沪教版七年级 分式的意义和性质,带答案

分式的意义与性质【知识要点】1．分式的概念：两个整式A 、B 相除，即B A ÷时，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么BA 叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.注：分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；2．分式有意义：分母不等于零3．分式的值：分式的分母不等于零，且分子等于零时，分式的值为零.4．分式的基本性质（初步约分）：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 5. 约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分。

6. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.7. 代入计算方法（初步求值）【典型例题】例1 判断下列各式，哪些是分式？（1）x 1，（2）21，（3）212+x ，（4）πxy 3，（5）m a 1+，（6）b a 5132-，（7）b a ÷ 例2 （1）x 为何值时，下列分式有意义．（2）x 为何值时，下列分式没有意义.例3 （1）x 为何值时，下列分式的值为零．（2）求满足条件的x 的值．①分式224534x x x x -+-+的值为1； ②分式221x x -+的值为负数； （3）若23+x 的值为整数，求x 的整数值； 例4 （1）填空：22222()()22,2y a ab b xy a b xy a b +-==+-；（2）当x 、y 满足关系式 时，分式3()5()x y x y --的值等于35； （3）若x 、y 同时扩大2倍，则下列分式的值的变化情况为：例5 （1）a 为何值时，下列等式成立：（2）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中的各项系数化为整数．例6 （1）化简下列分式：（2）求下列分式的值： ①12122++-x x x ，其中2005=x ； ②2224200833,1100322a b a b a b -=⎧⎨=-⎩-其中； 例7 （1）已知2=y x ，求22222y x xy y x -++的值； 【大展身手】一．选择题：1. 如果分式063=+-yx y x ，那么x ，y 应满足（ ） A. y x 2= B.y x -≠ C. y x y x -≠=且2 D. 02≠=y y x 且2. 若分式1122++x x 无意义，则（ ）A. 1=xB. 1-=xC. 11-==x x 或D.没有这样的有理数3. 下列分式a c b 4122、x y y x ++2)(5、)(322b a b a ++、b a b a --2422、a b b a --中，最简分式的个数是（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．下列等式成立的是（ ）其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。

第十三讲：分式的意义及性质1．理解和掌握分式的概念，通过类比分数探究分式有意义的条件和分式值为零的条件；2．理解并掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法．1. 一名运动员在上海金茂大厦跳伞，从350米的高度跳下，（1） 若到落地时用了15秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？（2） 若到落地时用了20秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？（3） 到落地时用了x 秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？2. 350x ，2b a ，23a b c x++这些代数式有什么共同点？3. 下列式子中哪些是整式？哪些是分式？分式的定义：两个整式A 、B 相除，即A÷B 时，可以表示为A B，如果B 中含有字母，那么A B 叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

241121323223x y xy x x x x y a b c a x x π++-++++--、、、、、、分式有意义的条件：4．x 取何值时，下列分式无意义？215(1)(1)(2)(3)22x x x x xx x++++5．当x 取何值时，分式25131x x x +-+的值有意义？讨论：分式的分母不能为零，那么分式的分子可以为零吗？6. 当x 取何值时，分式2131x x +-值为零？例如：9315x x =3x ⨯⨯35x ⨯⨯35=； 223(2)610y xy xy x y -⨯-=5(2)x xy ⨯35y x =-7．化简：22222623(1)(2)(3)92x y x y x x xy x y x+-+-8．化简：22226155(1)(2)(3)44926x x x b a x x x a b-----+--例1. 当x取何值时，下列各分式无意义：(1)．51xx+--．(2)．223510xx++．(3)．25121x xx-+-．试一试：写出当x为何值时，下列各分式的值为零：(1)．231xx-+．(2)．51xx+--．(3)．23510xx++．例2. 当12,23a b==时，先化简分式22222a ab ba b++-并求分式的值．试一试：当a=23，先化简分式2223712a aa a---+并求分式的值．例3. 不改变分式的值，使分式的分子、分母首项为正，则 x y x y -+--= 试一试：1．下列各式中与分式a ab --的值相等的是（ ） （A ）a a b -- (B ) a a b + (C ) a b a- (D )a b a -- 2．下列各式的变形：①x y x y x x -+-=；②x y x y x x-++=-；③x y x y y x x y -++=--； ④y x x y x y x y--=-++．其中正确的是（ ） （A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②③ （D ）④3．不改变分式的值，使分式的分子和分母中的最高次数项的系数为正：(1)212x x -+--= (2)222x x x -+-=1．在代数式222131312321x x x a b x a y x a x π+---++-、、、、、中，分式的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若将分式2a b ab +（a ，b 均为正数）中字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．不变D ．缩小为原来的一半3．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x + 4．已知2x =时，分式21x k x --的值为零，那么k = 5．先化简，再求值：2422a ab b a --+-，其中3a =，34b =-．【巩固练习】1．当x 和y 都扩大3倍时，分式2x y x y --的值将（ ） A 、不变 B 、扩大3倍 C 、缩小3倍 D 、扩大9倍2．化简：(1)3232105a bca b c-．(2)．4669x xyx xy--．(3)．224932x yy x--．(4)．222232x yx xy y--+．(5)．2212xx x-+-(6)．22432x xx x-++-。

分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式. 其中AB叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的. 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式. 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母” ，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如x y是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： A A M，A A M（其中M是不等于零的整式）.B B M B B M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式. 其中B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠ 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化. 例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变2 4解：整式有：23，2y 2， 2y 2；其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数 要点诠释： 根据分式的基本性质有 b a b bb. 分式a与 a 互为相反数a a ab b重要的作用 .要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的 值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式 （1 除外）， 那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式 .（ 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .要点六、分式的通分与分数的通分类似， 利用分式的基本性质， 使分式的分子和分母同乘适当的整式， 不改 变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母： 一般取各分母所有因式的最高 次幂的积作为公分母 .2）如果各分母都是单项式， 那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积； 如果各分母都是多项式， 就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母 .3）约分和通分恰好是相反的两种变形， 约分是对一个分式而言， 而通分则 是针对多个分式而言 .典型例题】 类型一、分式的概念高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 1】. 根据有理数除法的符号法则有分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着1、指出下列各式中的整式与分式：1 ，1 ，a b ，x ， 3 ，， ， ， ，2 ，x x y 2 x 12y 2，2 x ，思路点拨】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 如果含有字母则是分式， 如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】∵ x 2 为非负数，不可能等于－ 1， ∴ 对于任意实数 x ，分式都有意义； 当 x 0 时，分式的值为零．（2）当 x 2 0即 x 0时，分式有意义； 当 x 0, 即 x 5 时，分式的值为零x 5 0,（3）当 x 5 0，即 x 5 时，分式有意义； 当 x 5 0, ①时，分式的值为零，2x 10 0 ②由①得 x 5时，由②得 x 5 ，互相矛盾．2x 10∴ 不论 x 取什么值，分式 2x 10 的值都不等于零．x5【总结升华】 分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值 为零． 举一反三：【变式 1】若分式的值为 0，则的值为 _________________________ . 【答案】 － 2；|x| 2 0 |x| 2 0 提示：由题意 2， ，所以 x 2.x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0分式有：1，1 ， 3 ， x2 x x y x 2 1 x总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处： 一个是把 π 也看作字母来判断， 没有弄清 π 是一个常数； 另一个就是将分式化简成整式后2再判断，如 x 和 x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义， 分式值为 0 高清课堂 403986当 x 取什么数时，下列分式有意义？当2、 分式的概念和性质 例 2】x 取什么数时，下列分式的值为零？（ 1） 2x x 2 答案与解析】2）x52；x3) 2x 10 x5解：（ 1）当 x 20，即 x21时，分式有意义．x2变式 2】当 x 取何值时，分式 的值恒为负数？ 2x 6 答案】 x 2 0, 或 x 2 0, 2x 6 0, 2x 6 0. 解不等式组x 2 0,该不等式组无解．2x 6 0,解不等式组x 2 0,得 3 x 2． 2x 6 0.所以当 3x 2 时，分式x 2的值恒为负数． 2x 6类型三、分式的基本性质高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 4】 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数(1) ； (2) ； (3) . 答案与解析】解：(1) ；(3).【总结升华】 (1) 、根据分式的意义， 分数线代表除号， 又起括号的作用； (2) 、添括号法则： 当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号 举一反三：解： 由题意可知(2)a1 a 2 2a 1 ；2；a 22变式】 列分式变形正确的是(A ．2 x2ymn(m n)2 (m n)(m n)(m n)2答案】C ．x 21x 2x 11 x1ab 2 aD ；提示：条件．将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为 其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中 m n 0 的整式这一0这一条件不知是1x 否成立，故 A 、B 两项均是错的． C 项左边可化为： 1 x 2(1 x)21 1x11，故 C x1项亦错，只有 D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂． 通分的关键是确定几个分式的最简公分 母，若分母是多项式， 则要因式分解， 要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变 化情况． 类型五、分式条件求值225、若 x 2，求 x 22 2xy 3y 22 的值．y x 2 6xy 7 y 2【思路点拨】 本题可利用分式的基本性质， 采用整体代入法， 或把分式的分子与分母化成只 含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】x 解法一：因为 2 ，可知 y 0 ，y222(x 22xy3y 2) g12x2x g3所以x 22xy3y 2yyy所以2x 26xy7y 2(x 26xy 7y 2)g12 y2x6 x g7yy4、约分：（1）2；(2) 2n 2 m 3 ；2mn 4n通分：3）3 2a 2ba b ；ab 2c4）x 24x42 x2答案与解析】解：（1） a 2 2a 1a 21(a1)2 ( a 1)(a 1)1；a12） 2 n 2 m2mn 4n 32n 2 m2n (m 2n 2)(m2n 2) 2n (m 2n 2 )1 2n ；3）最简公分母是 222a 2b 2c ． 3 g bc222a 2b 2a 2b g bc3bc22 2a b cb ab 2c(a b) g 2a ab 2c g 2a22a 22ab2a 2b 2c4）最简公分母是(x 2)(x 2) ，1 x2x2 (x 2)( x 2)x 2 ，4 xx 2 4 x 2 44x x 2 42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)2x 4 x 2 4总结升华】( 2)2 2 ( 2) 3 5 ( 2)2 6 ( 2) 7 9解法二：因为 x 2 ， y所以 x 2y ，且 y 0 ，22x 2 2xy 3y 2 (x 3y)(x y) x 3y x 2 6xy 7y 2 (x 7y)(x y) x 7y【总结升华】 本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想． 一般情况下， 在条件中含 有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简 的目的． 举一反三： 【变式】已知x 3 y4z(xyz 0) ，求xy 26x 2yz 2 y zx 2的值．z 2【答案】x解： 设yz k(k 0) ，则 x 3k，y4k ， z 6k3 46∴xyyz zx3k g4k 4k g6k 6k g3k54k 2 54 ∴2x2 y2z22(3k)2 (4k)2(6k) 261k 2 61【巩固练习】 一. 选择题a 2 91．若分式 2a 9 的值为 0，则 a 的值为（ ）a 2 a 6A ．3B ．－3C ．±3D ． a ≠－ 2中的 x 、y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（）2.把分式 2x2y 3y 5 2y 7y 9xy14. 已知 13． A ．扩大 m 倍 5a b若分式 5a b 有意义，则 a 、 3a 2b B ．缩小 m 倍C ．不变 b 满足的关系是( 4． 5． 6．D ．不能确定A ． 3a 2b 1b 若分式 12 b 2b 2 A ． b < 0 面四个等式： ④xy 2 0个 A ． 化简B ． a 15bC ． b D．23b的值是负数，则 1 b 满足( B ．b ≥1 C ． b <1 D． b >1 ① x 2 y x 2y ;② xy 2 x 2y ;③ xy 2x y;2xy 2 b 22a a 2 2ab b 2 ab ab 二. 填空题 A ．7. 使分式 (x 2x 其中正确的有( B ． 1 个 的正确结果是( B ． a a b b 2 有意义的条件为 3)2 C ． 2个 D ． 3个C ．1 2abD ．2a 1b8. 分式 (x 2x 51)2有意义的条件为 2 分式 |x| 4 x4 m n ( mn 11．填入适当的代数式，使等式成立．9．当 时， 的值为零．10．填空： (1) ) n m m n ;(2) mn 2a 2b2a)2b1) a 2 ab 2b 2 a 2 b 2 ( ) ( 2) ab1a1a b ( ba 2 m 12. 分式 2m 2 1 约分的结果是 m 2 三. 解答题 2 x 13. 若 2 x 23x1的值为零，求 2 的值．2 (x 1)21 x 2，求 3x 7xy 3y 的值．2x 3xy 2y7. 8.15. （1）阅读下面解题过程：已知 2,求 524x的值．x 4 11. 解：∵ 2xx 21 ∴1∴1xx2 5,2,即 5,即 2x 4x1 21 x2 x1 (x 1x )2 2 x2）请借鉴（ 已知2 x 2 答案与解析】 . 选择题 答案】 B ； 解析】 由题意 2. 答案】 C ； 解析】 3. 答案】 解析】 4. 答案】 解析】 5. 6. 9. 1）x 3x 2mxmx my D；中的方法解答下面的题目： 2, 求 4 x 0且am 2x m(x y)由题意， 3a D；因为 2b 2 1 答案】 解析】①④正确 . 答案】 解析】. 填空题【答案】【答案】【解析】【答案】2b 0 ， C；B； 22ab 22 a 2ab b2x 2x2x xy所以的值．0,所以 1 b aba2abx 3.x 为任意实数；x 为任意实数，分母都大于零x 4 ；1 (52)2 2 170 ，解得 a 3.23b .0,即 b >1.ab ab2，| x| 4 0 解析】 ，所以 x 4 . x40x 2 x 0 ，即 x(x 1) 0 x 2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0x 0 或 x 1 0x 1 0且 x 2 0 x 0或 x 1, x 1且 x 2, x 0 ，14. 【解析】 解：方法一：∵ 1 1 y x 2 ，x y xy等式两边同乘以 xy ，得 2xy y x ．x y 2xy ．3x 7xy 3y 3(x y) 7 xy 2x 3xy 2y 2( x y) 3xy11 xy【解析】2a ab 2b 2a b a 2b ；1 b ba 2b 2abab1 a bab b12. 【答案】 11m；；m【解析】2m 2m 1 2m 1 1 m10. 【答案】（1）－；（2）＋；11. 【答案】（1） a 2b ；（2） b a ；a ab 21 m 1 m 1 m 1 m三. 解答题13. 【解析】ab ba解：由已知得： 将 x 0 代入得：1 ( x 1)2 1 (0 1)2 1 (0 1)21．3 2 xy 7xy xy 2 2 xy 3xy 7xy方法15. 【解析】解：∵ 2xx23x 1 ∴1x13x2x42x x 1121x 2 1x12 x1 21x3x7xy3y3 y72x3xy2y23y 3 x31x1 y73271 2x21 x1 y322372,2 ，∴ x1 4.72 45.12。

基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个 不等于零的数，分数的值不变.
讲授新课
一 分式的基本性质
做一做：填空，并说一说下列等式从左到右变化的
依据.
（1）
3 4
6
8
9
12
;
（2） 6
18
3
9
1
3
.
思考：下列两式成立吗？为什么？
3 3c （c 0） 5c 5 （c 0）
4 4c
6c 6
有公因．像这样分子与分母没有公因式的式子， 叫做最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的 公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
议一议
在化简分式 5xy 时，小颖和小明的做法
20x2 y
出现了分歧：
小颖：250xxy2 y
5x 20 x 2
5xy 小明：20x2 y
5xy 4x 5xy
1 4x
33
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水
面高度为( V ).
S
S
V
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计 为（8a+b）元.
讲授新课
一 分式的概念
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
100 100 7a
100 200 V 8a+b a+1 33 S
整
单项式：100 7
200 33
式 多项式： 8a+b
既不是单项式也不是多项式：10a0
100 a+1
V S
问题2
：式子
100 7
200 100 33 a
100 a+1
V S