生 的符号感和 面积 １ ：而阴影部分的面积也等 于图中两个完全一样 的梯形面 ．， － ６ ②掌握平 方差公式 的 构特征 ， 结 能运用公式进行简单运算 。
四、 教学实施过程 ▲知识的复习
（ ）ｏ ６ － ： ￣－ ③会用几何图形说 明公式 的意义， 体会数形结合的数学思想 。 我们得证 ：叶６ （ － ）． ｂ
有什 么联 系？
① （ ３ ）３ ） ６ （６
（ （ １ （ １ ）— ）
口
一６ ３ Ｌ ３ ） ３ 和 ６ ａ （ｂ
１和一 （ ） １ ｌ — １ ２ ＿
③式为什么没有得出①②的相似结果？
④能不能用字母表示你 的发现？
（（ｍ ｎ ３ （ｒ ｎ － ４ ＋２ ￣ ４ ＋Ｚ ） ｅ ２３ ） ＋ ４ ＋ －） ｍ ， ｌ
表格设计意 图：
在剖析公式后 ， 通过上表 中的各式 ， 让学生加深学 习平方差公
▲问题 ： 中字母可 以表示什么？字母 可以表具体 的数 ， 式 也可 式 的本质 ：
４ 臣锄 Ｏ
２１ ０２年 １月 ８日
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课 例 交 流
借助现代媒体
漱 ｊ 课 堂教 ； ｉ 舂
▲初次实践 例． 多项式乘法中 ， 以用下方差公式计算的是 （ 下列 可
Ａ （ ）６ 口 ．叶６ （ ＋ ） Ｂ（ ＋ ）口 ６ ． ６ （－ ）
）
①什么样 的两个数是互 为相反数？ ②举例 说明两个多项式 、 个单 项式多是相 反数时 ， 两 各有 什
么特点？
ｃ 口） 丁） ． ＋（１ （ ６６ 。 ｝ 一
用平方差公式计算 ① （ ３ ）３ ） ６（６
（ （ １（ ） １ ）
Ｄ ） ． （ （ ６ ）
▲变式练习 ， 固公式本质特 征的印象 巩
▲创设情境 ， 由特殊 的式子计算 ， 引出代表一般性规律的公式
▲算 一算 ：
① （＋ ） － ） ４（ ＿ ＝ ４ ②（ ）３ ＝ ３ （吨）
３ ３ （ｍ ／ ２ ２ 和一 ４ ＋ ２＿ ／ ３
▲问题 ：从上面的各式中，同学们运用平方差公式进行计算 ▲师生活动 （ 由特殊到一般 引 出平方 差公 式 ）教师提 问 ， ： 学 时 ， 关键是什么？ 生通过探究 、 流， 交 发现规律 ： 式子左边是两个数 的和与这两个数 （ 关健 是找出相 同的部分和不同的部分， 然后运用公式进行运算） 的差 的积 ， 右边 是这两个数 的平 方差 ， 猜想 出平方 差公式 ：ａ ｂ （＋ ）
拓展新知 的过程 ， 发挥 学生的主体作 用 ， 强学 习兴 增 分母有理化 、 解一元 二次方程 、 函数等知识内容奠定基础 ， 因此平 巩 固旧知识 、 趣 的同时， 增加 了学生得到成功的喜悦 ） 方差公式在初 中阶段 的教学中也具有很重要的地位 。 但 是 ， 教学过 程 中 ， 在 我们 发现 ， 学 习了完全平 方公 式之 在 后 ， 生常常会 混淆这两个公式 ， 学 究其原因 ， 是我们在 教学 过程 中 没有讲透这两个公式 。本教案主要针对这点 ， 平方差公式的本 对 质特征——相同部分和相反部分 ， 使学生对平方 差公 式字母 抽象 淡化 ， 更易 于理解平方差公式 ， 对平方差公式进 行尝试教学。
课 例 交 流
２１ ０ ２年 １ ８日 月
平 方 差 公 式 的 透 彻 教 ， 癌
文， 霄 冰 杨
一
、
教 学 内容 分 析
以表示单项式 ， 还可 以表示多项式。 ▲师生一起分析公式的结构特征
平方差公式是初 中阶段的第 一个 公式 ， 是在 学习了有理数 运
算 、 简单 的代 数式 、 列 解一次方程及不等式、 整式 的加减及 整式乘
文， 刘宝才
新课程 改革在 《 育规划 纲要》 教 中首先 确立 了本 次课 程改革 “ 谁能说说圆柱各部分的名称及其特征？这一设计 ， ” 不仅复习了圆
的核心 目标 即课程功 能的转 变 ：改变课程过 于注重知识 的倾 向 ， 柱 的知识 ， 而且在“ 圆锥的认识” 时也起到了一个极好的铺垫作 用。 强调形成积极主动 的学习态度 ， 获得基础知识 与基本技能 的过 在认识 “ 使 圆锥 ” 各部 分 的名称 时 ， 我说“ 每组 的学生拿起桌 上的 圆
（ ６ ２ （— ） （ ＋ ）６ ３ ＝
－
（ ４ ＋２ ）４ ＋Ｌ ） ￣（ｍ ｎ ３（ｍ ｎ ３ ＋
分析 ： 式 子 相同部分 相反部分 计算结果
▲观察讨论 ： 观察上面计算 的结果 ， 你有什 么发现？ ▲问题 ： 照①②题 回答下列问题 ： 依 ①式子 的左边具有什么共 同特征？ ② 式子的右边结果有什 么特征？你发现右边结果 和左边结果
（ 通过 自主探 究、 合作 交流的学 习方式。 让学生经历探 索新知 、
先平方后差 ， 故这个公式 的名称叫平方差 。 的典型范例 。对它的学习和研究 ， 不仅给 出了特殊 的多项 式乘法 相反部分的平方 ，
的简便算法 ， 而且为 以 的因式分解 、 后 分式的化简 、 二次根式 中的
二、 教学重点
▲数形结合 ， 几何验证公式 的正确性
求 图中阴影部分的面积 ：
经历探 索平方差公 式的全过程 ，并 能运用公式 进行简单 的
运算 。
三、 教学 目标
推理能力 、 归纳能力。
分析 图中阴影部分的面积 ， 是大小两个正方形的面积差 ， 阴影 积之和 ， 即阴影 面积＝ 阴影梯形面积× 。这样 ， ２ 我们就可得 阴影面 积＝ 阴影梯形 面积ｘ ＝ ａ ｂ × ６ ÷ × ＝ 叶 ６ （＿ ） ２ （＋ ） （ ）２ ２ （ ）口 ６ ，最终
渡到具有特殊形式 的多项式的乘法 ， 是从一般 到特殊 的认 知规律
① 公式 左边共同特征 ： 边是 两个二项式相乘 ， 中“ 与 ａ 左 其 ａ ”
“ 与一 ” 法等知识 的基础上 ， 在学生 已经掌握 了多项 式乘法之后 ， 自然 过 是 相同部分 ，６ ６ 是相反部分 ；
②公式右边的结果特征： 右边是二项式， 相同部分的平方减去
①经历平方差公式的探索过程 ， 进一步发展 学生 的符号感和 面积 １ ：而阴影部分的面积也等 于图中两个完全一样 的梯形面 ．， － ６ ②掌握平 方差公式 的 构特征 ， 结 能运用公式进行简单运算 。
四、 教学实施过程 ▲知识的复习
（ ）ｏ ６ － ： ￣－ ③会用几何图形说 明公式 的意义， 体会数形结合的数学思想 。 我们得证 ：叶６ （ － ）． ｂ
有什 么联 系？
① （ ３ ）３ ） ６ （６
（ （ １ （ １ ）— ）
口
一６ ３ Ｌ ３ ） ３ 和 ６ ａ （ｂ
１和一 （ ） １ ｌ — １ ２ ＿
③式为什么没有得出①②的相似结果？
④能不能用字母表示你 的发现？
（（ｍ ｎ ３ （ｒ ｎ － ４ ＋２ ￣ ４ ＋Ｚ ） ｅ ２３ ） ＋ ４ ＋ －） ｍ ， ｌ
