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7.6空间向量在立体几何中的应用

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２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者 1 第三十三讲§7.6空间向量在立体几何中的

应用 命题人：陈强 审核人：董茂庆 2010.12 【考纲解读】 会熟练应用空间向量来解决立体几何问题。 【知识梳理】 1、 平行问题 ① 设直线1l和2l的方向向量分别为21,vv，则1l∥2l（或1l与2l重合）__________ ② 设直线l方向向量v和面的法向量n，则__________l∥ ③ 设平面，的法向量分别为21,nn，则__________∥

2、 垂直问题 ① 设直线1l和2l的方向向量分别为21,vv，则

1l2l__________ ② 设直线l方向向量v和面的法向量n，则l



__________

③ 设平面，的法向量分别为21,nn，则____________ ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者 2 3、 夹角问题：重点将夹角转化为向量的夹角。注意所求

角的范围。 ①设两异面直线1l和2l的方向向量分别为21,vv，1l与2l夹角，则cos___________。 ②设直线l方向向量v和面的法向量n，l 与面夹角，则sin____________。 ③设二面角l的面，的法向量分别为21,nn，l大小为，则cos________________________________。 4、 距离问题：（线段的长度）111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz 则212121(,,)ABxxyyzz ，AB=222212121()()()ABxxyyzz 【基础自测】 1．在正方体1111DCBAABCD中，下列各式中运算结果为向量

1CA的共有（ ） ①（1)CCCBAB ②CDDAAA1111)( ③111)(CBBBAB ④11111)(CBBAAA （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 2、已知l∥，且l的方向向量为)1,,2(m，平面的法向量为２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者 3 )2,21,1(则m________

3、正方体ABCD—A1B1C1D1中，则异面直线AC与BC1的夹角为 （ ） （A）30° （B）45° （C）60° （D）90° 4.已知二面角l的大小为060，m,n为异面直线，且m，n，则m,n所成的角为 （ ） A 030 B 060 C 090 D 0120 5.如图，正三棱柱ABC-111ABC的各棱长都是2，E，F分别是AB，11AC的中点，则EF的长是（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 6.在三棱柱ABC-111ABC中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面11BBCC的中心，则AD与平面11BBCC所成的角的大小是（ ） （A）30° （B）45° （C）60° （D）90° 7.正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（ ）

A 23 B 33 C 23 D 63 ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者 4 【典型例题】

例1：如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、A1D1的中点，G、H分别为BC、B1D1的中点． （1）求证：GH∥平面EFDB (2)证明：CA1平面1BDC (3)求直线GH与平面BCD夹角的大小。 ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者

5 例2（2008山东）1.如图所示，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，060,ABCE，F分别是BC，PC的中点。 （1）证明：AEPD （2）若H为PD上的动点，EH

与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E-AF-C的余弦值。 ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者

6 例3. （2009山东）如图，在直四棱柱ABCD-1111ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2,12AA，E，1E分别是棱AD，1AA的中点。 （1）设F是棱AB的中点，证明：直线1EE∥平面1FCC； （2）证明：平面1DAC⊥平面11BBCC ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者 7 ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者

8 例4：（2010天津）如图，在长方体ABCD-1111ABCD中，E，F分别是棱BC，1CC上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：1AA=1：2：4， （1） 求异面直线EF与1AD所成角的余弦值 （2） 证明：AF平面1AED （3） 求二面角1AEDF的正弦值。 ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者

9 ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者

10 四：反思总结 第三十三讲≤空间向量在立体几何中的应用≥达标训练 命题人：陈强 审核人：董茂庆 2010.12 一．选择题： 1、直线21,ll的方向向量分别为)6,9,6(),4,4,2(ba则（ ） A、1l∥2l B、21ll C、1l与2l相交但不垂直 D、以上都不正确 2、已知线段AB=8，AB在平面内的射影长为4，则直线AB与平面所成的角为（ ） A、30 B、60 C、90 D、120 3、在平行六面体ABCD-1111ABCD中，M为ＡＣ与ＢＤ的交点，若11ABa，11ADb，1AAc，则下列向量中与1BM相等的向量是（ ） ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者 11 Ａ 1122abc Ｂ 1122abc Ｃ 1122abc Ｄ

1122abc

４．如图所示，在直三棱柱ABC-111ABC中，AB=BC=1AA，090ABC

，点E,F分别是棱AB，1BB的中点，则直线EF和

1BC所成的角是 （ ） A 45° B 060 C 090 D 0120 5.等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为（ ） A、30 B、60 C、90 D、120 6.在棱长为2的正方体ABCD-1111ABCD中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是1CC，AD的中点，那么异面直线OE和1FD所成的角的余弦值等于（ ）

A 105 B 155 C 45 D 23 7.已知二面角l为060，动点P，Q分别在平面,内，P到的距离为3，Q到的距离为23，则P，Q两点之间距离的最小值为 （ ） A 1 B 2 C 23 D 4 二．填空题： ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者 12 8. 正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面的射影，P为侧

棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是 9.如图，已知正三棱柱ABC-111ABC的所有棱长都相等，D是

11AC的中点，则直线AD与平面1BDC所成角的正弦值为 10.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB ,二面

角C-AB-D的余弦值为33，M，N分别为AC，BC的中点，则EM，AN所成的角的余弦值等于 11.如图，在直三棱柱ABC-111ABC中，底面为直角三角形，090ABC

，AC=6，12BCCC， P是1BC上的一动点，则

CP+1PA的最小值为 三：解答题： 12、 如图，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分别是 棱BC、1CC的中点，AB=AA1=2． (Ⅰ)证明：1BEAB； (Ⅱ）求二面角1BABD的大小； ２００8级高三数学一轮复习学案－空间向量在立体几何中的应用－机会和成功属于在坚韧的奋斗者

13 13.如图，在三棱锥p-ABC中， PA⊥底面ABC，PA=AB，060ABC，090BCA

，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE

∥BC。 （1）求证：BC平面PAC; (2)当 D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；

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浅谈空间向量在立体几何中的应用

浅谈空间向量在立体几何中的应用

图1 从人民教育出版社的高中教材中可以得知， 给定平面上 两个不共线（即线性无关）的向量 a 和 b，则该平面中任意的第 三个向量 c 都可以由向量 a 和向量 b 表示出来。 那么，同样的 道理可以得出， 在我们建立的坐标系为三维右手直角坐标系 中，给定空间中三个不共面的向量，则对于空间内的任意向量 必可以由这三个向量表示出来。 所以说只要在三维右手直角 坐标系中确定三个不共面（即线性无关）的基向量，那么该空 间内的任意向量都有其表示方法。 也就是说，空间中的向量可 以有空间坐标进行表示。 利用数学语言进行表述：在空间中任 意取线性无关的三个向量 a,b,c 作为该坐标系的基向量， 在该 坐标系中任意取向量 r,那么 r 一定会被表示为 r=xa+yb+zc（其 中 ,y,z 为唯一确定的实数）。
在大部分的高中几何问题中， 不管是平面几何还是立体 几何，作为高中的常用几何问题，一般的解题技巧和解题方式 都是用传统的欧几里得几何的解决方式， 很少会用到空间向 量的知识去考查几何问题。 究其原因，主要是对于使用传统欧 几里得方式去解决几何问题时，无论是直观上的解题，还是问 题的思考和理解上，都显得浅显易懂。 然而易于理解的方式， 并不代表是最好的解题方式， 这样的思考方式往往伴随着大 量而复杂的计算过程，俗话说的好，对于问题思考得愈多，计 算的过程相对就会少一些，反之，思考的越少，那么计算过程 就会更复杂一些。 空间向量作为高等代数与解析几何两门数 学学科交叉结合的知识纽带， 可以说是高等代数重不可或缺 的，是高等数学研究的基础知识，为使用代数方法来研究立体 几何提供了简便高效的途径， 所以本文主要讨论空间向量在 解决高中立体几何中的应用，主要目的在于提高数学思维，提 升数学成绩，为今后数学学习打下良好的基础。
一、考查空间几何问题时的空间向量定义方法 在高中阶段的教程中，向量的基本定义是把既有大小、又 有方向的量叫做向量，基本概念等同于高中物理学中的矢量， 举一个简单的例子，物理学中力的表示方式就可以称作矢量， 也就等同于数学中所说的向量，这样理解更直观，因为经典力 学中的力既有大小又有方向， 满足向量具有二元性的基本定 义。 作为单纯的代数知识，向量用何种方式来表示都不影响它 的代数性质和代数作用， 但是如果想用向量知识去考查几何 问题，特别是立体几何问题，最好的表示方法应该是在费马和 笛卡尔坐标系下定义向量，这样一来，无论是向量的代数性质 还是几何的立体感官都不会受到太大的影响， 从而使得考查 的几何问题直观性不存在差异的变化。 浅显易懂的说法就是 用坐标系来表示向量。 在高中数学教程中关于几何问题一般 都是二维或者是三维的，即平面几何或是立体几何。 所以在本 文中为了讨论的方便， 我们建立的坐标系为三维右手直角坐 标系（图 1）。
空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用教学目标1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；(2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法；2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法启发式教学、讲练结合教学媒体ppt课件学法指导交流指导，渗透指导.课型新授课教学过程一、知识的复习与引人自主学习1.若=x i+y j+z k，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标.2. 如图，已知长方体的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， ⊥⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为BB 1的中点．(Ⅰ)求证：BD 1⊥B 1C ；(Ⅱ)求证：BD 1⊥平面MNP ．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。

空间向量与立体几何(2)——向量法在立体几何中的综合应用

空间向量与立体几何(2)——向量法在立体几何中的综合应用

空间向量与立体几何（2）——向量法在立体几何中的综合应用【学习目标】1、能够建立空间直角坐标系；2、掌握平面的法向量的求解方法；4、掌握向量法在一些平行、垂直证明中的应用；3、掌握向量法在线面角和二面角的应用（重难点）.【重点】空间直角坐标系的建立和法向量的求解【难点】掌握法向量．．．在线面角和二面角的应用. 【基础内容】1、法向量：和平面垂直的向量叫做法向量.如果法向量的模长为1，则称为单位法向量.2、平行：①线线平行：a b a b ⇒②线面平行：m 是平面α的法向量，若a m a ⊥⇒平面α③面面平行：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，若mn ⇒平面α || 平面β3、垂直：①线线垂直：a b a b ⊥⇒⊥②线面垂直：m 是平面α的法向量，若a m a ⇒⊥平面α③面面垂直：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，若m n ⊥⇒平面α ⊥平面β4、线面夹角：θ是OP 和平面α的夹角 sin cos ,OP m OP m OP m θ⋅=<>=⋅（根据θ的大小，考虑正负号）思考：为什么sin cos ,OP m θ=<>？5、二面角：θ是平面α和平面β的夹角cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=⋅（根据θ的大小，考虑正负号）思考：为什么cos cos ,m n θ=<>？【前置作业】1、如图，三棱锥O-ABC，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，求平面ABC的法向量坐标.（提示：利用线面垂直的判定定理，若法向量m⊥平面ABC，则m⊥AB，m⊥AC）【研讨探究】向量法基本方法：①建立坐标系（寻找两两垂直的三条线，特别是找到底面的垂直关系）；②求出点坐标（不知道长度的用字母代替或设单位“1”）③求解题目（法向量的应用）探究一：平行、垂直的证明1、如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB，PC的中点，P A=AD=1，AB=2．（1）求证：MN || 平面P AD；（2）求证：MN⊥平面PCD；探究二：线面角、二面角的求解（3）求MN和平面PBC的夹角的正弦值；（4）求二面角A-PB-C的余弦值.【当堂检测】1、已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB || DC，AB=AD=DE=4，DC=8.（1）证明：BD⊥平面BCF；（2）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP //平面BCE？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由.（3）求CE与平面BEF夹角的正弦值Array（4）求二面角F-EB-C的平面角的余弦值；【课后作业】1、（14浙江·文）如图，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．2、（14浙江·理）如图，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B -AD -E的大小。

如何在立体几何中用好空间向量

如何在立体几何中用好空间向量

如何在立体几何中用好空间向量立体几何是高考的必考内容，而且题目越来越难，教学中我发现学生遇到了很多障碍，如如何做辅助线，射影落在什么位置，如何找线面角、二面角等等。

因此，我也不断探索，不断反思：立体几何该如何引入，该如何培养学生的立体感。

现在新教材中有了空间向量，空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不需要添加复杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算来解决立体几何问题，这样可以使问题坐标化、符号化、数量化。

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角（“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

那么，是不是越早讲，学生越早受益呢？通过实际的教学，我发现，讲得太早的话，会影响学生空间想象力的建立。

我认为，空间向量不该讲得太早。

在学习立体几何这一章的过程中应该重在培养学生的想象力，在学生的想象力建立了以后，在高三时再讲，会使学生感觉到：原来还有一种更简单的解决立体几何问题的方法。

这时候学生有了基础，遇到问题时，不仅会利用传统的方法，又会利用空间向量解决，同时又不乏想象力。

现在新教材设计得很好，空间向量作为选修四出现，《数学课堂标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。

同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。

掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。

新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题。

这样的调整，将使学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习、工作、生活打下更好的基础。