第三章 三角函数、解三角形与平面向量 考点测试18 任意角和弧度制、任意角的三角函数一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D.2．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．23 B ．32 C ．23π D ．32π 答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B ．32 C ．－12D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3. 12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－ba 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b 2a2＝0. 二、高考小题 13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>0答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样． 18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ． 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6B ．5π3C ．11π6D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．)21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32 C ．1 D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ，∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R .(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6的值． 解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )，当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，则sin β＝a2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64. 当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，则sin β＝a－2a ＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64. 综上所述，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64. 4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2； (2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值． 解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45， 所以sin α＝45，cos α＝35， 所以x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210. (2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， 所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， 所以S 2＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α. 因为S 1＝43S 2， 所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43， 所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。
单元质量测试(二)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2017·河南郑州模拟]函数f (x )＝ln xx －1＋x 12 的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 自变量x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，即x >1，∴定义域为(1，＋∞)．2．[2017·山东实验中学模拟]幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 3．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16答案 D解析 因为f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，所以⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.4．下列函数中既是奇函数，又是定义域内的减函数的是( ) A ．f (x )＝xlg 2B ．f (x )＝－x |x |C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝ln xx答案 B解析 A 中，函数f (x )＝x lg 2是增函数；B 中，画图可知函数f (x )＝－x |x |是奇函数，且是减函数；C 中，函数f (x )＝sin x 不单调；D 中，函数f (x )＝ln xx的定义域是(0，＋∞)，是非奇非偶函数．故选B.5．[2016·宝鸡二检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝4，且f (x )的导函数f ′(x )<3，则不等式f (ln x )>3ln x ＋1的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，e)C ．(0,1)D ．(e ，＋∞)答案 B解析 设g (x )＝f (x )－3x －1，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由题意，得g ′(x )<0且g (1)＝0，故函数g (x )为单调递减函数．不等式f (ln x )>3ln x ＋1可以转化为f (ln x )－3ln x －1>0，即g (ln x )>0＝g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x <1，解得0<x <e.6．已知函数f (x )的定义域是[0,1)，则函数g (x )＝f [log 12 (3－x )]的定义域为( )A ．[0,1)B ．(2,3]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 答案 C解析 ∵已知函数f (x )的定义域是[0,1)，∴log 12(3－x )∈[0,1)＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫log 12 1，log 12 12，∴12<3－x ≤1，解得2≤x <52.7．[2016·陕西二检]曲线y ＝e 13x 在点(6，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．32e 2B ．3e 2C ．6e 2D ．9e 2答案 A解析 因为y ＝e 13x ，所以y ′＝13e 13x ，y ′|x ＝6＝13e 2，故曲线y ＝e 13x 在(6，e 2)处的切线方程为y ＝13e 2x －e 2.令y ＝0，得x ＝3；令x ＝0，得y ＝－e 2，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝32e 2，故选A.8．[2016·重庆一中一模]定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45答案 C解析 ∵f (x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)．∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，∴f (4－log 220)＝24－log 220＋15＝24÷2log 220＋15＝16÷20＋15＝1，故f (log 220)＝－1，故选C. 9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 A解析 f ′(x )＝2x ＋2－2xln 2，画出函数y ＝2x ＋2，y ＝2xln 2的图象(如图)，可知两个函数图象有两个不同的交点，即方程f ′(x )＝0有两个不同的变号零点x 1，x 2(设x 1<x 2)，且在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，在(x 2，＋∞)上f ′(x )<0，即函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，在(x 2，＋∞)上单调递减，且极值点x 1<0，x 2>0，故选A.10．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 为增函数．必要性：当a ≠0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0，f (0)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a<0，即a <0，f (x )＝x 时，为增函数，此时a ＝0，故a ≤0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．11．[2016·兰州诊断]已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对于任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，e 4) D ．(e 4，＋∞)答案 B解析 因为y ＝f (x )－1为奇函数，且定义域R ，所以0＝f (0)－1，所以f (0)＝1.设h (x )＝f xex，则h ′(x )＝exf x －f xx2，因为f (x )>f ′(x )，所以函数h (x )是R 上的减函数，所以不等式f (x )<e x等价于f xex<1＝fe，即h (x )<h (0)，所以x >0，故选B.12．[2017·广西南宁模拟]已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫40322017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫40332017＝( )A ．－8066B ．－4033C ．8066D ．4033答案 A解析 由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，得f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1，且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫40322017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫40332017，则S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫40332017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫40322017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫32017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017，所以2S ＝4033×(－4)＝－16132，S ＝－8066. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递增区间是________． 答案 (－∞，0]解析 函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，所以m ＝1，则函数f (x )＝－x 2＋2，其单调递增区间是(－∞，0]．14．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．答案132解析 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m )．15．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案 －12解析 因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.16．对于任意实数a ，b ，定义min {a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min {f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，求a ，m 的值． 解 (1)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递增函数，∵函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝m ，即1a －2＝12，且1a －12＝m ，解得a ＝25，m ＝2.18．(本小题满分12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(0,1)和(1,4)，且对于任意的实数x ，不等式f (x )≥4x 恒成立．(1)求函数f (x )的表达式；(2)设g (x )＝kx ＋1，若F (x )＝log 2[g (x )－f (x )]在区间[1,2]上是增函数，求实数k 的取值范围．解 (1)f (0)＝c ＝1，f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ∴f (x )＝ax 2＋(3－a )x ＋1.f (x )≥4x 即ax 2－(a ＋1)x ＋1≥0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋2－4a ≤0，解得a ＝1.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)F (x )＝log 2[g (x )－f (x )]＝log 2[－x 2＋(k －2)x ]． 由F (x )在区间[1,2]上是增函数，得h (x )＝－x 2＋(k －2)x 在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －22≥2，h＝－1＋k －2>0，解得k ≥6.∴实数k 的取值范围为[6，＋∞)．19．[2017·福建三明一中月考](本小题满分12分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1.(1)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(2)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2017)的值． 解 (1)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]， 又f (x )的图象关于x ＝1对称， 则f (x )＝f (2－x )＝22－x－1，x ∈[1,2]．(2)∵函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 又函数f (x )的图象关于x ＝1对称， 则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数．∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， 又f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2017)＝504×(0＋1＋0－1)＋f (0)＋f (1)＝1.20．(本小题满分12分)据统计，某种汽车的最高车速为120千米/时，在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x (千米/时)之间有如下函数关系：y ＝1128000x 3－380x ＋8.已知甲、乙两地相距100千米．(1)若汽车以40千米/时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，需耗油⎝⎛⎭⎪⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)，所以汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地需耗油17.5升． (2)当汽车的行驶速度为x 千米/时时，从甲地到乙地需行驶100x小时．设耗油量为h (x )升，依题意，得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128000x 3－380x ＋8·100x＝11280x 2＋800x －154， 其中，0<x ≤120.h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80，120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， 所以当x ＝80时，h (x )取得最小值，且h (80)＝11.25.所以当汽车以80千米/时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)． (1)求函数的定义域，并证明：f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数； (2)对于x ∈[2,4]，f (x )>log a m x －2－x恒成立，求m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝log a－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log ax ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝log ax ＋1x －1在定义域上是奇函数． (2)由x ∈[2,4]时，f (x )＝log a x ＋1x －1>log amx －2－x恒成立，①当a >1时，∴x ＋1x －1>mx －2－x>0对x ∈[2,4]恒成立．∴0<m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立． 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4]则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －732＋523，∴当x ∈[2,4]时，g ′(x )>0.∴y＝g (x )在区间[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15. ∴0<m <15.②当0<a <1时，由x ∈[2,4]时，f (x )＝log a x ＋1x －1>log amx －2－x恒成立，∴x ＋1x －1<mx －2－x对x ∈[2,4]恒成立．∴m >(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立． 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4]， 由①可知y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数，g (x )max ＝g (4)＝45，∴m >45.∴当a >1时0<m <15；当0<a <1时m >45.22．[2016·江苏高考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋b x(a>0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 解 (1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤f x2＋4f x 对于x ∈R 恒成立．而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x4f x＝4，且f 2＋4f＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点， 而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b .令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02<g (0)＝0.又g (log a 2)＝alog a2＋blog a2－2>alog a2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.。
单元质量测试(八)时间：分钟满分：分第Ⅰ卷(选择题，共分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．从名大学毕业生中选人担任村长助理，甲、乙至少有人入选，而丙没入选的不同选法种数为( )．．．．答案解析(间接法)因为丙没有入选相当于从人中选人，共有选法＝(种)，甲、乙都没入选相当于从人中选人，共有选法＝(种)，所以满足条件的选法种数是－＝.．从集合{}中随机抽取一个数，从集合{}中随机抽取一个数，则向量＝(，)与向量＝(，－)垂直的概率为( )答案解析满足条件的向量共有×＝(个)．由⊥得＝，所以满足⊥的只有()与()两个，所求概率为＝＝.．设随机变量～()，若(>)＝，则(－<<)等于( )＋．－．－－答案解析(－<<)＝＝－，选.．一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )．．．．答案解析每一个数据都加上时，平均数也加上，而方差不变．．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为( )答案解析设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件，，，则，，相互独立且()＝，()＝，()＝，∴至少有人去北京旅游的概率为－()＝－()·()·()＝－××＝－＝，故选。
．在区间上随机地取一个数，则事件“－≤≤”发生的概率为( )答案解析由－≤≤，得≤＋≤，解得≤≤，所以事件“－≤≤”发生的概率为＝，故选.．已知展开式的二项式系数之和为，则其展开式中常数项是( )．．．．答案解析∵展开式的二项式系数之和为，∴＝，＝，∴＋＝(－)－－－＝(－)－－，令－＝，得＝，从而常数项为(－)＝.．一射手对靶射击，直到命中为止，每次命中的概率为，现有颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目的期望值为( )．．．．答案解析分布列为：∴()＝×＋××＋××＋×＝，选.．有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程＝－＋，根据以上信息，判断下列结论中正确的是( )。
