黑体辐射公式的推导

龙源期刊网 黑体辐射公式的详细推导作者：李蓉来源：《科教导刊·电子版》2014年第15期摘要在本文中，我们将详细地推导黑体辐射公式，并利用黑体辐射公式推导一些有用的公式。

在求导黑体辐射公式时，我们首先要求出振动粒子的平均能量，然后分别用波动观点和粒子观点求空腔单位体积内频率v到v+dv的振动数目。

关键词黑体辐射公式中图分类号：0571.43 文献标识码：A黑体辐射实验是现代物理学的关键性实验之一，普朗克黑体辐射公式在普通物理学，近代物理学及量子力学的教材中都讲到过，但没有一本教材详细地写出整个推导过程，所以，学生只知道结论，不知道是怎么推导出来的，而且各教材的写法也不一样，有的用能量密度 v写出，有的用单色辐出度MV（T）写出，这两者到底是什么关系，一些教材中也没有谈到，为了让学生了解黑体辐射公式的推导，以及黑体辐射公式有哪些重要的应用，本文详细地写出了推导过程。

1求振动粒子的平均能量一个开有小孔的空腔可以看作一个黑体，黑体辐射公式是描述黑体辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。

所以，为了求的黑体辐射公式，我们可以先求出振动粒子的平均能量，然后用波动观点导出空腔单位体积内频率v到v+dv的振动粒子的数目。

这样，便可求得用从经典物理学来看，能量粒子性的假设是荒诞，不可思议的，但后面无数的实验证明它又是正确的。

普朗克发现了能量子，对建立量子理论作出了卓越的贡献。

参考文献[1] 程守洙，江之永.普通物理学[M].高等教育出版社，2003.[2] 马文蔚.物理学（第五版）[M].高等教育出版社，2011.[3] 王竹溪.统计物理学导论[M].人民教育出版社，1978.[4] 曾谨言.量子力学导论（第二版）[M].北京大学出版社，1998.。

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

欢迎阅读普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ， 则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

Planck 和Rayleigh-Jeans 黑体辐射公式的推导Made by 0310340 陶波0310351 郑启飞 0310337 盛海翔黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。

如图示:则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程：2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1）用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)= 则（1）式可分解为三个方程： 222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dyd Zk Z dz⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中 2222x y zk k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =++⋅+由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0nE n∂=∂及0D E ⋅=可得：123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k zE A k x k y k z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π=，y y k n Lπ=，z z k n Lπ= ,,0,1,2,x y z n n n =（其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）则j k（j 表示第j 个本征态）的绝对值为：2222222()()()j x y z j k n n n n L Lππ=++=换成第j 个本征态的频率得：222()2jj c n Lν=当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有：222()2c n Lν= （2）（2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。

普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量。

它是由德国物理学家Max Planck在1900年提出的，他认为，物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。

普朗克黑体辐射公式的表达式为：
E=σT^4
其中，E表示物体发射的辐射量，σ表示普朗克常数，T表示物体的温度。

普朗克黑体辐射公式的推导过程如下：
首先，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。

其次，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度的四次方成正比，即E=kT^4，其中k为
一个常数。

最后，Max Planck根据实验结果，求出了k的值，即普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑
体辐射公式：E=σT^4。

普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量，是Max Planck在1900年提出的，它的推导过程是Max Planck假设物体发射的辐射量与
温度的四次方成正比，根据实验结果，求出了普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑体辐射
公式：E=σT^4。

它为物理学的发展做出了重要贡献，并且在现代物理学中仍然具有重要
的意义。

普朗克黑体辐射公式的详细推导普朗克假设黑体辐射是由一系列离散的微观振动体产生的，这些振动体能够吸收和释放以能量量子(hf)为单位的能量。

当这些振动体处于平衡状态时，设振动体的能量分布函数为Ψ(ε)，其中ε表示振动体的能量。

考虑单位体积和单位能量范围内的振动体数目，记为N(ε)dε，其中N表示单位体积内振动体的总数。

根据统计力学的理论，N(ε)dε可表达为波尔兹曼分布，即：N(ε)dε = g(ε)exp(-ε/kBT)dε其中，g(ε)表示在特定能量范围内的能量态的数目，exp(-ε/kBT)是由玻尔兹曼因子得到，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

由于辐射的能量不连续，因此，可以将单位体积和单位频率范围内的振动体数目表示为N(v)dv，其中v表示频率，dv表示频率范围。

考虑到能量和频率之间的关系，有ε = hv，其中h是普朗克常数。

根据可加性和幂次原理，能量态的数目g(ε)应满足：g(ε)dε=4π(2m/h^2)^(3/2)ε^(1/2)dε其中，m是振动体的质量。

将ε和dε用v和dv表示，并对能量态的数目函数进行简化得到：g(v)dv = (8πv^2/c^3)dv其中，c是光速。

由于单位体积和单位能量范围内的振动体数目与单位体积和单位频率范围内的振动体数目之间有关系：N(ε)dε = N(v)dv将上述得出的g(ε)和g(v)带入上式，并整理可得：N(v) = (8πv^2/c^3)exp(-hv/kBT)dv可以将上式转化为单位面积、单位时间、单位频率范围内的能量密度u(v)：u(v) = N(v)hv代入上式并进行整理，得到：u(v) = (8πhv^3/c^3)exp(-hv/kBT)dv利用频率和波长的关系，即v=c/λ，可以将上式转化为以波长表示的能量密度：u(λ) = (8πhc/λ^5)exp(-hc/λkBT)dλ这就是普朗克黑体辐射公式的最终形式。

通过对普朗克黑体辐射公式的推导，我们可以看出，普朗克假设了黑体辐射的能量是以能量量子为单位的离散量，这个假设是量子力学发展的重要先导。

黑体普朗克公式推导1． 空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。

这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。

设空腔为立方体，如下图x图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)式中m 、n 、q 为正整数。

将xx k λπ2=代入(1)式中，有xm k x ∆=π则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： xx m x m k x ∆=∆--∆=∆πππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k zy x πππ (2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 Vzy x k k k z y x 33ππ=∆∆∆=∆∆∆ (3)xk y图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为()k k k k k d 4d 3434233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。

根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d 8d 422kk k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为V kk V V M k 223d /2ππ== (6) 式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。

由于λπ2=k ，λλπd 2d 2=k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长λλd +间隔的光波模式数为：λλπd 84VM = (7)2． 黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。

黑体辐射公式的推导黑体辐射公式是描述黑体辐射能谱的公式。

在19世纪末，许多科学家通过实验和理论推导，发现了黑体辐射的规律，并试图找到一个能够描述这种规律的公式。

其中最著名的是德国物理学家马克斯·波恩斯坦在1901年提出的黑体辐射公式，也称为普朗克公式。

下面我们将对黑体辐射公式进行详细的推导。

首先，我们假设黑体是一个能够完全吸收所有入射辐射的理想物体。

根据热力学的基本原理，我们知道一个处于热平衡的物体，其辐射能谱必须是连续的，即在一个特定的频率范围内的辐射能量密度是连续变化的。

为了推导黑体辐射公式，我们可以考虑在一个封闭的均匀立方体空腔内的辐射。

这个空腔内充满了电磁波，电磁波的频率和波长范围是非常广泛的。

我们设空腔内辐射能量的密度为u(ν)，其中ν为频率。

由热力学的基本原理可知，黑体辐射能谱与温度有关。

我们设空腔的温度为T。

为了推导辐射能谱，波尔兹曼首先假设在频率范围ν到ν+Δν内，吸收或发射能量的电磁场模式数为g(ν)。

这里g(ν)即为单位频率范围内模式的数目。

根据经典电动力学理论，一个频率为ν的电磁波模式的能量为hν，其中h为普朗克常量。

因此，在一个频率范围ν到ν+Δν内，单位体积内的辐射能量为u(ν)g(ν)hν。

我们知道，电磁波的能量等于单位体积内辐射能量的密度乘以体积，即能量密度等于单位体积内辐射能量密度与单位体积的乘积。

因此，单位体积内的辐射能量可以写为u(ν)g(ν)hνV，其中V为空腔的体积。

下一步，我们考虑对g(ν)在ν到ν+Δν范围内进行积分，即对频率范围内的所有模式进行求和。

这样，我们可以得到单位体积内所有频率的辐射能量之和。

为了推导辐射能谱，我们将这个求和作为对频率的积分。

经过数学变换和近似处理，我们得到：U(ν) = u(ν)hν = \(\fra c{8πh}{c^3}\)\(\frac{ν^3}{e^{\(\frac{hν}{kT}\)} - 1}\)其中c为光速，k为玻尔兹曼常量。

普朗克黑体辐射公式的详细推导辐射是物体由于内部热运动而产生的电磁波。

普朗克假设黑体辐射是由许多振动的谐振子（即电磁振子）组成的，每个谐振子只能具有离散能量值。

普朗克假设这些能量是量子化的，即能量E只能取整数倍的基本能量hν，其中ν为辐射频率。

设一个振子的能量为E，频率为ν，则E=hν。

普朗克认为振子的能量只能取整数倍的基本能量hν，因此振子的能量只能是离散的。

假设在单位时间内，频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为n(E,ν)。

则单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为：n(E,ν)dEdν为了求解n(E,ν)，我们需要引入玻尔兹曼分布和玻尔兹曼常数k。

在热平衡状态下，系统中具有能量E的状况数（即相同的谐振子数）为：W(E)=n(E,ν)*e^(-E/kT)其中，T为系统的温度，n(E,ν)为单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数。

根据统计物理学的理论，系统的熵S与状况数W的关系为：dS = k * ln W(E)将W(E)代入上式并对E求微分，我们可以得到：dS = k * [ d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) ]根据熵的最大化原理，熵是关于能量的单调递增函数，即dS>=0，即有：d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) >= 0 （式1）我们将式1两边对E积分，可得：∫(d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν) （式2）其中，积分区间为0到E。

对式2进行变换，得到：n(E,ν) - (∫0到E (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν)整理后，我们可以得到：n(E,ν)=[∫0到E(1/e^(E/kT))]*n(E,ν)令x=E/(kT)，则式子变为：n(E,ν)=[∫0到x(1/e^x)]*n(E,ν)通过计算可知，上式的积分结果为：∫0到x(1/e^x)=1-(1+x)e^(-x)将该结果代入n(E,ν)的表达式中，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+x)e^(-x))*n(E,ν)（式3）进一步简化，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+E/(kT))e^(-E/(kT)))*n(E,ν)（式4）根据统计物理学的经验公式，单位体积频率为ν到ν+dν范围内，能量为E到E+dE范围内的谐振子数n(E,ν)与能量E的关系为：n(E,ν)=C*E^3*1/(e^(E/(kT))-1)（式5）其中，C为常数。

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

普朗克黑体辐射公式推导步骤1：假设黑体内的辐射能量由一系列处于不同能级上的振子所组成。

考虑到振子的能量是量子化的，那么每个振子只能具有离散的能量，即E = nhv，其中E为能量，n为量子数，v为辐射频率，h为普朗克常数。

步骤2：设想黑体内的振子可以具有不同的能量量子数n，表示各个振子能量的分布情况。

我们假设振子的能量量子数n符合玻尔兹曼分布，即n能级的占有数为exp(-E_n / kT)，其中E_n为n能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。

步骤3：进一步假设振子的能量量子数n的平均值为，每个振子的能量为E = nhv，则黑体的总能量可以表示为U = ∑(nE) = ∑(nhvexp(-E_n / kT))。

在这里，∑代表对所有能级进行求和。

步骤4：将能量量子数n的平均值表示为，并代入总能量公式。

整理得:U = ∑((nvexp(-E_n / kT))hv步骤5：通过积分，将对所有可能的能级n进行求和替换为对能量E的积分。

利用代换关系dn = dE / hv，将求和替换为积分。

同样，将E_n也替换为E。

U = ∫(Eexp(-E / kT)) / (hv) * dE步骤6：对积分进行推导求解，得到：U = (kT)^4 / (h^3c^2) * ∫(E^3 / (exp(E / kT) - 1)) * dE这就是普朗克黑体辐射公式的具体形式，其中c为光速。

该公式描述了黑体辐射频谱与温度之间的依赖关系，表征了能量密度与频率的分布规律。

简单总结一下，普朗克黑体辐射公式的推导基于能量量子化和能级分布的假设。

通过对振子能量的分布以及总能量的计算，得到了描述黑体辐射的具体公式。

这个公式的重要性在于引入了能量的量子化概念，为后来量子力学的发展奠定了基础。

黑体辐射的三个公式
1.黑体辐射公式：B=σT^4，
这是伽马发表的原始黑体辐射公式，它的结果表明，即使在等温条件下，绝热物体也会发射出辐射能量。

其中，σ为常数，T为物体表面
温度，B为物体表面发射辐射强度。

2.Rayleigh-Jeans公式：B=2kT/λ^4，
这是根据Rayleigh和Jeans对伽马黑体辐射公式做出的改进，它认为，辐射强度与波长有关，研究结果表明，如果实验结果与伽马公式相比，则Rayleigh-Jeans公式在波长较小时表现更为逼近。

其中，k为常数，T为物体表面温度，B为物体表面发射辐射强度，λ为波长。

3.Planck公式：B=(2hc^2/λ^5)(1/(e^(h/kT)-1))，
这是Planck发表的黑体辐射公式，它把光子概念引入到公式中，将伽
马公式和Rayleigh-Jeans公式结合起来，由此取得最准确的结果。

其中，h表示普朗克常数，c表示光速，k为玻尔兹曼常数，T为物体表
面温度，B为物体表面发射辐射强度，λ为波长。

黑体辐射的实际应用和原理概述黑体辐射是一种特殊的辐射现象，在各个领域中有着广泛的应用。

本文将介绍黑体辐射的基本原理及其在实际应用中的一些例子。

基本原理黑体是指一种完美吸收一切辐射能量的物体，它能够以各种波长的光线进行辐射，且辐射的强度与波长有关。

黑体辐射的基本原理可以由普朗克公式来描述，公式如下：B(λ, T) = (2hC² / λ⁵) / (exp(hC / λkT) - 1)其中，B是辐射强度，λ是光的波长，T是黑体的温度，h是普朗克常量，C是光速，k是玻尔兹曼常量。

实际应用1. 热辐射计算黑体辐射理论为热辐射计算提供了重要的基础。

在材料科学、能源工程等领域中，研究人员可以利用黑体辐射原理来计算材料的热辐射特性，进而优化材料的效能。

例如，在设计太阳能电池时，利用黑体辐射的特性可以最大程度地捕获太阳光，提高太阳能电池的能量转化效率。

2. 灯光设计黑体辐射在照明领域中也有广泛的应用。

通过调节黑体的温度，可以得到不同波长的光线。

当黑体温度较低时，辐射光线偏向红色；当黑体温度逐渐升高时，辐射光线的波长逐渐变短，颜色也逐渐偏向蓝色。

根据黑体辐射的原理，照明工程师可以设计出符合人眼感知的不同色温的灯具，从而提供舒适的照明效果。

3. 热成像技术热成像技术利用物体的红外辐射来生成图像，以分析物体的温度分布。

由于黑体辐射的特性，热成像技术可以非接触地测量物体的温度，并可应用于工业、医疗等领域。

通过热成像设备，可以检测建筑物中的隐蔽绝缘问题、检查机械设备的发热情况，甚至应用于疾病的早期诊断等。

4. 太空科学研究黑体辐射的研究对于太空科学至关重要。

由于太空中的物体大多无法实际测量温度，科研人员利用黑体辐射的原理来研究天体的温度和组成。

例如，通过观测黑体辐射光谱，科学家可以判断星体的成分，并推算出其表面温度。

这对于研究星体演化、行星大气研究以及暗物质的探测等有着重要意义。

5. 光谱学研究光谱学是研究光的特性和相互作用的学科。

黑体辐射公式推导斯特藩黑体辐射是物理学中一个相当有趣且重要的概念。

要理解黑体辐射公式的推导以及它与斯特藩定律的关系，咱们得先从一些基础知识说起。

想象一下，你走进一个黑暗的房间，里面有一个被加热到高温的黑色物体。

这个黑色物体就是我们所说的黑体。

黑体的神奇之处在于，它能够吸收所有照射到它上面的电磁辐射，并且不会反射或透射任何光线。

那黑体辐射又是什么呢？简单来说，就是黑体在不同温度下向外发射电磁波的情况。

咱们先来看看经典物理学对黑体辐射的解释。

按照经典的电磁理论，黑体中的带电粒子会像荡秋千一样，在热运动的作用下不停地振动和加速，从而产生电磁波向外辐射能量。

但是，经典理论却遇到了一个大麻烦，它预测的结果与实验观测严重不符！这时候，量子力学就闪亮登场啦！量子力学告诉我们，能量不是连续的，而是一份一份的，就像巧克力豆一样，是有最小单位的。

接下来，咱们正式进入黑体辐射公式的推导。

这个推导过程可不像做算术题那么简单，得用上一些高深的数学和物理知识。

假设黑体内部的电磁波模式可以用一组波矢来描述，然后通过统计物理的方法，计算出在不同频率下的能量分布。

经过一系列复杂的计算和推导，最终得到了著名的普朗克黑体辐射公式。

这个公式是：$B(\nu,T) =\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}$其中，$B(\nu,T)$ 表示黑体在频率 $\nu$ 和温度 $T$ 下的辐射能量密度，$h$ 是普朗克常数，$c$ 是真空中的光速，$k$ 是玻尔兹曼常数。

有了这个公式，我们就能够很好地解释黑体辐射的实验观测结果啦。

说到这，就不得不提一下斯特藩定律。

斯特藩定律指出，黑体的辐射出射度与温度的四次方成正比。

那这个定律和我们刚才推导的黑体辐射公式有什么关系呢？其实，通过对黑体辐射公式进行积分，就可以得到斯特藩定律的表达式。

记得有一次，我在给学生们讲解这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这东西在生活中有啥用啊？”我笑着回答他：“孩子，你想想看，我们的太阳就是一个巨大的黑体，科学家们通过研究黑体辐射，就能更好地了解太阳的能量输出，这对于研究地球的气候和能源问题可重要啦！”总之，黑体辐射公式的推导以及斯特藩定律的发现，不仅在物理学的发展中具有重要意义，也为我们理解和研究许多自然现象提供了强大的工具。

运用能量量子化的假设，推导黑体辐射公式黑体辐射公式是热物理学中一个重要的公式，它描述了一个黑体在任意温度下所辐射的能量分布。

在物理学中，能量量子化假设是一个基本假设，它认为能量是由离散的小粒子组成的，称为能子。

在这篇文章中，我们将运用能量量子化的假设，推导黑体辐射公式。

首先，我们假设黑体内部的能子数为N(E)，其中E是一个能量区间。

根据玻尔兹曼分布定律，能子数N(E)与能量E的关系为：N(E) = A·E^(3/2)·exp(-E/kT)其中，A是一个常数，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

我们现在假设这些能子都在一个立方体内，其边长为L。

因此，每个能子所占据的体积为L^3，能量为E。

因此，能子的密度可以表示为：ρ(E) = N(E) / (L^3)接下来，我们将能量区间E到E+dE的能子所辐射的能量计算出来。

这个能量可以表示为：dU(E) = ρ(E)·c·dE其中，c是光速。

由于能量量子化假设，能量E的取值是离散的，因此我们将能量区间划分为许多小区间，每个小区间的宽度为ΔE。

那么，在每个小区间内，能量取值可以近似为E。

因此，我们可以将dE替换为ΔE，从而得到：dU(E) = ρ(E)·c·ΔE现在，我们将其转化为波长λ的表达式。

根据普朗克-爱因斯坦方程，能量E和波长λ的关系为：E = hc/λ其中，h是普朗克常数，c是光速。

因此，能量区间E到E+dE可以转化为波长区间λ到λ+dλ。

这个区间内能子所辐射的能量为：dU(λ) = ρ(λ)·c·Δλ其中，ρ(λ)为波长λ到λ+dλ内的能子密度，Δλ为波长区间的宽度。

那么，我们可以将ρ(λ)表示为：ρ(λ) = N(λ) / (L^3·Δλ)其中，N(λ)为波长λ到λ+dλ内的能子数。

将ρ(λ)代入上式，我们得到：dU(λ) = N(λ)·c / (L^3·Δλ)现在，我们需要求出波长区间λ到λ+dλ内的能子数N(λ)。

普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导1 引言马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。

其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。

由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。

维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。

普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。

在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。

得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。

这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。

然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。

普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。

不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。

2 公式推导2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。

黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。

则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1） 用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)=则（1）式可分解为三个方程：222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dyd Z k Z dz⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中2222x y zk k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n∂=∂及0D E ⋅=可得：123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k zE A k x k y k z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π=，y y k n L π=，z z k n L π= ,,0,1,2,x y z n n n= （其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）则j k （j 表示第j 个本征态）的绝对值为： 2222222()()()j x y z j k n n n n L Lππ=++= 换成第j 个本征态的频率得：222()2j j c n Lν= 当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有： 222()2c n Lν= （2） （2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。

Planck 和Rayleigh-Jeans 黑体辐射公式的推导 Made by 0310340 陶波 0310351郑启飞 0310337盛海翔 黑体是指在任何温度下，对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化 推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。

如 图示：则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程：V 2u+k 2u = 0 (k 2 = ar用分离变量法，令 u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)则(1)式可分解为三个方程:d2Z 、dz 2 其中 疋+X+k 血得(i )式的驻波解为:d 2Xdx 2 + k ；X=O(1) + k ；Z =Ou{x. y. z) = (q cos k x x + d} sin k x x)(c2 cos k y y + d2 sin k y y) •(c3 cos k z z + d3 sin k z z)8E由在x=0，x=L，y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件。

及D・E = 0可得：E x = A cos k x xsin k y y sin k z z< E y =爲sin geos k y y sin k z zE z= sin k x x sin k y cos k z zTC z 71k y =~n y , k z = —W z 力竹代=0 丄Z(其中A, 4,人满足关系任4 +心堆+=。

)则勺(j表示第j个本征态)的绝对值为：换成第j个本征态的频率得:当L»2.时，人和匕可视为连续变化，不必取分立值，即有：(2)(2)式表明在整数n空间一组整数g代即对应一个本征模的频率。

因此，频率区间V内的本征模数，在数值上等空间内数值半径由n^n+兀范围内球壳体积的(V 为腔的体积) 又因为每一个频率为V 的单色平面波还存在着两个独立的 相互垂直的偏振态，则频率间隔“内的本征模数为： dN(v) = ^^v 2dvc设^(T,v)表示温度为T,频率为V 的本征振动的平均能 量，P (T, V )为相应的能量密度，则振动频率在V 到v + dv 之间的能量为：0—1 7V p ⑴ v)dv = g(T, v)dN(v) = v 2£(T. v)dv 本征振动是简谐振动，由三维谐振子的能量本征值：3E n =(n + ^)hv (n =0, b 2…)系统处于热平衡状态时，处于各本征能量的谐振子分布遵从 麦克斯韦-波尔兹曼分布律：E即：N®xexp(—»)八分之一，即: dN(v) = 47rn 2p(T,v)dv = ^-v 2£(T^dv c (3)E工& exp(-芹) g(T\ v)=」 -F-所以： 工exp(-昱) V kT若令0冷,Z = ”exp(—0巴) 则⑷式可改写为:曲占3Z =工 exp(-0 E n ) =工 exp[-0 (n + -)hv] n n /3 =exp(——Zn/)工 exp (—〃 0/n/) 2 n3 exp(- —/zv)l_exp(_0/nz)贾T )/) =—丄必=—世—2亠科十 代入(3)式得:p(T 、v)dv =冬 V 2£(T. v)dv ='兀''vc此即为Planck 黑体辐射公式。