2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共四页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名 、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．若事件,B A 互斥，则()()()P A B P A P B +=+；若事件,B A 独立，则()()()P AB P A P B =⋅．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．（1）若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --（2）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则 U A B （）ð为（ ）（A ）{1,2,4} （B ）{2,3,4} （C ）{0,2,4} （D ）{0,2,3,4}（3）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数2()(2)g x a x =-在R上是增函数”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要 （4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，便后落入[451,750]做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）15（5）已知点(,)x y 满足约束条件{2441x y x y +≤-≥-，则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2--（C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-（6）执行右面的程序框图，若输入4a =，则输出的n 的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（7）若[,],sin 22ππθθ∈=4sin θ=（ ）（A ）35 （B ）45 （C （D ）34（8）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，且当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)...(2012)f f f f ++++=（ ）（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012 （9）函数cos 622xxx y -=-的图像大致为（ ）（10）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率为221x y -=的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）（A ）22182y x += （B ）221126y x += （C ）221164y x += （D ）221205y x += （11）现有16张不同的卡片，其中红、黄、蓝、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） （A ）232 （B ）252 （C ）472 （D ）484（12）设函数1()f x x=，2()(,R ,0)g x ax bx a b a =+∈≠，若()y f x =的图像与()y g x =的图像有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ） （A ）当0a <时，12120,0x x y y +<+>（B ）当0a <时，12120,0x x y y +>+< （C ）当0a >时，12120,0x x y y +<+< （D ）当0a >时，12120,0x x y y +>+>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）若不等式|4|2kx -≤的解集为{|13}x x ≤≤，则实数k =________． （14）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA BB 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为__________．（15）设0a >，若曲线y =,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =_____________．（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为______________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．（17）（本小题满分12分）已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A x x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在5[0,]24π上的值域．（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 是等腰梯形， ,AB CD 60,DAB ∠= F C ⊥平面,ABCD AE BD ⊥， C B C D C F ==．（Ⅰ）求证B D ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F B D C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E X ．A BCDFE（20）（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为{}n b ，求数列{}n b的前m 项和m S ．（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x py =(0)p >的焦点，M 是抛物线C 上 位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线 的距离为34．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点?M 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M 1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22||||AB DE +的最小值．（22）（本小题满分13分）已知函数ln ()x x k f x e+=（k 为常数， 2.71828...e =是自然对数的底数），曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+，其中'()f x 是()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2()1g x e -<+．2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案一、选择题二、填空题（13）2 （14）16 （15）49（16）(2sin 2,1cos 2)--三、解答题（17）解：（Ⅰ）()=⋅f x m nsin cos cos 2212cos 2)2sin(2)A x x xA x x A x π=+=+=+6因为 0A >，由题意知 6A =．（Ⅱ）由（I ）()6sin(2)f x x π=+6将()y f x =的图象向左平移π12个单位后得到6s i n [2()]6s i n (2)y x x πππ=++=+1263的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到6s i n (4)y x π=+3的图象． 因此()6sin(4)g x x π=+3，因为5[0,]x π∈24，所以74[,]x πππ+∈336，所以1sin(4)[,1]2x π+∈-3，所以()g x 在5[0,]π24上的值域为[3,6]-．（18）（Ⅰ）证明：因为四边形A B C D 为等腰梯形，AB CD ，60DAB ∠= ， 所以 120ADC BCD ∠=∠= ． 又 C B C D =， 所以 30CDB ∠=因此 90ADB ∠= ，AD BD ⊥，又 AE BD ⊥，且AE AD A = ，,AE AD ⊂平面AED ， 所以 B D ⊥平面AED ． （Ⅱ）解法一：由（I ）知AD BD ⊥，所以A C B C ⊥，又F C ⊥平面A B C D ，因此 ,,CA CB CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设1C B =，则，(0,0,0)C ，(0,1,0)B ，1(,,0)2D -，(0,0,1)F ，因此 3(,,0)2BD =- ，(0,1,1)BF =- ．设平面B D F 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则 0BD =⋅ m ，0BF =⋅m ， 所以x ==，取1z =， 则(,1,1)=m ．又平面B D C 的法向量可以取为(0,0,1)=n ，所以 cos ,||||<>===⋅m n m n m n ，所以二面角F B D C --．解法二：取B D 的中点G ，连结,CG FG ，由于C B C D =，所以C G B D ⊥．又F C ⊥平面A B C D ，BD ⊂平面A B C D ，所以FC BD ⊥．由于FC CG C = ，,FC CG ⊂平面F C G ，所以B D ⊥平面F C G ，故B D F G ⊥． 所以F G C ∠为二面角F B D C --的平面角．在等腰三角形BC D 中，由于120BCD ∠= ， 因此1CG CB =，又C B C F =，所以C F G ==，故 cos FGC ∠=因此 二面角F B D C --．（19）解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A ；“该射手设计甲靶命中”为事件B ；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ．由题意知，3()4P B =，2()()3P C P D ==，由于A BC D BC D BC D =++，根据事件的独立性与互斥性得 ()()()()()P A P B C D B C DB C DP B C D P B C D P B C D=++=++ 333222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)433433433=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯736=（Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5．根据事件的独立性和互斥性得3221(0)()(1)(1)(1)43336P X P BC D ===-⨯-⨯-=，3221(1)()(1)(1)43312P X P BC D ===⨯-⨯-=，3221(2)()()(1)(1)24339P X P BC D P BC D ==+=-⨯⨯-⨯=，3221(3)()()(1)24333P X P BC D P BC D ==+=⨯⨯-⨯=3221(4)()(1)4339P X P BCD ===-⨯⨯=3221(5)()4333P X P BCD ===⨯⨯=故X 的分布列为所以111111410123453612939312EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（20）解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个等差数列，所以3454384a a a a ++==，即428a =． 所以，数列{}n a 的公差9473289945a a d --===-， 所以，*4(4)289(4)98()n a a n d n n n =+-=+-=-∈N（Ⅱ）对*m ∈N ，若 299m m n a <<，则 298998m m n +<<+，因此 121919m m n --+≤≤， 故得 2199m m m b -=-于是 123...m m S b b b b =++++35212121(999...9)(199...9)9(181)19181199109180m m m m m m --+=++++-++++⨯--=----⨯+=（21）解：（Ⅰ）依题线段O F 为圆Q 的弦，由垂径定理知圆心Q 的纵坐标4Q py =， 又Q 到抛物线准线2p y =-的距离为32424Q p p py +=+=，所以1p =. 所以22x y =为所求.（Ⅱ）假设存在点0(M x ，20)2x ，又(0F ，1)2，设(Q Q x ，1)4.22x y =变形为22x y ='y x ⇒=因为直线MQ 为抛物线的切线，故02000124'|M Q x x Qx k y x x x =-===-，解得00124Q xx x =+，即001(24x Q x +，1)4. 又取FM 中点0(2x N ，201)4x +，由垂径定理知FM QN ⊥， 所以0(F M Q N x =⋅ ，201)2x -⋅01(4x -，20)4x 0=0x ⇒=，所以存在M 1).（Ⅲ）依题M 1)，圆心Q 1)4，圆Q的半径||r O Q ===，圆心Q 到直线14y kx =+的距离为||d ==， 所以，22222222725272||4()43232(1)8(1)k k D E r d k k ⎛⎫+=-=-= ⎪++⎝⎭. 又联立222120124x yx kx y kx =⎧⎪⇒--=⎨=+⎪⎩， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有，1212212x x kx x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩.所以，222221212||(1)[()4](1)(42)AB k x x x x k k =++-=++. 于是，22222422222792511||||(1)(42)46(2)4828(1)1k AB D E k k k k k k k ++=+++=+++≤≤++⋅记292511()46(4)4814f x x x x x =+++≤≤+⋅，225251'()866088(1)f x x x =+->->+⋅，所以()f x 在1[4，4]上单增， 所以当14x =，()f x 取得最小值min 131()()42f x f ==，所以当12k =时，22||||AB DE +取得最小值132.（22）解：（Ⅰ）1ln '()xx kx f x e--=，依题意，1'(1)01k f k e -==⇒=为所求. （Ⅱ）此时1ln 1'()xx x f x e --=(0)x >记1()ln 1h x x x=--，211'()0h x xx =--<，所以()h x 在(0，)+∞单减，又(1)0h =， 所以，当01x <<时，()0h x >，'()0f x >，()f x 单增； 当 1x >时，()0h x <，'()0f x <，()f x 单减. 所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，)+∞.（Ⅲ）21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=⋅--，先研究1ln x x x --，再研究1x x e +.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 .所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<综①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e --++=--≤+<+.另解依题意知关于x 的多项式32()1h x ax bx =+-有二重根，不妨设二重根为1x ，另一根为2x ， 则上述多项式可以分解为 212()()()h x a x x x x =--， 展开对比x 系数得 112(2)0a x x x +=， 由于0a <，且显然10x ≠，故必有 122x x =-， 又展开对比常数项得 2121ax x =，从而解得 122x x =-=又1y x =，易得 212yy =-=，从而 1212;0x x y y +=>+=<．2012山东卷理科16题（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆 在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时， OP的坐标为 ．解答：标记字母如图，显然 2BP=，所以2rad PCB ∠=，所以2rad PCM π∠=-2又1PC =，在P C M ∆中，sin sin(2)cos 2PM PC PCM π=∠=-=-2；cos cos(2)sin 2CM PC PCM π=∠=-=2.于是，2sin 2OA OB AB OB CM =-=-=-. 1cos 2AP AM PM =+=-；即(2sin 2O P =-，1cos 2)-注意，直线OP 与圆C 并不相切.。
