垂径定理教学设计人教版数学九年级上册

人教版九年级上册《垂径定理》教案
《人教版九年级上册《垂径定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
教学背景
学生在学习了圆的基本定义(旋转定义和集合定义)和相关弦，弧等概念后，结合轴对称性质来探讨的定理。

教学目标
1、知识目标：
(1)充分认识圆的轴对称性;
(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径
定理及其推论;
(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：
(1)让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究
过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决
问题的能力。

(2)让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思
维能力。

3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知
欲，同时培养学生勇于探索的精神。

教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用
教学难点
(1)垂径定理的证明
(2)垂径定理的题设与结论的区分
教学辅助
多媒体
教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。

令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。

学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。

教学过程
教学总结
人教版九年级上册《垂径定理》教案这篇文章共6626字。

垂直于弦的直径B AC ED O 3．如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，CD ⊥AB ，垂足为E 。

（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？线段：AE=BE弧：AC BCAD BD ==， 得垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

设计意图：通过学生的观察，归纳，证明出垂径定理4．得垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

5．利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题设计意图：利用垂径定理来解决实际问题，体现数学来源于生活，应用于生活！6．随堂检测1、如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD图1 图2 图32、如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A 、4B 、6C 、7D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图3所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm ，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）．4、如图3，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求：⊙O 的半径.设计意图：灵活利用垂径定理来解决问题，体现出垂径定理的重要性！ _B _A _O _M A BOO B DPA EC D C A B O 7．课堂小结垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

六、练习及检测题⑴判断：① 平分弧的直径必平分弧所对的弦。

② 平分弦的直线必垂直弦。

③ 垂直于弦的直径平分这条弦。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。

1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。

1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。

2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。

第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。

3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。

3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。

3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。

第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。

4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。

第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。

5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。

第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。

6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。

第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。

7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。

7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。

7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。

7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。

第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。

8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。

垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。

教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。

同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。

但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.教学难点：垂径定理的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。

2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。

3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。

4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。

2.教学素材：教材、课件、练习题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。

同时，引导学生思考如何证明这个定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。

垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。

这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。

但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。

此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。

2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。

2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。

3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。

3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。

《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。

2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。

教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。

2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。

2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。

教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。

第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。

2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。

教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。

2. 引导学生验证垂径定理的正确性。

教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。

2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。

教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。

第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。

2. 培养学生解决实际问题的能力。

教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。

2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。

教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。

2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。

教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。

第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。

2. 提高学生解决实际问题的能力。

教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。

2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。

教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。

2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。

教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。

2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。

第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。

培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

1.2 过程与方法：通过观察、猜想、证明的过程，让学生体验数学的探究过程。

运用图形计算器或信息技术工具，帮助学生更好地理解垂径定理。

1.3 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心。

培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析：分析教材中关于垂径定理的定义、证明和应用。

理解垂径定理在圆的性质和几何图形中的应用。

2.2 学情分析：了解学生对圆的基本知识和垂线的概念。

了解学生对几何证明的掌握程度，为学生提供必要的支持。

第三章：教学重难点3.1 教学重点：让学生掌握垂径定理的证明过程和定理的内容。

能够运用垂径定理解决相关的几何问题。

3.2 教学难点：理解并证明垂径定理。

灵活运用垂径定理解决实际问题。

第四章：教学方法与手段4.1 教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、猜想、证明。

运用小组合作学习，鼓励学生互相交流、讨论。

4.2 教学手段：使用图形计算器或信息技术工具，展示几何图形，帮助学生更好地理解垂径定理。

提供相关的练习题和案例，供学生实践和应用垂径定理。

第五章：教学过程5.1 导入：通过引入实际问题或情境，激发学生的兴趣和好奇心。

引导学生观察和猜想垂径定理的内容。

5.2 探究与证明：引导学生进行小组合作学习，共同探究垂径定理的证明过程。

引导学生运用几何知识和证明方法，进行逻辑推理和证明。

5.3 应用与练习：提供相关的练习题和案例，让学生运用垂径定理解决问题。

引导学生进行自主学习和合作交流，解答练习题和案例。

鼓励学生反思自己的学习过程，提出问题和建议，为后续学习做好准备。

1. 导入新课通过展示实际问题，引入垂径定理的概念和意义。

提供具体的垂径定理案例，让学生观察和分析，引导学生猜想垂径定理的内容。

第五章：垂径定理的证明通过引导学生运用已有知识，尝试证明垂径定理。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。

学会运用垂径定理解决实际问题。

1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。

学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。

1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。

培养学生的合作意识和解决问题的能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。

通过实际例题，展示垂径定理的应用。

2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。

学生具备一定观察和实验的能力。

第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。

引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。

3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。

引导学生总结垂径定理的表述。

3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。

通过示例，解释垂径定理的应用。

3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。

教师引导学生互相讨论和解答问题。

第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。

学生之间互相评价，分享解题经验和思路。

4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。

学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。

第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。

5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。

5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。

第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。

6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。

6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。

第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。

垂径定理教学设计教学设计：垂径定理教学目标：1.理解垂径定理的定义和原理；2.掌握应用垂径定理解决问题的方法；3.培养学生的逻辑思维和证明能力。

教学步骤：一、导入（15分钟）1.通过提问的方式，引出垂径定理的概念和作用，激发学生对该定理的兴趣。

2.给学生展示一些实际生活中使用垂径定理的例子，如建筑设计、地理测量等，说明学习垂径定理的重要性。

二、理解垂径定理（30分钟）1.引导学生观察和发现：在一个圆内，以圆心为端点的半径与圆上条切线之间的关系。

2.引导学生总结并给出垂径定理的定义：在一个圆内，以圆心为端点的半径与圆上的切线垂直。

3.通过给出几个具体的案例，帮助学生理解垂径定理的意义和应用。

三、应用垂径定理解决问题（30分钟）1.给学生出示一些具体问题，引导他们应用垂径定理解决问题。

2.阐述解决问题的一般步骤：根据问题条件，确定圆心、半径和切线，应用垂径定理判断是否垂直。

3.给学生分组讨论解决问题的方法，并在黑板上进行总结和讨论。

四、拓展练习（30分钟）1.给学生分发一些练习题，让他们独立或小组完成，并在课堂上进行讲解和讨论。

2.引导学生思考问题的多个解法和证明的不同方法，培养他们的思考能力和证明能力。

3.鼓励学生提出疑问和讨论，引导他们思考如何应用垂径定理解决更复杂的问题。

五、总结（15分钟）1.综合学生的讨论和解答，总结垂径定理的定义、应用和解决问题的方法。

2.提出作业：让学生写一篇500字以上的短文，总结垂径定理的原理和应用，并分析具体案例。

3.回顾整个课堂内容，引导学生思考学习垂径定理的感受和收获。

教学资源：1.教师准备的课件，包括垂径定理的定义、案例和应用；2.练习题，用于课堂练习和讨论；3.学生课本和笔记本，用于记录课堂内容和思考问题。

教学评价：1.在课堂上观察学生的参与情况，检查他们对垂径定理的理解和应用；2.根据学生的讨论和解答，评价他们的思考能力和证明能力；3.根据学生的作业，评价他们对垂径定理的理解和总结能力。

24．1．2 垂直于弦的直径集安二中王福利一、教材分析1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。

2、该性质是圆的轴对称性的演绎，提供了证明线段相等和弧相等的重要依据，并渗透了转化和数形结合等重要数学思想。

教学重点：垂径定理及其推论教学难点：垂径定理的证明方法轴对称性是理解“垂径定理”的关键。

学情分析1.九年级学生已经具备一定的推理能力,能有条理地阐述自己的观点,并能用数学语言表达.2.初中生好奇心强，思维活跃。

他们厌倦枯燥乏味的说教和满堂灌。

因此需要给他们充分的时间和足够的空间，让他们动起来。

这样让学生不仅学会数学理论，还能动手实践；不仅学会独立思考，还能与他人合作交流；不仅学会主动探索问题，还能提出和发现问题。

二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理及推论。

（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算。

2、能力目标：（1）让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

（2）让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲同时培养学生勇于探索的精神。

三、教学辅助：多媒体、圆形纸片。

四、教学过程：1、情景创设展示图片，根据图片引出课题。

2、回顾旧识问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？（2）如果是，它的对称轴是什么？（3）圆有多少条对称轴？（1）圆是轴对称图形。

（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条3、4、探求新知D提问：这个结论是同学们通过折叠观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，A B⊥CD证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB<板书>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

人教版九年级上册《垂径定理》教案目录•课程介绍与目标•知识回顾与铺垫•垂径定理的引入与证明•垂径定理在几何问题中的应用•垂径定理在生活中的实际应用•课堂练习与巩固提高•总结回顾与拓展延伸01课程介绍与目标教材版本及内容概述教材版本人教版九年级上册内容概述本节课主要学习垂径定理及其推论，包括圆的性质、直径与弦的关系等。

垂径定理是圆的重要性质之一，在解决与圆有关的问题时具有广泛的应用。

知识与技能过程与方法情感态度与价值观教学目标与要求掌握垂径定理及其推论，理解圆的性质，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。

通过观察、实验、推理等活动，培养学生的探究能力和数学思维能力。

感受数学之美，体会数学在解决实际问题中的应用价值，培养学生的数学兴趣和自信心。

教学方法与手段教学方法采用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、推理等活动主动探究垂径定理及其推论。

教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，帮助学生更好地理解垂径定理及其推论。

同时，鼓励学生动手实践，通过实验操作验证垂径定理的正确性。

02知识回顾与铺垫圆的性质及定义圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是最长的弦，且一个圆有无数条直径。

直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

在同一个圆中，所有的半径都相等。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

弦的长度可能等于直径，也可能小于直径。

030201直径、半径、弦等概念顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

圆心角圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧的长度与圆心角的度数成正比。

弧在同一个圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

弦与弧的关系圆心角、弧、弦之间的关系03垂径定理的引入与证明垂径定理的表述垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

《垂径定理》教学设计一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．二、教学任务分析该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是：知识与技能1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．过程与方法1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感与态度1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教学设计分析本节课设计了四个教学环节：探索引入，猜想证明，知识应用，归纳小结.第一环节探索引入活动内容：1.你能确定圆形纸片的圆心位置吗？动手试一试！在这一过程中，你发现了什么结论？活动目的：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．第二环节猜想探索活动内容：1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD.证明：连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,⌒AC和⌒BC重合,⌒AD和⌒BD重合.∴⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD.2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件：① CD 是直径；② AM=BM结论（等量关系）：③CD ⊥AB ；④⌒AC =⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD .让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. O C D B A O C DE O C D B A5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：活动目的：活动1的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动2 的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．实际教学效果：在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA 、OB ，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．第三环节知识应用活动内容：讲解例题及完成随堂练习．例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．变式1．如图，在⊙O中，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，求弦AB的长．变式2．如图，在⊙O中，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，求圆心O到距离．例2.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．例3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？练习：1．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，求该输水管的半径.2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形.活动目的：例1.主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题，通过变式训练体会解决几何问题的方法思想是一样的；例3的主要目的是让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，当堂练习检测学生的应用能力。