2001年普通高等学校招生全国统一考试(理)
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2001年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理科类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页.共150分,考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式:
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. (1),0cos sin >θθ则θ在
(A )第一、二象限 (B )第一、三象限 (C )第一、四象限 (D )第二、四象限
(2)过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是
(A )4)1()3(2
2
=++-y x (B )4)1()3(2
2=-++y x (C )4)1()1(2
2
=-+-y x
(D )4)1()1(2
2
=+++y x
(3)设{a n }逆增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是
(A )1 (B )2 (C )4 (D )6
(4)若定义在区间(-1,0)内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是
)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅
)]
sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅)]
cos()[cos(2
1cos cos βαβαβα-++=⋅)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅
l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜 高或母线长. 台体的体积公式 h s s s s V )(31+'+'=台体
其中s ′、s 分别表示上、下底面的面积,h 表示高.
(A ))2
1,0(
(B )]2
1,0(
(C )),2
1(+∞
(D )),0(+∞
(5)极坐极方程)4
sin(2π
θρ+=的图形是
(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是
(A ))20)(1arccos(≤≤--=x x y (B ))20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C ))20)(1arccos(≤≤-=x x y
(D ))20)(1arccos(≤≤-+=x x y π
(7)若椭圆经过原点,且焦点为F 1(1,0),F 2(3,0),则其离心率为
(A )4
3
(B )3
2
(C )2
1
(D )4
1
(8)若则,cos sin ,cos sin ,4
0b a =+=+<
<<ββααπ
βα
(A )b a <
(B )b a >
(C )1<ab
(D )2>ab
(9)在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=
- (A )60°
(B )90°
(C )105°
(D )75°
(10) 设)(),(x g x f 都是单调函数,有如下四个命题:
①若;)()(,)(,)(单调递增则单调递增单调递增x g x f x g x f - ②若;)()(,)(,)(单调递增则单调递减单调递增x g x f x g x f - ③若;)()(,)(,)(单调递减则单调递增单调递减x g x f x g x f - ④若;)()(,)(,)(单调递减则单调递减单调递减x g x f x g x f - 其中,正确的命题是 (A )①③
(B )①④
(C )②③
(D )②④
(11)一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种 盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则
(A )P 3>P 2>P 1
(B )P 3>P 2=P 1
(C )P 3=P 2>P 1
(D )P 3=P 2=P 1
(12) 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同 的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为
(A )26
(B )24
(C )20
(D )19
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题 中横线上.
(13) 若一个园锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的侧面积 是 .
(14) 双曲线
116
92
2=-y x 的两个焦点为F 1,F 2,点P 在双曲线上,若PF 1⊥PF 2,则点P 到x 轴的距离为 .
(15)设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和,若{S n }是等差数列,则q = .
(16)圆周上有2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .
得分 评卷人
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,⊥
︒
=
∠SA
ABC,
90面ABCD,
SA=AB=BC=1,AD=.
2
1
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积;
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(18)(本小题满分12分)
已知复数.)
1(3
1
i
i
z-
=
(Ⅰ)求
1
arg z及|z1|;
(Ⅱ)当复数z满足|z|=1,求|
|
1
z
z-的最大值.
D
S
A
B
C
设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛
物线的准线上,且BC//x轴.证明直线AC经过原点O.
(20)(本小题满分12分)
已知n m i ,,是正整数,且.1n m i <≤<
(Ⅰ)证明;i n i i
m i P m P n <
(Ⅱ)证明.)1()1(m n n m +>+
(21)(本小题满分12分)
某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,
根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入比上年减少
5
1
.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.4
1
(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元.写出a n ,b n 的表达式;
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
(22)(本小题满分14分)
设f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x 1,x 2∈[0,2
1
]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f (1)=a >0. (Ⅰ));4
1(),21(f f 求 (Ⅱ)证明)(x f 是周期函数; (Ⅲ)记),21
2(n
n f a n +=求).(ln lim n n a ∞→。