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2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2讲义：第二章 2.1 2.1.1 综合法和分析法

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2．1.1 综合法和分析法 预习课本P85～89，思考并完成下列问题 (1)综合法的定义是什么？有什么特点？

(2)综合法的推证过程是什么？ (3)分析法的定义是什么？有什么特点？ (4)分析法与综合法有什么区别和联系？ [新知初探] 1．综合法 定义 推证过程 特点

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3

→…→Qn⇒Q(P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).

顺推证法或由因导果法 2.分析法 定义 框图表示 特点 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)Q⇐P1→P1⇐P2 →P2⇐P3→…→ 得到一个明显成立的条件 逆推 证法 或执 果索 因法 为止．这种证明方法叫做分析法

3．综合法、分析法的区别 综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 倒溯，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路，利于思考 表述形式 形式简洁，条理清晰 叙述繁琐，易出错 思考的侧重点 侧重于已知条件提供的信息 侧重于结论提供的信息

[点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( ) (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．若a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是( ) A．a2＞ab B．ab＞b2

C.1a＞1b D．a2＞b2 答案：C 3．欲证2－3＜6－7成立，只需证( ) A．(2－3)2＜(6－7)2 B．(2－6)2＜(3－7)2 C．(2＋7)2＜(3＋6)2 D．(2－3－6)2＜(－7)2 答案：C 4．如果aa＞bb，则实数a，b应满足的条件是________． 答案：a＞b＞0 综合法的应用 [典例] 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2 C2＋ccos2 A2≥32b. [证明] ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. ∵左边＝a1＋cos C2＋c1＋cos A2 ＝12(a＋c)＋12(acos C＋ccos A) ＝12(a＋c)＋12a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc ＝12(a＋c)＋12b≥ac＋b2＝b＋b2＝32b＝右边， ∴acos2C2＋ccos2 A2≥32b. 当且仅当a＝c时等号成立．

综合法的解题步骤

[活学活用] 1．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2 ≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

2．设数列{an}满足a1＝0，11－an＋1－11－an＝1. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝1－an＋1n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn＜1. 解：(1)∵11－an＋1－11－an＝1， ∴11－an是公差为1的等差数列． 又∵11－a1＝1，∴11－an＝n，an＝1－1n. (2)证明：由(1)得 bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＜1. ∴Sn＜1. 分析法的应用

[典例] 设a，b为实数，求证： a2＋b2≥22(a＋b)． [证明] 当a＋b≤0时，∵ a2＋b2≥0， ∴a2＋b2≥22(a＋b)成立． 当a＋b＞0时， 用分析法证明如下：要证 a2＋b2≥22(a＋b)， 只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2. 即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．

分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法； (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (4)应用技巧：用分析法证明 数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语． [活学活用]

已知a，b，c都为正实数，求证： a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3. 证明：要证 a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3， 只需证a2＋b2＋c23≥a＋b＋c32， 只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， 只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，

只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以 a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3

成立. 分析法与综合法的综合应用

[典例] 已知a，b，c是不全相等的正数，且0＜x＜1. 求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2＜logxa＋logxb＋logxc. [证明] 要证明logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2 ＜logxa＋logxb＋logxc， 只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2＜logx(abc)，

由已知0＜x＜1，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2＞abc， 由公式a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0， a＋c2≥ac＞0.又∵a，b，c是不全相等的正数，

∴a＋b2·b＋c2·a＋c2＞ a2b2c2＝abc. 即a＋b2·b＋c2·a＋c2＞abc成立． ∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2＜logxa＋logxb＋logxc成立．

分析综合法的应用 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． [活学活用] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.

证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c， 即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1. 即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 即证c2＋a2＝ac＋b2. ∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列． ∴B＝60°. 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac. ∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．

层级一 学业水平达标 1．若a＞b＞1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则x与y的大小关系是( ) A．x＞y B．x＜y C．x≥y D．x≤y

解析：选A 因为函数y＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数，又因为a＞b＞1，∴x＞y.

2．已知a，b，x，y均为正实数，且1a＞1b，x＞y，则xx＋a与yy＋b的大小关系为( ) A.xx＋a＞yy＋b B.xx＋a≥yy＋b C.xx＋a＜yy＋b D.xx＋a≤yy＋b 解析：选A ∵a，b均为正数， ∴由1a＞1b得0＜a＜b， 又∵x＞y＞0， ∴xb＞ay. ∴xy＋xb＞xy＋ay. 即x(y＋b)＞y(x＋a)． 两边同除正数(y＋b)(x＋a)，

得xx＋a＞yy＋b，故选A. 3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( ) A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2 C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2

解析：选C 由cos A＝b2＋c2－a22bc＜0，得b2＋c2＜a2. 4．若a＝ln 22，b＝ln 33，c＝ln 55，则( ) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c

解析：选C 利用函数单调性．设f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝ln 44，∴b＞a＞c. 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( ) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数， 且当x≥0时，f(x)单调递减， 可知f(x)是R上的单调递减函数， 由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法． 解析：该证明过程符合综合法的特点． 答案：综合法 7．如果aa＋bb＞ab＋ba，则正数a，b应满足的条件是________． 解析：∵aa＋bb－(ab＋ba) ＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b) ＝(a－b)2(a＋b)． ∴只要a≠b，就有aa＋bb＞ab＋ba.

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【26份】高中数学人教A版选修2-2教学课件 共838张PPT

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第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 第20课时 数系的扩充和复数的概念 第21课时 复数的几何意义 3．2 复数代数形式的四则运算 第22课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 第23课时 复数代数形式的乘除运算 第三章 章末专题整合
目标导航 1．了解函数的平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均 变化率． 2．理解瞬时速度的含义，了解并感受当Δt→0，用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想． 3．理解导数的概念，能利用导数的定义求某些函数的导数．
2 新视点· 名师博客 1.要准确了解平均变化率的概念 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可 负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也 可为零，因此，平均变化率可正可负，也可为零． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
知识点二 平均速度 1.设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间 ft0＋Δt－ft0 Δs 内，物体运动的平均速度是 v ＝ ＝ Δt . Δt Δs 2．在匀速直线运动中，比值 Δt 是恒定的．在非匀速直线运动 Δs 中，比值 Δt 不是恒定的．要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 Δs 体在每一时刻运动的快慢程度．注意结合物理学中的 Δt .
【练习1】 若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点 Δy Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝( ) Δx A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx
2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2讲义：第一章 1.1 1.3 导数的几何意义

2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2讲义：第一章 1.1 1.3 导数的几何意义

1．1.3导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)． (2)记法：f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx.[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案：D4．抛物线y 2＝x 与x 轴、y 轴都只有一个公共点，在x 轴和y 轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y 轴 x 轴[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4. ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k . (5)根据点斜式写出切线方程． (6)将切线方程化为一般式． [活学活用]过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上， 若切点为(1，－1)，则由f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(1＋Δx )3－2(1＋Δx )－(－1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋1]＝1， ∴切线方程为y －(－1)＝1×(x －1)， 即x －y －2＝0.若切点不是(1，－1)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0＋1x 0－1＝x 30－2x 0＋1x 0－1＝(x 30－x 0)－(x 0－1)x 0－1＝x 20＋x 0－1，又由导数的几何意义知k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx ＝3x 20－2， ∴x 20＋x 0－1＝3x 20－2，∴2x 20－x 0－1＝0， ∵x 0≠1，∴x 0＝－12.∴k ＝x 20＋x 0－1＝－54， ∴切线方程为y －(－1)＝－54(x －1)，即5x ＋4y －1＝0，故选A.[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8，故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． [活学活用]直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13，当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0与已知条件矛盾舍去． 当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327， 则切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13， 2327，将⎝⎛⎭⎫－13， 2327代入直线y ＝x ＋a 中得a ＝3227. 答案：3227 ⎝⎛⎭⎫－13， 2327层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫12，2的切线的斜率为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选D 因为y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx＝lim Δx →－1x 2＋x ·Δx＝－1x 2. 所以曲线在点⎝⎛⎭⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4. 3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1B.π4C.5π4 D ．－π4解析：选B ∵y ′＝lim Δx →⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝li m Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝lim Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝lim Δx →cos Δx －1Δx.当Δx →0时，cos Δx →1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(x )＝lim Δx →1＋Δx －1Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)，f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝lim Δx →02x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，ΔyΔx→3x 20－4x 0， 即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B llim Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝lim Δx →f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( ) A.13 B.23C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知，lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________．解析：由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －cΔx ＝lim Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b .又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2. 答案：27．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：联立两曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)．曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线的斜率为 f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx －11Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx＝－1，所以曲线y ＝1x 在点(1,1)的切线方程为y －1＝－1(x －1)，即y ＝－x ＋2. 同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线的斜率为 f ′(1)＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx ＝lim Δx →0 2Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →(2＋Δx )＝2.所以曲线y ＝x 2在点(1,1)的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，两条切线y ＝－x ＋2和y ＝2x －1与x 轴所围成的图形如图所示．所以S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.故三角形的面积为34.8．过点P (－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，求切线方程． 解：设切线过抛物线上的点Q (x 0，x 20＋x 0＋1)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(2x0＋Δx＋1)＝2x0＋1，因为切线过点P(－1,0)和点Q(x0，x20＋x0＋1)，其斜率满足x20＋x0＋1 x0＋1＝2x0＋1，所以x20＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2，所以点(0,1)，(－2,3)是抛物线上的点．因此在点(0,1)的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0；在点(－2,3)的切线方程为y－3＝－3(x＋2)，即3x＋y＋3＝0.所以所求切线方程为x－y＋1＝0和3x＋y＋3＝0.。

2019-2020学年人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明 Word版含

2019-2020学年人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明 Word版含

姓名，年级：时间：习题课二错误!1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°"，故选B.2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似,故选C。

3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－错误!≤0C.错误!－1－a2b2≤0D．(a2－1)（b2－1）≥0解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1）（b2－1）≥0.故选D.4．用反证法证明命题“设a，b为实数,则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译．针对他们懂的语言,正确的推理是（)A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项,由①知,丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.6．设a，b是两个实数,给出下列条件:①a＋b〉1；②a＋b＝2;③a＋b>2；④a2＋b2〉2;⑤ab〉1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1"的条件是（)A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析：选C 若a＝错误!，b＝错误!，则a＋b〉1,但a〈1，b<1,故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2〉2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法:假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b〉2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是。

2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.2

2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.2

第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2. 2 复数代数形式的乘除运算
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复 数的概念．
‖知识梳理‖ 1．(1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ___. (2)复数的乘法满足的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律， 即：z1·z2＝_z_2_·z_1______，z1·(z2·z3)＝_(_z_1·_z_2)_·_z3__，z1·(z2＋z3) ＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3 ________.
(3)11＋ －ii＋31＋＋4ii ＝1＋2 i2＋3＋4i21－i ＝2i＋27＋i＝7＋2 3i.
[名 师 点 拨] 两个复数相乘与多项式相乘相类似，注意最后结果中把 i2 换成－1.两个复数相除，一般先写成分式的形式，再分母实数化， 即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
位)，则|z|＝( ) A．3 3 C．2 3
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：(1)(1＋i)2； (2)－12＋ 23i2－12－ 23i； (3)11＋－ii＋31＋＋4ii. 【思路探索】 利用复数代数形式的运算法则计算．
【解】 (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)－12＋ 23i2－12－ 23i ＝14－ 23i＋34i2－12－ 23i ＝－12－ 23i2＝14＋ 23i＋34i2 ＝－12＋ 23i.