北师大版九年级数学下册课件：3.3 垂径定理(共15张PPT)

则 EF＝ 5 .
10．如图，AB、CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN 是 直径，AB⊥MN 于点 E，CD⊥MN 于点 F，P 为 EF 上任意一点，则 PA＋ PC 的最小值为 7 2 .
11．如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点交汇，且∠QPN＝30°.点 A 处有一所 中学，AP＝160 m，假设拖拉机沿公路 MN 行驶时， 周围 100 m 以内会有噪声影响，学校是否会受影 响？请说明理由．如果会受影响，那么学校受影响 的时间是多少(已知拖拉机的速度为 18 km/h)? 解：作 AD⊥MN 于点 D，∵∠QPN＝30°，∴AD＝A2P＝1260＝80，∵80 m ＜100 m，∴学校会受噪声的影响，以 A 为圆心，100 m 为半径画弧，与 MN 交于 B、C，连接 AB，∴BD＝CD，∵BD＝ AB2－AD2＝ 1002－802＝ 60，∴BC＝2BD＝120，∵18 km/h＝5 m/s，∴1520＝24(s)，∴学校受影响的 时间为 24 s.
12．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球半径，于是找了两块 厚 20 cm 的砖塞在球的两侧(如图所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是 80 cm.聪明的你，请你算出大石头的半径是多少？
解：如图可知 AB＝80 cm，CD＝20 cm，连接 OB，设半径 OB＝r，则 OD ＝r－20，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝21AB＝40 cm.在 Rt△ODB 中，由勾股 定理得：(r－20)2＋402＝r2，解得：r＝50 cm.答：大石头的半径为 50 cm.
1．如图，已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，下列结论中一定正确的是
(B) A．AE＝OE
B．CE＝DE
C．OE＝12CE

预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究

∴ CD是直径， AD⌒＝BD，⌒AC＝⌒BC ⌒
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦
所对的另一条弧
∵
⌒
CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
（A⌒C＝B⌒C）
⌒
∴ CD平分AB，AC⌒＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
第9页，共23页。
2015.01
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AA,OB,则OA=OB.
M└
●O 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
︵︵
D
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴ AB= BC
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
第20页，共23页。
C
•O
A
B
(3) D
2015.01
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
第15页，共23页。
2015.01
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O 到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
第16页，共23页。
2015.01
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条 直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？

为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
例题3
例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：A⌒C＝B⌒D
M
C
D
A
B
.O
证明：∵作A直B径∥MCND⊥，A∴BM。N⊥CD。则AM⌒＝N B⌒M，CM⌒ ＝D⌒M（垂直平分弦的直径平 分弦所对的弦） A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
A
重 合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
C
A
●
B 由 ① CD是直径 可推得
M
●O
② AM=BM
③CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径
D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
想一想
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧.