2018本一试题解答与评分标准
一．填空题（ 每小题4分，共20分） (1) 设()()()()12ln arctan
,,,1u x f u x y f x u x
ϕϕ-+===+则
1
d d x y
x == .
(2) ()
2
2
sin cos2d x x x π+=⎰
.
(3) ()
2
20
1
d 1x x +∞
=+⎰
.
(4) 已知函数(),,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w
F '=函数 (),z f x y =由()
22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足()1,20,f =则 ()1,2x f '= .
(5) 设Γ是区域
(){}2
2,4,0x y x
y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取逆时针方向, 则
()()()()
()
3
3
1e d e d y
y x y y x x y xy y Γ
-+-+++=⎰ .
一.答案: (1) 1;5 (2)
2
;23
π- (3) ;4π (4)2;- (5) 6.π
二. 解下列两题（ 每小题5分，共10分）
(1)
求极限 ()()()()2
132321lim ;24222n
n n n n →∞⎛⎫⋅⋅⋅-⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅-⋅⎝⎭
(2) 求极限 ()
2244
44lim sin .x y x xy y x y x y →∞
→∞
++⋅++ 解 (1) 记 ()()
2
222
221321,242n n a n ⋅⋅⋅-=
⋅⋅
⋅因为
()()
()
2
212112k k k -⋅+<()*,k ∈N （1分）所以
()()()
()()2
2
222
2
2321133557
21210,2462222n n n n n a n n n -⋅-⋅⋅⋅--<=⋅⋅⋅⋅
⋅<-（2分）
因为 ()
2
21
lim
0,2n n n →∞
-=应用夹逼准则得 lim 0.n
n
a →∞= （2分） (2) 应用不等式的性质得
()
222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分）
()
()
222244
442222
2110sin 2x y x xy y x y x y x y y x +++≤⋅+≤=++，（1分）
因为2211lim 0,x y y x →∞→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭应用夹逼准则得 ()224444lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞
→∞
++⋅+=+（2分） 三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{}
,n n x y 满足:(),,
n x a a δ∈-(),n y a a δ∈+ ()0,δ>且lim ,n n x a →∞=lim ,n n y a →∞= 试求 ()()
lim .n n n n n n
n x f y y f x y x →∞
--
解 由()f x 在x a =处可导得 ()()()lim ,x a
f x f a f a x a
→-'=- ( 2分)
()()()()lim ,n n n f x f a f a f a x a
-→∞
-''==- ()()()()lim ,n n n f y f a f a f a y a
+→∞
-''==- ( 2分)
应用极限的性质得
()()()()()(),0,n n n n n f x f a f a x a x a n αα'=+-+⋅-→→∞( 1分) ()()()()()(),0,n n n n n f y f a f a y a y a n ββ'=+-+⋅-→→∞( 1分)
代入原式得
()()
()()()()
lim lim n n n n n n n n n n n n
n n
n n x f y y f x x y a y a x f a a f a y x y x βα→∞
→∞
--+⋅-'=-++-- ( 2分)
()()lim lim n n n n
n
n
n n n n
n n y a a x f a a f a x y y x y x βα→∞→∞--'=-+++-- lim lim 0,01,01n n n n
n n
n n n n n n y a a x x y y x y x βα→∞→∞⎛⎫--==<<<< ⎪--⎝⎭
因为 ()()()()00.f a a f a f a a f a ''=-+++=-+ ( 2分)
四. (10分) 已知()()()111sin cos 1001;200x x x f x x x
x ⎧
--≤<<≤⎪
=⎨⎪=⎩
或，
试判别:
(1) ()f x 在区间[]1,1-上是否连续? 若有间断点,判断其类型;
(2) ()f x 在区间[]1,1-上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3) ()f x 在区间[]1,1-上是否可积? 若可积,求出()1
1d ;f x x -⎰若不可积, 写出理由.
