安徽省池州市千秋学校高中数学必修四平面 学案

池州华佑高级实验中学人本跨界大课堂自主学习型数学学道
班级 :高一（ ） 姓名: 编号: 4105 日期: 2016-11-16 主备人：
课题： 任意角的三角函数（一） 设计者: 高一年级数学组 自研课（时段： 晚自习 时间： 10 分钟 ）
旧知链接：1、在直角△ABC 中，角B 为直角边，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为c b a ,,，则
=A sin ； =A cos ；=A tan ；
新知自研 ：自研必修4课本第11至第12页的内容；
展示课（时段： 正课 时间： 60 分钟 ）
学习目标： 1、掌握任意角的三角函数的概念； 2、会求所给角的三角函数值；
训练课（时段：晚自习 ， 时间： 30分钟）
“日日清巩固达标训练题” 自评： 师评： 基础题：
1、利用三角函数的定义求6
7π
的三个三角函数值； 发展题：
2、已知角θ的终边过点)5,12(-P ，求角θ的三个函数值； 提高题：
3、已知角α的终边经过点),0(),2,3(≠-t t t A 求αααtan ,cos ,sin ；
培辅课（时段：大自习 附培辅单） 1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要） 2、效果描述： 反思课 1、病题诊所： 2、精题入库：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。

池州华佑高级实验中学人本跨界大课堂自主学习型数学学道
班级 :高一 堂 姓名: 编号: 4155 日期: 2017-03-17 主备校长：
课题： 简单三角恒等变换(二 设计者: 高一年级数学组 自研课（时段： 晚自习 时间： 10 分钟 ）
旧知链接：1、半角公式的无理表达式：=2
sin α ，=2cos α ，=2
tan α ；
2、半角正切公式的有理表达式：=2
tan α = ；
新知自研：自研必修4课本第140至第141页的内容.
展示课（时段： 正课 时间： 60 分钟 ）
【学习主题】 1、会有正弦公式、余弦公式推导出积化和差、和差化积公式； 2、感受三角变换在函数式化简中的应用； 二、【定向导学·互动展示·当堂反馈】
训练课（时段：晚自习 ， 时间：30分钟）
“日日清巩固达标训练题” 自评： 师评： 基础题： 1、化简： α
αα
α4cos 4sin 14cos 4sin 1-+++
发展题： 2、已知θβθθαπ
2sin sin 2,cos sin )4sin(22=+=+，求证02cos 2
1
2sin =+βα 提高题： 3、若,32πβα=-且,3
1
cos cos =+βα求)cos(βα+的值.
培辅课（时段：大自习 附培辅名单） 1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）
2、效果描述：
反思课
1、病题诊所：
2、精题入库：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。

2.4.1.平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标.1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一.平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.知识点二.平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.类型一.向量数量积的运算性质例1.给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0，其中正确结论的序号是________. 答案.④解析.因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确； 向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0，故④正确.反思与感悟.向量的数量积a·b 与实数a 、b 的乘积a ·b 有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________.(填序号) 答案.③解析.(a ·b )·c 表示与向量c 共线的向量，(c ·a )·b 表示与向量b 共线的向量，而b ，c 不共线，所以①错误；由[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝0知，(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确. 类型二.平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1.已知向量垂直求参数值例2.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 答案.2解析.由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.反思与感悟.由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2.已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于(..)A.－92B.0C.3D.152答案.C解析.因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6). 因为(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1) ＝2(2k －3)－6＝0， 解得k ＝3.故选C.命题角度2.由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3.已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， 则k 的取值范围为________.答案.(0，1)∪(1，＋∞)解析.∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟.由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2，π]⇔a ·b <0.跟踪训练3.设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解.设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12).1.下面给出的关系式中正确的个数是(..)①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A.1 B.2 C.3 D.4 答案.C解析.①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2.已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是(..)A.60°B.30°C.135°D.45° 答案.C解析.∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22.∴〈a ，b 〉＝135°.3.已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为(..) A.1 B.0 C.2 D.3 答案.D解析.由题意得(a －m b )·a ＝0，a 2＝m a ·b ， ∴m ＝|a |2a ·b ＝|a |2|a ||b |cos 60°＝32×12＝3，故选D.4.已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是(..) A.32 B.12 C.－32D.－12答案.C解析.∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， 即|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴3＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.5.已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ； (2)求向量a 在a ＋b 上的投影.解.(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－4a ·b －3b 2＝9，即16－4a ·b －3＝9， ∴a ·b ＝1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝7，即|a ＋b |＝7. 设a 与a ＋b 的夹角为α，则向量a 在a ＋b 上的投影为|a |cos α＝|a |×a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ＋b |＝57＝577.1.数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等.2.在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3.在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .课时作业一、选择题1.已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是(..) A.0 B.a C.b D.c 答案.B解析.b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a .2.已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于(..) A.0 B.2 2 C.4 D.8 答案.B解析.|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2. 3.已知a⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于(..) A.32 B.－32C.±32D.1答案.A解析.∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.4.设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角θ的余弦值是(..)A.34B.537C.2537D.53737 答案.D解析.∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37，∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝(3e 1＋4e 2)·e 1|3e 1＋4e 2||e 1|＝537＝53737.5.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为(..)A.4B.－4C.94D.－94答案.B解析.∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.6.设向量a 与b 满足|a |＝2，b 在a 方向上的投影为1.若存在实数λ，使得a 与a －λb 垂直，则λ等于(..) A.12 B.1 C.2 D.3 答案.C解析.∵b 在a 上的投影为1，|a |＝2， ∴a ·b ＝2×1＝2，又∵a ⊥(a －λb )，∴a ·(a －λb )＝0， ∴λa ·b ＝|a |2，故2λ＝4，λ＝2，故选C. 7.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为(..)A.0B.π6C.π3D.π2答案.D解析.∵a ·c ＝a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b＝a ·a －⎝⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b ·(a ·b )＝a ·a －a ·a ＝0.∴a ⊥c .故选D.8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE →·BD →等于(..)A.－3B.0C.－1D.1 答案.C 二、填空题9.已知平面内三个向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|c |＝3，且a ＋b ＋c ＝0，则向量a ，b 夹角的大小是________. 答案.π3解析.∵a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝c 2， 即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|c |2， ∴1＋2a ·b ＋1＝3，a ·b ＝12，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.10.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________.答案.2π3解析.由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2， 即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2， 设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1， 即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0， 因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立， 所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0， 即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.11.已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.答案.233解析.∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， (a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，|a ＋2b |＝ a 2＋4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， |a －2b |＝ a 2－4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， ∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°， 化简得32a 2－2b 2＝0，所以|a ||b |＝233.12.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________. 答案.4解析.方法一.由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0， ∴(a －b )·(－a －b )＝0， 即a 2＝b 2.则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 方法二.如图，作AB →＝BD →＝a .BC →＝b ，则CA →＝c ，∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ， 又∵a －b ＝BD →－BC →＝CD →， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ， 所以△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.13.已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________.答案. 2.1解析.(12a ＋b )·(2a －3b )＝a 2＋12a ·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0，解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1. 三、解答题14.已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解.(1)∵|a |＝2|b |＝2，∴|a |＝2，|b |＝1.又∵向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1.又∵|a |＝2，|b |＝1，∴cos θ＝－12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.四、探究与拓展15.已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ. 解.假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2， ∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)， ∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0， ∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0，解得cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.。

高中数学《必修四》导学案班级________ 姓名___________第一章三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的______________________________________________________所学的角的范围是什么______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”，720”这样的动作名词，这里的“0怎么刻画______________________________________________________二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。

这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

3.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。

4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系内讨论角。

为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。