动量和冲量

1 碰撞和动量守恒——高顺德

一、动量

1、动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量．P=mv

1)单位是kg·m/s

2)是矢量，方向与速度方向相同.

3)通常说物体的动量是指运动物体某一时刻的动量(状态量)，计算物体此时的动量应取这一时刻的瞬时速度。

4）动量是矢量：物体动量的方向与物体的瞬时速度方向相同，动量的运算应使用平行四边形定则，如果物体的运动变化前后的动量都在同一直线上，那么选定正方向后，动量的方向可以用正、负号表示，动量的运算就简化为代数运算了。

5）动量是相对量：由于物体运动的速度与参考系的选择有关，所以物体的动量也跟参考系的选择有关。选用不同的参考系时，同一运动物体的动量可能不同，通常在不说明参考系的情况下，物体的动量是指物体相对地面的动量。

2、动量和动能的区别和联系

①动量的大小与速度大小成正比，动能的大小与速度的大小平方成正比。

②动量是矢量，而动能是标量。因此，物体的动量变化时，其动能不一定变化；而物体的动能变化时，其动量一定变化。

③引起动量变化的原因是物体受到外力的冲量；引起动能变化的原因是外力对物体做功。

④动量和动能都与物体的质量和速度有关，两者从不同的角度描述了运动物体的特性，且二者大小间存在关系式：P2＝2mEk

注：即动量相同而质量不同的物体，其动能不同；动能相同而质量不同的物体其动量不同。

3、动量的变化及其计算方法

动量的变化是指物体末态的动量减去初态的动量，是矢量，对应于某一过程（或某一段时间），是一个非常重要的物理量，其计算方法：

（1）P0、Pt在一条直线上的情况，先选取正方向，和规定正方向相同的为正，相反的为负，

再利用ΔP=Pt一P0进行代数运算。

（2）如果P0、Pt；不在一条直线上

1）利用平行四边形定则或三角形定则进行矢量运算 ΔP=Pt一P0 （此时Pt ，P0 为向量）

2）利用动量定理 ΔP=F·t，F为恒力的情况，或冲量能算。

二、冲量

1、冲量：（1）、力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量．是矢量，单位是：N·m

（2）、冲量反映了力对时间的积累过程，是一个过程量。

(3)冲量方向确定

1)如果在力的作用时间内，力的方向不变，则力的方向就是冲量的方向；

2)如果在力的作用时间内，力的方向改变，则冲量的方向和动量的变化量方向相同（此力要为合外力才能这么判断）

（4）、冲量不仅由力的决定，还由力的作用时间决定。而力和时间都跟参照物的选择无关，所以力的冲量也与参照物的选择无关。

2

2、冲量的计算方法

（1）I=F·t．采用定义式直接计算、主要解决恒力的冲量计算问题。

（2）利用动量定理 Ft=ΔP．主要解决变力的冲量计算问题，但要注意上式中F为合外力（或某一方向上的合外力）。

（3）当力的方向不变，大小在改变时,利用tF图像求解

三、动量定理

1、动量定理：物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化，Ft=mv/一mv 或Ft＝p/－p；

（F是合外力，t是力作用的时间。）

2、该定理由牛顿第二定律推导出来：（质点m在短时间Δt内受合力为F合，合力的冲量是F合Δt；质点的初、未动量是 mv0、mvt，动量的变化量是ΔP=Δ（mv）=mvt－mv0．根据动量定理得：F合=Δ（mv）/Δt）

3、理解：

（1）上述公式是一矢量式，要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向。

（2）动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统，对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力，系统内力的作用不改变整个系统的总动量。

（3）用牛顿第二定律和运动学公式能解的恒力作用下的匀变速直线运动的问题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。但是，动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力，对于变力，动量定理中的力F应当理解为变力在作用时间内的平均值。

（4）根据maF得tpptvvmmaF即tpF，这是牛顿第二定律的另一种表达形式：作用力F等于物体动量的变化率tp。

（5）动量与参考系的选取有关，所以用动量定理时必须注意参考系的选取。中学阶段以地球为参考系。

（6）牛顿第二定律只适用于宏观物体的低速运动的物体，而动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观现象的高速运动仍然适用。

（7）不能认为合外力的冲量就是动量的变化。合外力的冲量是引起动量变化的原因，而动量变化是冲量作用的必然结果。

（8）动量定理的研究对象是单个质点或由质点所构成的系统，当研究对象为质点系统时，动量定理中的动量应是该系统内所有质点在同一时刻动量的矢量和，而冲量是该系统内各个质点在同一物理过程中所受一切外力冲量的矢量和，不包括系统内各质点之间相互作用力（内力）的冲量，这是因为内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反，故其内力的总冲量必定为零。

（9）应用动量定理解题的注意事项：

① 因为动量定理中的冲量为研究对象所受外力的总冲量，所以必须准确地选择研究对象，并进行全面的受力分析，画出受力图，如果在过程中外力有增减，还需进行多次受力分析。

② 因为动量定理是矢量式，而多数情况下物体的运动是一维的，所以在应用动量定理前必须建立一个一维坐标，确定正方向，并在受力图中标出。在应用动量定理列式时，已知方向的动量、冲量均需带符号（与正方向一致时为正，反之为负），未知方向的动量、冲量通常先假设为正，解出后再判断其方向。

3 ③ 对过程较复杂的运动，可分段列动量定理，也可整个过程列动量定理。

5、动量定律的深度理解

（1）I为合力冲量，如外力是恒力，可先求合力合F，再求合力冲量t合F；若物理过程较长，分几个阶段，或者在该过程中有变力，则“合力冲量”应理解为“外力的总冲量”，等于各个外力冲量的矢量和，即nntFtFtFtFI332211。

（2）冲量和动量都是矢量，所以该定理的表达式为矢量式，等式两边大小相等方向相同。对于作用前后各量的方向均在一条直线上的情况，可选取某一方向为正方向，与正方向相同的取正值，反之则取负值，从而将矢量运算转化成代数运算。

（3）动量定理对于直线运动、曲线运动、恒力、变力、单一物体和多物体系统均适用。

6．应用动量定理的思路：

（1）明确研究对象和受力的时间（明确质量m和时间t）；

（2）分析对象受力和对象初、末速度（明确冲量I合，和初、未动量P0，Pt）；

（3）规定正方向，目的是将矢量运算转化为代数运算；

（4）根据动量定理列方程

（5）解方程。

[例1] 玻璃杯从同一高度自由落下，掉落在硬质水泥地板上易碎，掉落在松软地毯上不易碎，这是由于玻璃杯掉在松软地毯上（ ）

A. 所受合外力的冲量较小

B. 动量的变化量较小

C. 动量的变化率较小

D. 地毯对杯子的作用力小于杯子对地毯的作用力

解析：杯子从同一高度自由落下，与地面相碰前的瞬时速度、动量都是一定的。与地面相碰到刚静止时，不管玻璃杯是否破碎，其动量的改变量都相等，由动量定理得：合外力的冲量也都相等。可见A、B选项是错误的。

由ptF得，玻璃杯受到的合外力等于其动量的变化率tp。玻璃杯掉在松软的地毯上，动量减小经历的时间t较长，tp较小，玻璃杯受到的合力较小，玻璃杯就不易碎，故C选项对。地毯对杯子的作用力与杯子对地毯的作用力是一对相互作用力，所以他们大小相等，故选项D是错误的，正确答案是C。

搬运玻璃等易碎品时，在木箱里放些纸屑、刨花等物；人从高处跳向地面，人与地面接触时，人要往下蹲的现象也可以类似的用动量定理解释。

[例2] 如图1所示，把重物G压在纸带上，用一水平力缓缓拉动纸带，重物将随纸带一起运动；若快速拉动纸带，则纸带可能会从重物下抽出。试解释这一现象。

解析：当缓缓拉动纸带时，重物与纸带之间的摩擦为静摩擦，由于作用时间长，其获得的冲量较大，可以改变物体的静止状态，从而带动重物一起运动。

4 在快拉时，尽管这时重物与纸带因分离将产生滑动摩擦力，但由于作用时间短，重物获得的冲量并不大，还未来得及改变其运动状态，纸带已抽出来了。

（2）计算作用力

[例3] 一个质量为kgm2的物体，在NF81的水平推力作用下，从静止开始沿水平面运动了st51，然后推力减小为NF52，方向不变，物体又运动了st42后撤去外力，物体再经过st63停下来，试求物体在水平面上所受的摩擦力。

解法1：取物体为研究对象，它的运动可分为三个过程。设第—、二过程的末速度分别为1v和2v，物体所受摩擦力为fF，规定推力的方向为正方向，根据动量定理对三个过程分别有：111)(mvtFFf； 1222)(mvmvtFFf；230mvtFf

联立上述三式得NNttttFtFFf464545583212211

解法2：规定推力的方向为正方向，在物体运动的整个过程中，物体的初动量01P，末动量02P。据动量定理有：0)(3212211tttFtFtFf

即0)645(4558fF解得NFf4

由解法2可知，合理选取研究过程，能简化解题步骤，提高解题速度。本题也可以用牛顿运动定律求解，同学们可比较这几种求解方法的简繁情况。

[例4] 据报道，1980年一架英国战斗机在威尔士上空与一只秃鹰相撞，飞机坠毁。小小的飞鸟撞坏庞大、坚实的飞机，真难以想象。试通过估算，说明鸟类对飞机的威胁，设飞鸟的质量为kgm1，飞机的飞行速度为smv/800，若两者相撞，试估算鸟对飞机的撞击力。

解析：以鸟为研究对象。和飞机相撞前其速度可忽略（与飞机速度相比）相撞后可认为鸟和飞机一起运动，速度为smv/800（因鸟的质量远小于飞机的质量，故相撞后飞机的速度几乎不变）。设鸟与飞机相撞变形改变的尺寸为mL2.0（基本为鸟的尺寸），则撞击时间为vLt。由动量定理得：mvtF，NLmvtmvF62103。

5 可见，鸟对飞机的威胁很大，所以，在大型机场附近，都设有驱赶鸟的装置。

（3）计算作用时间

[例5] 有一重为G的铁块从沙面上方自由下落，经时间t后与沙面接触。已知铁块在沙中运动时受到的阻力为fF，求铁块在沙中运动的时间。

解析：小铁块在运动过程中，只受到重力G和沙对铁块竖直向上的阻力fF的作用，且整个运动过程中铁块的动量变化量p为零，设铁块在沙中运动的时间为t，取竖直向下为正方向，由动量定理得：0)(tFttGf 解得：tGFGtf

（4）计算物体的质量

[例6] 一架质量为kg500的直升机，其螺旋桨把空气以sm/50的速度向下推，恰好使其悬在空中，则每秒钟螺旋桨推下的空气的质量为多少？

解析：飞机通过向下推空气而获得反冲力F，可根据平衡条件，求出飞机与空气的相互作用力MgF，每秒钟被推下的空气的动量变化量应等于飞机的推力的冲量。即mvtMg，所以kgkgvMgtm985018.9500