初中数学专题——方程

初中数学方程与不等式25道典型题（含答案和解析）1. 楠楠老师在解方程2x−13＝x ＋a 2−1去分母时，因为手抖发作，将方程右侧的－1漏乘了，因而求得的方程的解为x ＝2，请帮助楠楠老师求出正确的解. 答案：x ＝－3. 解析：漏乘后方程为：2(2X －1)＝3（x ＋a ）－1. 4x －2＝3x ＋3a －1. x ＝3a ＋1 .∵ x ＝2.∴ a ＝13.∴ 原方程去分母后得： 2(2X －1)＝3（x ＋13）－6. 4x －2＝3x ＋1－6. X ＝－3.考点：方程与不等式—一元一次方程—含字母参数的一元一次方程—错解方程.2. 已知关于x 的方程3[x −2（x −a2）]＝4x 与3x ＋a 12−1−5x 8＝1有相同的解，求 a 的值及方程的解.答案：a ＝2711，方程的解为x ＝8177.解析：把a 当作常数，方程3[x −2（x −a2）]＝4x 的解为x ＝37a .方程3x ＋a 12−1−5x 8＝1的解为x ＝27−2a 21.故37a ＝27−2a 21.解得a ＝2711，所以x ＝8177.考点：方程与不等式—一元一次方程—同解方程—同解方程求参数.3. 解方程组.（1）{m ＋n3−n−m4＝24m ＋n 3＝14 （2）{1−0.3(y −2)＝x ＋15y−14＝4x ＋920−1答案：（1）{m ＝185n ＝−65.（2）{x ＝4y ＝2.解析：（1）化简方程组得，{7m ＋n ＝2412m ＋n ＝42，加减消元可解得答案为{m ＝185n ＝−65.（2）化简方程组得，{2x ＋3y ＝144x −5y ＝6，加减消元可解得答案为{x ＝4y ＝2.考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.4. 回答下列小题.（1）当k ＝ 时，方程组{4x ＋3y ＝1kx ＋(k −1)y ＝3的解中，x 与y 的值相等．（2）关于x ，y 的方程组{ax ＋by ＝2cx −7y ＝8，甲正确的解得{x ＝3y ＝−2，乙因为把c 看错了，解得{x ＝−2y ＝2，求a ，b ，c 的值. （3）若方程组{2x ＋3y ＝7ax −by ＝4与方程组{ax ＋by ＝64x −5y ＝3有相同的解，则a ，b 的值为（ ）.A.{a ＝2b ＝1B. {a ＝2b ＝−3C. {a ＝2.5b ＝1D. {a ＝4b ＝−5 答案：（1）11.（2）a ＝4，b ＝5，c ＝－2. （3）C ．解析：（1）因为x 和y 的值相等，所以x ＝y ，代入1式可得x ＝y ＝17，再代入2式可得k ＝11.（2）乙看错了c ，说明乙的解只满足1式；甲是正确的解，说明甲的解满足两个等式．将解代入方程可得{3a −2b ＝23c ＋14＝8−2a ＋2b ＝2，解得a ＝4，b ＝5，c ＝－2.（3）由题中条件：有相同的解可知，这两个方程组可以联立，即{2x ＋3y ＝7ax−by ＝4ax ＋by ＝64x−5y ＝3，由1式和4式可以解得{x ＝2y ＝1，代入2式和3式可得{2a −b ＝42a ＋b ＝6. 解得{a ＝2.5b ＝1，故选C.考点：方程与不等式—二元一次方程组—同解方程组.5. 台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．答案：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 解析：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．依题意，列方程组得：{x ＋y ＝245x ＝2y ＋50.解得{x ＝180y ＝65．答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的解.6.如图所示，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 cm2.答案：400.解析：设一个小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组{x＋y＝50x＋4y＝2x.解得{x＝40y＝10．则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2．考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的应用.7.高新区某水果店购进800千克水果，进价每千克7元，售价每千克12元，售出总量一半后，发现剩下的水果己经有5﹪受损（受损部分不可出售），为尽快售完，余下的水果准备打折出售．（1）若余下的水果打6折出售，则这笔水果生意的利润为多少元？（2）为使总利润不低于2506元，在余下的水果的销售中，营业员最多能打几折优惠顾客（限整数折，例如：5折、6折等）？答案：（1）这笔水果生意的利润为1936元．（2）营业员最多能打8折优惠顾客．解析：（1）根据题意得：400×12＋（400－400×5﹪）×0.6×12－800×7＝1936（元）.答：这笔水果生意的利润为1936元．（2）设余下的水果应按原出售价打x折出售，根据题意列方程：400×12＋（400－400×5﹪）×0.1x×12－800×7＝2506.解方程得：x＝7.25．答：营业员最多能打8折优惠顾客．考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用.打折销售问题—经济利润问题.8. 二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（﹪）达到100时，轮胎就报废了，当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去的资料表明：把甲、乙两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、乙轮胎的磨损度（﹪）y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示.（1）线段OB 表示的是 （填“甲”或“乙”），它的表达式是 （不必写出自变量的取值范围）．（2）求直线OA 的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米． （3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a百万米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b 百万米处，同时报废，请你确定方案中a 、b 的值． 答案：（1）1．甲.2．y ＝20x. （2）OA 的解析式是y ＝1003x ，这辆自行车最多可骑行3百万米．（3）{a ＝158b ＝154.解析：（1）∵ 线段OB 表示的是甲，设OB 的解析式是y ＝kx.∴ 1.5k ＝30. ∴ 解得：k ＝20. ∴ OB 的表达式是y ＝20x. ∴ 答案是：甲，y ＝20x ．（2）∵ 设直线OA 的表达式为y ＝mx.∴ 根据题意得：1.5m ＝50. ∴ 解得：m ＝1003.∴ 则OA 的解析式是y ＝1003x .∵ 当y ＝100时，100＝1003x .∴ 解得：x ＝3.答：这辆自行车最多可骑行3百万米．（3）∵ 根据题意，得：{1003a ＋20(b −a )＝10020a ＋1003(b −a )＝100. ∴ 解这个方程组，得{a ＝158b ＝154.考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.函数—一次函数—待定系数法求正比例函数解析式—一次函数的应用—一次函数应用题.9. 若关于x 的一元二次方程（x ＋1）2＝1－k 无实根，则k 的取值范围为 ．答案：k ＞1.解析：若方程（x ＋1）2＝1－k 无实根，则1－k ＞0.∴k ＞1.考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—一元二次方程的相关概念.10. 小明在探索一元二次方程2x2－x －2＝0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）．A.4B.3C.2D.1答案：D.解析：根据表格中的数据，可知：方程的一个解x的范围是：1＜x＜2.所以方程的其中一个解的整数部分是1．考点：方程与不等式—一元二次方程—估算一元二次方程的近似解.11.已知m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．（1）求证：关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．（2）若x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根，且Rt△ABC的周长为√2＋2，求Rt△ABC的面积.答案：（1）证明见解析．（2）1．解析：（1）∵ m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．∴ p2＝m2＋n2.∴ b2－4ac＝2p2－4mn＝2(m2＋n2)－4mn＝2(m－n)2≥0.∴关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．（2）∵ x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根.∴ m－√2p＋n＝0 ①.∵ Rt△ABC的周长为2√2＋2.∴ m＋n＋p＝2√2＋2②.由①、②得：m＋n＝2√2，p＝2.∴（m＋n）2＝8.∴ m2＋2mn＋n2＝8.又∵ m2＋n2＝p2＝4.∴ 2mn＝4.∴1＝mn＝1.2∴ Rt△ABC的面积是1．考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.根与系数的关系—韦达定理应用.三角形—三角形基础—三角形面积及等积变换.12.关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围为．答案：k＜4且k≠3.解析：∵关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根.∴ {k−3≠0△＝4−4（k−3）＞0.∴ k＜4且k≠3.考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—根据一元二次方程求参数值.根的判别式—已知一元二次方程根的情况，求参数的取值范围.13.设a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为．答案：8.解析：∵ a是方程x2＋x－9＝0的根.∴ a2＋a＝＝9.由根与系数的关系得：a＋b＝－1.∴ a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b）＝9＋（－1）＝8．考点：方程与不等式—一元二次方程—根与系数的关系—韦达定理应用.14.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12cm的住房墙．另外三边用25cm长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？（2）能否围成一个面积为100 m2的矩形猪舍？如能，说明了围法；如不能，请说明理由．答案：（1）矩形猪舍的长为10m，宽为8m．（2）不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．解析：（1）设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为（26－2x）m.由题意得：x（26－2x）＝80.解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26－2x＝16＞12（舍去）.当x＝8时，26－2x＝10＜12.答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m．（2）由题意得：x（26－2x）＝100.整理得：x2－13x＋50＝0.∵△＝（－13）2－4×1×50＝－31＜0.∴方程无解.故不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.一元二次方程的应用.15.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为 120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售__________件，每件盈利__________元（用x的代数式表示）．（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．答案：（1）（20＋2x），（40－x）.（2）20元或10元．（3）不可能，理由见解析．解析：（1）根据题意得：每天可销售（20＋2x）；每件盈利（40－x）.（2）根据题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200.解得：x1＝20，x2＝10．答：每件童装降价20元或10元时，平均每天赢利1200元．（3）（40－x）（20＋2x）＝2000.整理得：x2－30x＋600＝0.△＝62－4ac＝（－30）2－4×1×600＝900－2400＜0.∴方程无解．答：不可能做到平均每天赢利2000元．考点：式—整式—代数式.方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的解.根的判别式—判断一元二次方程根的情况—一元二次方程的应用.16.若a＞b，则下列不等式中正确的是．（填序号）① a－2＜b－2 ② 5a＜5b ③－2a＜－2b ④a3＜b3答案：③.解析：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号改变方向．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—不等式的基础—不等式的性质.17.解不等式：2−x＋23＞x＋x−12．答案：x＜1.解析：12－2（x＋2）＞6x＋3（x－1）.12－2x－4＞6x＋3x－3.－11x＞－11.X＜1.考点：方程与不等式—不等式与不等式组—解一元一次不等式.18.解不等式组{2x＋4≤5（x＋2）x−1<23x，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．答案：原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．解析：由2x＋4≤5（x＋2）得x≥－2.由x−1<23x得x＜3．不等式组的解集在数轴上表示如下.∴原不等式组的解集为－2≤x＜3．∴原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—在数轴上表示不等式的解集—一元一次不等式组的整数解.19.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表.已知可供建造沼气池的占地面积不超过370m2，该村农户共有498户．（1）满足条件的方案共有哪几种？写出解答过程．（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？造价最低是多少万元？答案：（1）方案共三种：分别是A型6个，B型14个．A型7个，B型13个．A型8个，B型12个．（2）A型建8个的方案最省，最低造价52万元．解析：（1）设A型的建造了x个，得不等式组：{15x＋20（20−x）≤370 18x＋30（20−x）≥498.解得：6≤x≤8.5.三方案：A型6个，B型14个．A型7个，B型13个．A型8个，B型12个．（2）当x＝6时，造价2×6＋3×14＝54.当x＝7时，造价2×7＋3×13＝53.当x＝8时，造价2×8＋3×12＝52.故A型建8个的方案最省，最低造价52万元．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式组的应用—最优化方案.20.服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？答案：（1）甲种服装最多购进75件．（2）当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件.当a＝10时，按哪种方案进货都可以.当10＜a＜20时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．解析：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知.80x＋60（100－x）≤7500，解得：x≤75．答：甲种服装最多购进75件．（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75.W＝（40－a）x＋30（100－x）＝（10－a）x＋3000.方案1：当0＜a＜10时，10－a＞0，w随x的增大而增大.所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件.方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以.方案3：当10＜a＜20时，10－a＜0，w随x的增大而减小.所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式的应用—一元一次不等式组的应用—最优化方案.21.解答下列问题：（1）计算：2xx＋1−2x＋6x2−1÷x＋3x2−2x＋1．（2）解分式方程：3x＋1＋1x−1＝6x2−1.答案：（1）2x＋1.（2）x＝2．解析：（1）原式＝2xx＋1−2（x＋3）(x＋1)（x−1）÷（x−1）2x＋3．＝2xx＋1−2（x−1）x＋1＝2x＋1.（2）3（x－1）＋x＋1＝6.3x－3＋x＋1＝6.4x＝8.x＝2.检验：当x＝2时，x2＋1≠0.故x＝2是该分式方程的解．考点：式—分式—分式的加减法—简单异分母分式的加减.方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.22.解下列方程：（1）5x−4x−2＝4x＋103x−6−1．（2）x−2x＋2−x＋2x−2＝8x2−4.答案：（1）x＝2是方程的增根，原方程无解．（2）x＝－1.解析：（1）等式两边同乘以3（x－2）得，3（5x－4）＝4x＋10.解得x＝2.检验x＝2时，2（x－2）＝0.∴ x＝2是方程的增根，原方程无解．（2）两边同乘x2－4.得：－8x＝8.X＝－1.经检验x＝－1是原方程的解.考点：方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.分式方程解的情况—分式方程有解—分式方程有增根.23.若分式方程2xx＋1−m＋1x2＋x＝x＋1x产生增根，则m的值为．答案：－2或1.解析：方程两边都乘x（x＋1）.得x2－（m＋1）＝（x＋1）2.∵原方程有增根.∴最简公分母x（x＋1）＝0.解得x＝0或－1.当x＝0时，m＝－2.当x＝－1时，m＝0.故m的值可能是－2或0.考点：方程与不等式—分式方程—分式方程解的情况—根据增根求参数.24.在“春节”前夕，某花店用13000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？答案：第二批鲜花每盒的进价是 120元．解析：设第二批鲜花每盒的进价是x元．依题意有：6000x ＝12×13000x＋10.解得x＝120．经检验：x＝120是原方程的解，且符合题意．答：第二批鲜花每盒的进价是120元．考点：方程与不等式—分式方程—分式方程的应用.25.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？答案：（1）甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．（2）甲队再单独施工10天．解析：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x＋10）天.由题意可得：1x ＝ 1.5x＋10.解得：x＝20.经检验，x＝20是原方程的解.∴x＋10＝30（天）.答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．（2）设甲队再单独施工a天，由题意可得：(130＋120)×4＋230×a＝1.解得：a＝10.答：甲队再单独施工10天．考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用—工程问题.分式方程—分式方程的应用.。

第15课分式方程与无理方程目的：复习分式方程和无理方程的概念和解法．中考基础知识1．分式方程：分母含有_______的方程．2．分式方程的解法：（1）分式方程转化为______方程来解；（2）分式方程转化为______方程为解．3（1）无理方程转化为_________方程来解；（2）无理方程转化为_________方程来解．4x的取值范围扩大了，可能会出现_____根，因此在解无理方程和分式方程时必须______根，解分式方程是代入________去分母验根，解无理方程是代入______验根．备考例题指导例1．解方程311xx-+-21xx--=1+221x-．解：分解分母：311xx-+-21xx--=1+2(1)(1)x x-+，方程两边同乘以（x+1）（x-1）（这一步是关键）得（3x-1）（x-1）+（2-x）（x+1）=（x+1）（x-1）+2，化简得x2-3x+2=0，（x-2）（x-1）=0，x1=2，x2=1．检验：把x1=2，x2=1分别代入（x+1）（x-1）当x1=2时，它不等于0，当x2=1时，它等于0∴得x=1是原方程的增根，x=2是原方程的根．∴原方程的解是x=2 （一定要验根）例2．解方程22(1)1xx+++26(1)1xx++=7．分析：直接去分母难度较大，宜用换元法．解：设211xx++=y，则原方程转化为方程：2y+6y=7，去分母得2y2-7y+6=0，解之得y1=32，y2=2．当y=32时，有211xx++=32，解得x1=34+，x2=34-．当y=2时，有211xx++=2，解得x3x4=1经检验：x1，x2，x3x4例3-2x+1=0．=2x-1，（想一想为什么要这样移项）平方，得4x+1=（2x-1）2，解之得x1=0，x2=2．把x1，x2代入原方程检验得，x1是原方程的增根，x2是原方程的根．∴原方程的解为x=2．例4．解方程3x2-6x-+4=0．分析：采用例3方法会出现难解的高次方程，因此可用换元法．解：变形，3x2-8=0．=y，则原方程变为：3y2-2y-8=0，解之得y1=2，y2=-43（不合算术根定义，舍去）=2，解之得x1=0，x2=2．经检验：x1，x2都是原方程的解；∴原方程的根为：x1=0，x2=2．注：这个方程也可用因式分解法降次求解：3（x 2-2x+4）-8=0备考巩固练习1．填空题（1）若解分式方程21x x +-21m x x ++=1x x+会产生增根，则m 的值为________． （2）（2005，盐城）用换元法解方程（1x x +）2-5（1x x +）+4=0时，可设1x x +=y ，则原方程可化为________．（3）解无理方程2x =5=y ，则原方程转化为_________．（4=x-2m 有一个根是x=1，则实数m 的值是_______．2．解下列方程（组）（1）2484x x ---1=212x x --； （2）（2005．哈尔滨市）2x x --32x x -=2；（3-1=x ； （4）（2004，内江市）21x ++21x -+214x x -=316;（5）22,2.x y y -=-⎧⎪=3．（2005，宁波）已知关于x 的方程2a x -=33bx -解是x=2，其中a ≠0且b ≠0，求代数式a b -b a的值．答案:1．（1）去分母同乘以x（x+1）得2x2-（m+1）=（x+1）2 令x=0，则m=-2，令x=-1，则m=1∴m=-2或m=1（2）y2-5y+4=0 （3）y2-y-6=0 （4）0 2．（1）4-8x-x2+4=-（2x-1）（x+2）x2-5x+6=0x1=2（舍去）x2=3（2）x1=-1，x2=1（3=x+1，1-3x=x2+2x+1x2+5x=0，x1=0，x2=-5（舍去）（4）1233xx⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或343,1.3xx=⎧⎪⎨=-⎪⎩（5）将x=2y-22y+4=4-4y+y2，y2-6y=0，y1=0，y2=6（舍），把y=0代入①得x=-2∴20 xy=-⎧⎨=⎩3．7 12。

例1 如果21,x x 是方程01422=+-x x 的两个根，不解方程，求2221x x -的值. 解：∵ 21,x x 是方程01422=+-x x 的两根， ∴ 21,22121=⋅=+x x x x . 22))((.221424)()(2121222122122122121±=-+=-∴±=⨯-±=-+±=-±=-x x x x x x x x x x x x x x说明 题中没有明确21x x >，因此21x x -的值可能为正，也可能为负.例2 不解方程0122=--x x ，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.解：设方程0122=--x x 的两根是21,x x . 则 1,22121-=⋅=+x x x x .设所求的方程为02=+-q py y ，它的两根分别是121+x 和122+x 则 [][]2)(2)12()12(2121++-=+++-=x x x x p 6)222(-=+⨯-=，1122)1(41)(24)12)(12(212121=+⨯+-⨯=+++=++=x x x x x x q∴ 所求作的方程是0162=+-y y .例3 a 取何值时，方程03)3(22=-+--a x xa x ，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数.分析 满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足0>∆.解：设方程03)3(22=-+--a x xa x 的两根是21,x x ， 则 .3,3222121-=⋅-=+a x x a x x （1）依题意，有[]⎩⎨⎧=-=+>----=∆)2(032)1(0)3(4)32(2122a x x a a由（1）得 47<a . 由（2）得 23=a ，∴ 23=a 时，方程两根互为相反数.（2）依题意，得[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅>----=∆)2(.13)1(,0)3(4)32(22122a x x a a由（1）得 47<a ，由（2）得 2,221-==a a ， ∴ 2-=a 时，方程两根互为倒数.说明 方程02=++c bx ax 的两根互为相反数，也可由条件0=b 且c a 、异号来确定. 例4 已知关于x 的方程01222=+-+m mx x 的两个实数根的平方和是417，求m 值. 解：设方程的两根是21,x x . 则 212,22121+-=⋅-=+m x x m x x . 41721222,4172)(2212212221=+-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-∴=-+=+m m x x x x x x解这个方程，得3,1121=-=m m .当11-=m 时，,0238)11()12(2422<⨯--=+-⨯-=∆m m ∴ 舍去11-=m .当3=m 时，,0)5(8)3()12(2422>-⨯-=+-⨯-=∆m m∴ 3=m .说明 例1、例2都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例1是由0>∆确定了m 的取值范围，然后求出m 的值.而例2中的0≥∆是一个一元二次不等式08162≥-+m m ，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m 的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.例5 已知关于x 的一元二次方程x m x m )23(122-=+的两个不等实根的倒数和为S ，求S 的范围.分析 题中方程的一般形式为01)32(22=+-+x m x m ，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m 的取值范围，就能求两根倒数和S 的范围.解：整理原方程，得依题意，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠=+-+.04)32(,001)32(22222m m m x m x m解得 43<m 且0≠m . 设方程的两根为21,x x ， 则 .1,23221221m x x m m x x =⋅-=+ ,3232323,043.2311212121≠->-∴≠<-=⋅+=+=m m m m m x x x x x x S 且且即 323≠>S S 且. 例 6 关于x 的方程01432=---m mx x ① 与04)69222=+-+-m x m x ②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m 的值.分析 利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m 的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m 的方程，求出m 的值.解：设方程①的两个实数根为βα,， 则 .143,--==+m m αββα ∴.22314322)(22222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=+m m m m αββαβα把方程②变形为[][]0)2()2(2=+--+m x m x解这个方程，得 .2,2221+=-=m x m x 若1x 为整数根，根据题意，得222232--=++m m m .解这个方程，得1-=m . 此时232211=---=x 不是整数根，不符合题意，舍去. 若2x 为整数根，根据题意，得22232+=++m m m . 解这个方程，得21,021-==m m . 当0=m 时，方程②的2202=+=x 是整数，且0)1(4021>-⨯-=∆，方程①有两个实数根，符合题意.当21-=m 时，方程②的232212=+-=x 不是整数，不符合题意，舍去. ∴ 0=m .说明 这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.当求出方程的两根是22--m 和2+m 后，由于不知道m 的取值范围，所以不能盲目地认为2+m 是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m 的值.求出21,0,1-==-=m m m 后，还需要有检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m 为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m 的值.典型例题五例 已知⊙O 的面积为π，ABC ∆内接于⊙O ，abc 分别是三角形三个内角A 、B 、C 的对边，且A c b a sin ,222++、B sin 是方程[][]03)13()13(2=+-+---x m x m 的两根.（1）判定ABC ∆的形状； （2）求m 的值；（3）求ABC ∆的边长.分析：本题具有一定的综合性，在求解中要运用勾股定理、韦达定理及解直角三角形等知识.解 （1）由222c b a =+，知ABC ∆是直角三角形，且︒=∠90C .（2）由题意，得由（1）知，ABC ∆是直角三角形且︒=∠90C ，所以1sin sin 22=+B A ，于是B A B A B A sin sin 2)sin (sin sin sin 222-+=+1)13(32)13()13(2=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+m m m ，即 .33.632)432(+=∴-=-m m（3）将33+=m 代入原方程，得.03)32(42=++-x x解之，得 23,2121==x x . 23sin ,21sin ==∴B A 或21sin ,23sin ==∴B A .由圆的面积π，求得该圆的半径为1，所以2=c .解Rt ABC ∆，得3,1,2===b a c 或1,3,2===b a c .说明：一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，在综合应用中要注意与相关知识的联系.典型例题六例 实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ， （1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大； （3）一根大于3，一根小于3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅---+=+.)13(3sin sin ,)13()13(sin sin m B A m m B A分析：本题的三个问题分别对根附加了一些限制条件，根据判别式及韦达定理，可列出相应的使k 分别满足条件的方程组或不等式组，进而求出k 的取值范围.解 [])42(4)32(2----=∆k k0)52(2520422≥-=+-=k k k ， ∴无论k 取任何实数，方程都有两个实数根. 设该方程的两根为21,x x ，则由韦达定理，得.42,322121-=-=+k x x k x x（1）若使k x x ,0,021>>应满足条件：⎩⎨⎧>-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧>>∴.2,23k k ∴当2>k 时，方程有两个正根.（2）若使0,021<>x x 且k x x ,21>应满足条件：⎩⎨⎧<-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧<>∴.2,23k k ∴当223<<k 时，两根异号，且正根的绝对值较大. （3）若使k x x ,3,321<>应满足条件：0)3)(3(21<--x x ，即 09)(32121<++-x x x x ..27,09)32(342><+---∴k k k∴当27>k 时，方程一根大于3，另一根小于3.说明：由于本题的一元二次方程的判别式∆恒大于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑0≥∆或0>∆了，否则，每个条件组里都必须考虑∆的限制条件.典型例题七例 （北京市海淀区试题，2002）已知：关于x 的方程01)1(2=++-mx x m ，①有两个相等的实数根.（1）求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n m m 122+的值. 解：（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，⎩⎨⎧=--=≠-∴.0)21(4,0121n m n ∆ .01,0)1(42>-≠-=∴n m n m 则且由方程②，有.0.0)1)(3(8.03,08,001).)(3(8)642(4)32441(4)321(4)32(442222222222222222>∴>-+∴>+>∴≠>--+=-+=-+-+=-++=+---=∆∆n n m n m m n n n m n n m n n m n m m n m m m 且∴方程②必有两个不相等的实数根.（2）解法一：由.41)1(422m n n m =--=可得 将412m n =-代入方程①得.01422=++mx x m 解得 .221mx x -== ∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，由根的定义，得.03222)2(2222=+--⋅-⋅n m mm m m 整理，得 .0322=+--n m 即.03)1(422=+-=-n n.14)42(284 )1244()12(1274222222=+=+=+-=+=+∴=+∴n n n n n n m n n m m n n 解法二：由解法一得m2是方程②的一个根. 设方程②的另一根为0y . 由根与系数的关系可得.220mm y =+.032.0220=+--∴=∴n m y以下同解法一.解法三：),1(42-=n m方程②为 032)1(42)1(422=+-----n n my y n ③∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为1y ， ∴1y -为方程①的根..01)1(121=+--∴my y n由方程③变形，得()[].0324211421121=+--++--n n my my y n.0324221=+--∴n n my又由解法一可知 .21my =.7422=+∴n n以下同解法一.典型例题八例 (北京市宣武区,2002) 若关于x 的一元二次方程04)(332=+++ab x b a x 的两个实数根1x 、2x 满足关系式：)1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x .判断4)(2≤+b a 是否正确.若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例. 证明：∵ 关于x 的一元一次方程04)(332=+++ab x b a x 有两个实数根， ∴ 0≥∆，即[]0434)(32≥⨯⨯-+ab b a ，016)(32≥-+ab b a . ①∵ 1x 、2x 为方程的两个实数根， ∴ 34),(2121abx x b a x x =⋅+-=+. ∵ )1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x ， ∴ 12121222121+++=+++x x x x x x x x ，.13)(,121221212221=-+=-+x x x x x x x x∴ []1343)(2=⨯-+-abb a ， 14)(2=-+ab b a ， ∴ .1)(42-+=b a ab ② 把②代入①，得[]01)(4)(322≥-+++b a b a ，∴ 4)(2≤+b a .典型例题九例 如果方程012=++kx x 的一个根是32-，另一个根是α，求2)32(+-α的值.分析：)32(32--=+-αα是方程的两根之差，若设32-=β，则有44)()()32(,1,2222-=-+=-=+-=-=+k k αββαβαααββα，只要求出k 的值就行了.解：由题中条件，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+.1)32(,)32(ααk 解之，得另解：将32-=x 代入方程，得01)32()32(2=+-+-k ，即 )23(4)32(-=-k ， ∴.4-=k 于是，有.124164)()()32(.142122122122121=-=-+=-=+-⎩⎨⎧==+x x x x x x x x x x α说明：比较上述两种解法，不难看出解法1比较简单，其主要原因是突出了求解的整体性.典型例题十例 已知方程023)2(2=-++-k x k x 的两个实根为21,x x 且232221=+x x ，求k 的值.分析：这里仅知1=a ，但由23),2(-=+-=k c k b ，可得出c b ,之间的一个等量关系，再利用已知条件232221=+x x ，故可列出方程组来解之.解：根据根与系数的关系及已知条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+）（）（）（3.232,231 ,222212121x x k x x k x x 由（3）得2122122212x x x x x x －）（+=+.12)32()32(.4,3222==+-∴⎩⎨⎧-=+=ααk.23)23(2)2(2=--+=k k解得 5=k 或3-=k . 当5=k 时，[],03 )23(4)2(2<-=--+-=∆k k原方程无实数根，不合题意. 当3-=k 时，[].3,045 )23(4)2(2-=∴>=--+-=∆k k k 说明：应用根与系数的关系解有关问题时，必须考虑条件0≠a 及0≥∆，否则可能得出错误的结果.典型例题十一例 已知一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之和为p ，两根的平方和为q ，两根的立方和为r ，求cp bq ar ++的值.分析：运用韦达定理求解.解 设方程02=++c bx ax 的两根为21,x x ，则由韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,2121a c x x ab x x 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∴,ab p -= 2122122212)(x x x x x x q -+=+=22222a ac b a c a b -=⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=， ))((212221213231x x x x x x x x r -++=+=[].333)()(3322122121aabcb ac a b a b x x x x x x +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=∴cp bq ar ++.023232332233=--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-⋅++-⋅=a abcabc b abc b a b c a ac b b a abc b a说明：上述解法属常规方法，但解题过程较为麻烦，若根据一元二次方程的概念并灵活利用关技巧便会有如下解法.设方程的两根为21,x x ，由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∵21,x x 是方程的根，代入原方程，得.0,0222121=++=++c bx ax c bx ax①×1x ，得,012131=++cx bx ax ②×2x ，得,022232=++cx bx ax③＋④，得,0)()()(2122213231=+++++x x c x x b x x a 即0=++cp bq ar .典型例题十二例 已知关于x 的一元二次方程.0)2(21)3(222=+++-m x m x （1）试证：无论m 取任何实数，方程均有两个正根； （2）设21,x x 为方程的两个根，且满足217212221=-+x x x x ，求m 的值.分析：欲证方程有两个正根，必须证该方程的判别式0≥∆，且0,02121>>+x x x x . （1）证明 [])2(214)3(222+⨯-+-=∆m m ,01)2(542224>++=++=m m m 设21,x x 为方程的两个根，，由韦达定理，得.0)2(21,03221221>+=>+=+m x x m x x 故无论m 为何实数，该方程均有两个正根. （2）解 ∵217212221=-+x x x x ， .2173)(21221=-+∴x x x x 217)2(23)3(222=+-+∴m m ，即059224=-+m m .解之，得212=m 或52-=m （舍）. 22±=∴m . 说明：把根的判别式与韦达定理结合起来，可讨论或判定一元二次方程根的符号，即设一元二次方程为)0(02≠-++a c bx ax ，其判别式ac b 42-=∆，两根为21,x x ，则该方程有两个正根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有两个负根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有一正根和一负根的条件是：⎪⎩⎪⎨⎧>=>∆.0,021a c x x 若正根的绝对值大，则再加上条件021>x x . 若正根的绝对值小，则再加上条件021<+x x . 若两根互为相反数，则再加上021=+x x .典型例题十三例：在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值。

一元二次方程的解法（三）公式法和因式分解法复习：1．直接开平方法：2．配方法：为少犯配方时计算错误,一般这样配方,例如：用配方法解方程：22510x x -+=把二次项系数化为1,得：把常数项移到等号的右边：方程两边同时加上一次项系数一半的平方： 配方,计算要准确：两边开平方：移项：正确写出原方程的解：一、求根公式法探索：我们来解一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）解：因为a ≠0,方程两边都除以a,得20b c x x a a++=． 移项,得2b c x x a a+=-． 配方,得2222()()222b b b c x x a a a a +⋅⋅+=-, 即2224()24b b ac x a a-+=． 因为a ≠0,所以42a ＞0,当24b ac -＜0时,方程无实数根；当24b ac -≥0时,直接开平方,得2422b b ac x a a-+=± 所以2422b b ac x a a-=-±, 即221244b b ac b b ac x x -+----== 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）法2：4 a 2x 2＋4abx ＋4ac ＝022a x （）＋2·2ax ·b ＋b 2＝b 2-4ac (2ax+b)2= b 2-4ac由以上研究的结果,得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式： 224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥． 利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接求得 方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例1：用公式法解方程 2341x x =+练习：用公式法解方程：（1）2 1.53x x +=-；（2）21202x +=； （3）24320x x -+=．例2：解关于x 的方程2210x ax --=；练习：解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；小结：公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根与 系数的关系,（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式,准确找出各项系数 a 、b 、c ；（2）先求出24b ac ∆=-的值,若240b ac ∆=-≥,则代入公式 ．若240b ac ∆=-<,则 ；例3：解方程：2523x x =二、因式分解法 依据：000A B A B ⋅=⇔==或（A 、B 至少一个为0）先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使两个一 次式分别等于0,从而实现降次；这种解法叫做因式分解法．所有学 过的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法．注意：1??A B A B ⋅=⇒==（不确定A 、B 的值）． 例4：用因式分解法求解下列方程：（1） (2)22(4)(52)x x -=-．（3）(2)20x x x -+-=； （4）26x x -=；()()()24 85860x x +-++=()5(2)20x x x -+-=练习： （1）22135-2--244x x x x =+； （2）3(21)42x x x +=+；例5：2(1)234)30x x +-= 2(2)3260x -+-=()223320x mx m -+=()()224210x a x a a -+++=总结：1． 一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）2．一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法：是以平方根为基础的一种解一元二次方程的方法233p +=（2）配方法：配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；②移项, 即使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项；③配方,即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0,则原方程无解．（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是24b b ac x-±-(b2－4ac≥0),步骤是：（1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0；（2）计算代数式b2－4ac的值；（3）当b2－4ac≥0由求根公式写出方程的解,当b2－4ac<0时方程无实根。