福州大学数理与概率统计第六章 (2)

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二项分布中心极限(棣莫佛－拉普拉斯）定理
设随机变量nA为n次贝努利试验中事件A出 现的次数,p是每次试验中事件A发生的概率,
即nA~B(n, p)(0<p<1)，则对任意x，有
lim P{ nA np
x
x}
1
t2
e 2 dt (x)
n np(1 p)
2
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lim
n
P(|
1 n
n i1Xi|)1
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这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
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5.2
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中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
5.1
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概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
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研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
概率接近于1.
随机即的当了n，充取分值大接时近，于n1其in数1 X学i 差期不望多的不概再率是接
近于1.
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贝努利大数定律
设nA是n次独立试验中事件A发生的 次数,p 是事件A在每次试验中发生的概率,则对任
给的ε> 0,有
lim P{| nA p | } 1

1
2
k
X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2
（3）公式法
3 k k C3 C2 P( X k) , k 0,1,2 3 C5
4、举例 例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求 他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
所以最可能成功的次数k=4
P400 (4) c400 (0.01) (0.99)
4
4
396
0.19635
当试验次数n很大时，计算二项概率变 得很麻烦，如例8等诸如此类的计算问题， 必须寻求近似方法。
我们先来介绍二项分布的泊松近似， 以后我们再介绍二项分布的正态近似.
3. 泊松分布
(一)、泊松分布(定义2.2.4)
, P(X 1) =P(X=0)+P(时数看作一次试验 X=1)
k 3 k
3k
“使用到1000小时已坏” 视为“成功” .每次试验, 2 =(0.2)3+3(0.8)(0.2) “成功”的概率为0.8
=0.104
二项分布的图形特点： X~B(n,p) P k 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.

可见
P( X k)(1 p) p
k 1
k1,2,
这就是求所需射击发数X的概率函数.
P( X k)(1 p) p
k 1
k1,2,
若随机变量 X的概率函数如上式，则 称X具有几何分布(定义2.2.5). 不难验证:

(1 p)
k 1

福州大学概率统计(54学时)试卷（080116）一、 单项选择(共21分,每小题3分)1. 设A 、B 是任意两个事件，则P (A - B )= （ ） A. ()()P A P AB - B. ()()()P A P B P AB -+ C. ()()()P A P B P A B +-U D. ()()()P A P B P AB +-2. 对于随机变量X ,Y ，若E (XY )=E (X )E (Y )，则 （ ）A. DY DX XY D ⋅=)(B.DY DX Y X D +=+)(C. X 与Y 独立D. X 与Y 不独立3．任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。

A 、1)(0≤≤x ϕ B 、在定义域内单调不减 C 、1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ D 、1)(>x ϕ4． n X X X ,,,21Λ为总体X 的简单随机样本，是指（ ）。

A 、n X X X ,,,21Λ相互独立；B 、n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同；C 、n X X X ,,,21Λ相互独立且n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同；D 、n X X X ,,,21Λ相互独立或n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同。

5．设21,X X 为取自总体)1,(~μN X 的简单随机样本，其中μ为未知参数，下面四个关于μ的估计量中为无偏估计的是（ ）。

A 、213432X X + B 、214241X X + C 、214143X X - D 、215352X X +6．如果（Y X ,）的密度函数,21),(22)1(2)1(-+--=y x e y x f π则X 与Y （ ）。

A 、均服从N (0,1) B 、一定相互独立 C 、不一定相互独立 D 、一定不相互独立 7．设)2,0(~N X ，)(~2n Y χ，且X 与Y 独立，则统计量nY X /2服从（ ）。

福州大学概率统计期末试卷（20100606）一、 单项选择(共15分,每小题3分) 1．任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套含三卷，另一套含四卷，则两套各自放在一起的概率为（ ）A ．151B ． 301 Ｃ．1801 Ｄ．21012．设),(~2σμN X ，当σ增大时p X μσ-<={} A ．增大 B ．减少 Ｃ．不变 Ｄ．增减不定3．若ξ与η相互独立，且211~(,)N a ξσ，222~(,)N a ησ，则Z=ξη+仍具有正态分布，且有 成立。

Ａ．22112Z~(a ,)N σσ+ B ．1212Z~(a a ,)N σσ+C ．221212Z~(a a ,)N σσ+D ．221212Z~(a a ,)N σσ++ 4.掷一颗骰子600次，则“一点” 出现次数的均值为 。

（A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）1505.设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。

（X 为样本n X ,,X ,X 21Λ的均值）（A ）X1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-ni iX n 1211 （D ）X二、 填空题(共30分,每小题3分)1.已知3.0)(=B P ,7.0)(=⋃B A P ,且A 与B 相互独立，则=)(A P 。

2.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且31}0{==X P ，则=λ 。

3. 设X 的概率密度为23,02()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，则2)1(-=X Y 的概率密度为4. 设A n 为n 次独立重复试验中A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中的出现概率,ε为大于零的数,则lim A n n P p n ε→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭5.设2S 是从)1,0(N 中抽取容量为16的样本方差，则=)(2S D6. 设()2D X =，25Y X =+，则XY ρ=7. 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从X ,,1Λ中任取一个数，记为Y ，则==}2{Y P .8. 设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.9. 已知F 分布的分位点F 0.05(9,12)=2.8, F 0.05(12,9)=3.07, 则F 0.95(12，9)= 10. 已知生男孩的概率为0.515，则用中心极限定理求得在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率为 ；((Φ3)=0.9987)三、计算题(每小题8分,共16分)1. 某厂卡车运送防“甲流”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.2．设随机变量X的分布密度为：1()0,1x f x x <=≥⎩当当试求：（1）11-22p X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；（2）分布函数()F x四、计算题(每小题8分,共16分)1．设(,)X Y 的联合密度函数为 -,0,(,)0,y e x y xf x y ⎧>>=⎨⎩其他求（1）X 与Y 的边缘分布密度；（2）问X 与Y 是否独立2、设X ，Y 为随机变量，2)3(Y aX u +=，0)()(==Y E X E ，4)(=X D ，16)(=Y D ，5.0-=xy ρ。