黑体普朗克公式推导
1． 空腔内的光波模式数
在一个由边界限制的空间V 内,只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式,以k 为标志。
设空腔为立方体,如下图
x
图1 立方体空腔
沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件就是
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)
式中m 、n 、q 为正整数。 将x
x k λπ
2=
代入(1)式中,有
x
m k x ∆=π
则在x 方向上,相邻两个光波矢量的间隔为: x
x m x m k x ∆=∆--∆=
∆π
ππ)1( 同理,相邻两光波矢在三个方向的间隔为:
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k z
y x πππ (2)
因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 V
z
y x k k k z y x 3
3
ππ=
∆∆∆=
∆∆∆
(3)
x
k y
图2 波矢空间
在波矢空间中,处于k 与k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内,这个球壳的体积为
()k k k k k d 4d 3
4
34233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。
根据(1)式的驻波条件,k 的三个分量只能取正值,因此k d 与k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只就是上述球壳的第一卦限,所以
2
d 8d 422k
k k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元,则在该体积内的光波模式数为
V k
k V V M k 2
23
d /2ππ== (6)
式中乘以2就是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向,因此光波模式数就是光波矢量数的2倍。
由于λ
π
2=
k ,λλ
π
d 2d 2
=
k ,上式可以用波长形式表示,即在体积为V 的空腔内,波长
λλd +间隔的光波模式数为:
λλπd 84
V
M = (7)
2． 黑体辐射公式
黑体辐射就是黑体温度T 与辐射场波长λ的函数。可用单色能量密度λρ来描述,其定义为:在单位体积内,波长λ附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量,量纲为J •m -4。
根据量子化假设与玻色-爱因斯坦统计规律,在温度T 的热平衡情况下,黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为
1
/-=T
K hc e
c
h
E λλ
(8)
因此单色能量密度为
1
1
8d /5-==
T
K hc e hc E V M λλλπλρ (9) 即如在空腔上有一单位面积的开口,则在单位时间,半球空间辐射到此单位面积的能量为
λρ4
c 附录1
。 按照(9)式,从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为
1
1
24/52-==T K hc e hc c P λλλπρ (10)
这就就是温度T 的黑体的光谱辐出度公式。 附录1
对于作用在如图1的空腔表面的驻波,设垂直于面积A,且立体角为d Ω的方向上,光通量(单位时间通过的波的能量)为I 与-I,如图3。
A
图3
设光速为c,光运动单位距离的时间为1/c,则在立体角内的光能密度(单位体积的光能量)P 为
cA
I
P 2
= (1) 在谐振腔内,光辐射强度就是各向同性的,因此对与面积A 法线夹角为θ的入射光,光通量仍为I,而该方向的通量为
θθ
θcos cos I A
A I
I == (2) 因此在整个2π半球空间,一个小面积上通过的光通量如图4
图4 作用在一个小面积上的所有方向的光辐射
则在面积A 上的总光通量为
π
φ
θθθπ
πI I M ==⎰⎰
20
2
/0
d d sin cos
将(1)代入有
ππP cA
I M 2
=
= (3) 因为腔内各方向的辐射就是均匀分布的,所以任意方向立体角d Ω的能量密度P 与腔内的总能量密度ρ的关系为
π
ρ
2=P (4) 代入(3)得
ρ4
c
A M = (5) 即如在空腔上有一开口,则在单位时间,单位面积辐射到半球空间的能量为ρ4
c
。
