桶形基础液压下沉过程的耦合欧拉_拉格朗日有限元法分析_闫澍旺

6.4喷射混凝土UDEC模拟6.4.1 UDEC简介刚体离散单元法一般认为Cundall于1971年提出来的。

该法适用于研究在准静力或动力条件下的节理系统或块体集合的力学问题，最初用来分析岩石边坡的运动。

该法是在牛顿第二定律的基础上建立起来的, 假设块体为准刚度体，块体运动主要受节理或弱面控制。

刚性块体的假设对于应力水平较低的问题，如边坡稳定是合理的。

将节理岩体视为由裂隙切割的非连续介质，相互切割的裂隙将岩体分成相互独立的块体单元，单元之间可以看成是角-角接触、角-边接触或边-边接触。

块体间的边-边接触可分解为由两个角-边接触而成，并且随着单元的平移和转动，允许调整各个单元之间的接触关系，最终块体单元可能达到平衡状态，也可能一直运动下去。

这些块体在平衡条件发生变化时，块体之间就产生相互作用力，从而导致块体产生一定的加速度和位移，使块体的空间位置和状态发生变化。

运动的块体之间，由于差异位移矢量的存在，从而使块体之间又发生新的作用力，根据新的力系，又可以计算出来各个块体在新的力系下的加速度、位移及新的运动位置。

如此反复迭代直到整个体系在新的力系作用下达到平衡状态为止，这样整个岩体的破坏运动过程就被真实的模拟出来。

离散单元法可以对由不同块体构成的整体进行应力、应变的分析计算，各不同块体之间通过接触点的耦合而互相连接在一起。

就大多数岩体来说，其构造弱面的刚度和强度均比岩石本身要小得多，从这点出发，为了减少研究对象的不确定性（自由度）的数量，通常假定各不同岩石块体为刚性，结构产生的总位移仅仅是由各接触点（面）的变形所引起。

这里的研究对象被认为是各种离散块体的堆砌，块体之间的相互作用力可根据位移和力的关系式来求解，单个块体的运动遵循牛顿运动定律，即力和力矩的平衡。

数值分析模型的建立必须满足平衡方程、变形协调方程和本构方程，此外，还需要满足一定的边界条件。

但离散元块体之间不存在变形协调的约束，因为块体之间是彼此互不约束的，因而仅需满足物理方程和运动方程。

第39卷 第8期2011年 8月 华中科技大学学报(自然科学版)J.Huazho ng U niv.of Sci.&T ech.(Nat ur al Science Edition)V ol.39N o.8 A ug. 2011收稿日期 2010-07-29.作者简介 郑俊杰(1967-),男,教授,E -mail:zheng jj@.基金项目 国家自然科学基金资助项目(50908112);国家杰出青年基金资助项目(51025932).FDM -DEM 耦合分析刚性桩复合地基褥垫层特性郑俊杰1董友扣1马 强1蒋明镜2(1华中科技大学土木工程与力学学院,湖北武汉430074;2同济大学地下建筑与工程系,上海200092)摘要 针对单独采用连续体法或离散元法分析桩体复合地基褥垫层的不足,以单桩模型试验为背景,采用有限差分法(FD M )模拟桩体和桩间土,采用离散单元法(D EM )模拟褥垫层,对刚性桩复合地基建立耦合计算模型,并对该模型各加载阶段的桩顶刺入量、褥垫层的受力特性和变形特性进行了分析.结果表明:当上部荷载较大时桩顶边缘出现沿竖向的滑裂带,褥垫层的调整均化作用是通过桩顶附近的颗粒从桩顶高应力区向低应力区流动实现的.关键词 有限差分法;离散元法;耦合;复合地基;褥垫层;桩刺入;颗粒流中图分类号 T U 441.3 文献标志码 A 文章编号 1671-4512(2011)08-0036-04Analyzing the behaviours of rigid pile composite foundationthrough FDM -DEM coupling simulationZheng J unj ie 1 Dong Youkou 1 Ma Qiang 1 J iang Mingj ing 2(1Schoo l of Civ il Eng ineering and M echanics,H uazhong U niversit y of Science and T echno log y,W uhan 430074,China;2Depar tment o f Geotechnical Engineering ,T ongji U niver sity ,Shang hai 200092,China)Abstract T o im pro ve continuum method or discr ete element method (DEM )used in simulating thecushion of pile co mpo site foundation,a coupling mo del w as pr opo sed.In this model,the piles and soil w ere simulated by finite differ ence method (FDM )w hile cushion by DEM ,to simulate a sing le pile model exper im ent.T he analy sis of penetration value of pile and m echanical and deform ation behav io r of cushion at different phases in the coupling mo del show that there wo uld be a vertical slip crack on the edge of pile w hen the load is larg e enoug h;the function o f adjustm ent and hom ogenization of cush -io n is realized by the flow ing of the particles around the pile from the region of hig her stress to that of low er str ess.Key words finite difference metho d (FDM );discrete elem ent m ethod (DEM );coupling;compositefoundation;cushion;pile penetration;particle flow近年来,刚性桩复合地基在城市民用建筑中得到了大量的应用,褥垫层的设置是其中的关键技术之一,褥垫层设置合理与否直接影响刚性桩复合地基的工作性能,对褥垫层工作特性的研究得到广泛关注[1-4].目前国内用于分析桩体复合地基褥垫层的数值手段主要是有限元、有限差分法等连续体方法[5].连续体法在解决连续体问题时计算效率高,但用来模拟桩体复合地基褥垫层时无法反映砂颗粒的流动情况.文献[6]中由于连续体法不能模拟桩顶区域局部不连续而导致桩顶应力的模拟值比实测值高34%.由此可见,在桩体复合地基褥垫层模拟中引入离散元法很有必要.颗粒流程序PFC 2D是用于分析土工问题比较成熟的大型软件[7-9],可将其用于桩体复合地基褥垫层的分析,但单独使用时PFC 2D的计算时间随着模型中颗粒数目的增加而迅速增加,而要能够合理反映褥垫层的工作特性,模型所需颗粒单元数目巨大,计算时间过长.鉴于单独使用连续体法或离散元法模拟桩体复合地基褥垫层的不足,可用有限差分法(FDM)模拟桩和桩间土以发挥连续体法计算速度快的优点,采用离散元法(DEM)模拟褥垫层以真实反映桩体刺入砂垫层时砂颗粒流动的情况,建立FDM -DEM 耦合模型,研究刚性桩复合地基褥垫层的工作特性.1 FDM -DEM 耦合建模Itasca 公司推出的2款应用软件FLAC 2D 和PFC 2D的Socket I/O 功能可支持FDM -DEM 耦合,本研究采用FDM -DEM 耦合的建模方法来模拟带褥垫层的刚性桩复合地基的工作特性,其耦合建模的具体要点是:在建模过程中使用FLAC 2D 将桩和桩间土离散成连续单元体,使用PFC 2D 将褥垫层离散成非连续的颗粒集合,褥垫层的边界由左、右以及底部3部分墙提供.其中,底部的墙由多段组成,其数目与连续体顶部单元水平向的总数相等,且每一根墙端点的坐标与对应连续体单元顶部2个节点的坐标重合;在每一次计算过程中,FLAC 2D先从PFC 2D中接收颗粒集合底部各段墙体边界的竖向和水平向力及弯矩,作为对应连续体单元的荷载,再据此计算出连续体单元的变形;计算完成后,又将连续体顶部单元节点的竖向和水平向的速度传递给PFC 2D作为颗粒集合底部相应墙体的端点速度,由此实现褥垫层与其下方的桩体以及桩间土的界面变形协调.为便于结果对照,对文献[3]中的室内单桩模型试验进行数值模拟,具体试验装置见图1.其中:褥垫层材料为粒径5~10m m 的碎石,土为粒图1 单桩模型试验装置图(mm)径0.2~ 2.0mm 的干燥细砂.填充土时,每填充20~30cm,用5kg 铁块按同一落距均匀夯实2遍,使土处于稍密状态.试验时采用分级加载,每加完一级荷载,等荷载与沉降均稳定后读取数据,然后再加下一级荷载[3].本研究的模拟思路是将褥垫层作为非连续介质,使用PFC 2D 进行模拟.具体离散做法为:采用直径为5~10m m 均匀分布的球体模拟褥垫层中的砂颗粒,采用墙体模拟模型边界;将刚性桩体及桩间土作为连续介质,使用FLA C 2D 进行模拟,桩顶处单元尺寸为300mm 130m m,桩体其余部位处单元尺寸为300m m 70mm ,采用线弹性本构模型;土体单元尺寸为70m m 4m m,所有单元都为矩形单元,并采用摩尔-库仑本构模型;对桩-土接触面采用摩尔-库仑准则.PFC 2D-FLAC 2D耦合模型见图2.图2 单桩模型试验PF C 2D -FL AC 2D 耦合模型(mm)对褥垫层材料建立双轴试验模型[10](图3),通过尝试取值可确定其细观参数与宏观参数的对应关系,进而可确定合理的细观参数.图3 褥垫层颗粒细观试验模型本研究对PFC 2D 模拟部分(褥垫层颗粒及墙体边界)材料参数取值见表1,其对应的宏观参数为:弹性模量25MPa,摩擦角20 ,泊松比0.28.对FLAC 2D模拟部分(桩及桩间土)材料参数取值见表2.37 第8期 郑俊杰,等:F DM -DEM 耦合分析刚性桩复合地基褥垫层特性表1 褥垫层颗粒及墙体边界细观参数参数褥垫层颗粒墙体加荷颗粒法向刚度/GP a 0.20.330000切向刚度/GP a 0.10.220000密度/(kg m -3)1800 摩擦系数0.35 孔隙率/%16.7表2 桩及桩间土材料参数参数桩桩间土剪切模量/GP a 250.005体积模量/GP a 500.010密度/(kg m -3)25001800摩擦角/( ) 35膨胀角/( )72 结果分析2.1 桩顶刺入量分析图4显示在加载初期刺入量的模拟值明显小于试验值,其原因可能是数值模拟中的褥垫层和桩间土都是正常固结材料,而文献[3]中的桩间土欠固结,这是本文数值模拟部分的一项不足;另外,PFC 2D中的细观参数与相应实际值的差别也可能是导致模拟值小于试验值的原因.而在加载中、后期,数值模拟的刺入量曲线斜率与试验结果符合较好.图4 数值分析与试验的刺入量曲线对比2.2 褥垫层位移场分析考察各加载阶段褥垫层的位移场发现,各加载阶段的位移场分布趋势相似,典型的褥垫层的位移场如图5所示.由于模型为对称结构,因此仅取左半结构进行分析.图5中位移矢量线方向代表位移的方向,长度代表位移的大小.图5中的褥垫层位移场可分为3个区域:1号区域距离桩体较远,其中的颗粒几乎呈竖直沉降且大小较均匀,其原因是1号区域距桩体较远,受桩的影响较弱,作用在其上的荷载均匀地向下图5 荷载为0.6M P a 时褥垫层的位移场传递;3号区域位于桩顶,该区域的颗粒表现为先压缩后沿桩顶面滑动;2号区域位于1号和3号区域之间,是它们的过渡区域,区域内的颗粒从3号区域向1号区域移动.2.3 褥垫层变形特性分析不同加载阶段下的褥垫层变形特性如图6所示.由图6可知:当上部荷载较小(0.1~0.4MPa)时桩顶区域3中的颗粒受压发生鼓胀;当上部荷载继续增大(0.5~0.6M Pa)时桩顶边缘出现沿竖向的滑裂带.值得一提的是,正是滑裂带的出现以及桩顶颗粒的大位移滑动导致连续体法无法模拟桩端刺入褥垫层现象.图6 不同加载阶段下的褥垫层变形特性2.4 褥垫层接触力场分析图7是典型的褥垫层接触力场分布图,其中图7 荷载为0.1M Pa 时褥垫层的接触力场分布38 华中科技大学学报(自然科学版) 第39卷接触力矢量线的粗细代表接触力的大小.从图7可以看出:在1号和3号区域接触力呈均匀分布,但3号区域接触力(图中右端)远远大于1号区域(图中左端)的接触力;在2号区域接触力从3号区域高接触力区向1号区域低接触力区呈树冠状延伸.另外,从图7还可看出:1号区域负责将上部荷载传递给桩间土,3号区域负责将上部荷载传递给桩体,而2号区域负责协调桩、土应力比.对照图7和图5可知:褥垫层的调整均化作用正是通过2号区域内的颗粒从3号区域桩顶高应力区向1号区域低应力区流动实现的.3 结论本研究采用FDM-DEM耦合计算方法,对刚性桩复合地基褥垫层的受力、变形特性以及桩体刺入量进行了分析,并得到以下几点结论.a.褥垫层的位移场可分为3个区域,1号区域距离桩体较远,其中的颗粒几乎呈竖直沉降且较均匀;3号区域位于桩顶,区域内的颗粒先压缩后沿桩顶面滑动;区域2位于区域1和3之间,是它们的过渡区域,区域内的颗粒从3号区域向1号区域移动.b.当上部荷载较小时,桩顶区域3中的颗粒受压发生鼓胀;当上部荷载较大时,桩顶边缘出现沿竖向的滑裂带.c.在1号和3号区域接触力呈均匀分布,但3号区域接触力远远大于1号区域的接触力;在2号区域接触力从3号区域高接触力区向1号区域低接触力区呈树冠状延伸.褥垫层的调整均化作用正是通过2号区域内的颗粒从3号区域桩顶高应力区向1号区域低应力区流动实现的.参考文献[1]王长科.基础-垫层-复合地基共同作用原理[J].土木工程学报,1996,29(5):30-35.[2]杨军,阎明礼,唐建中,等.褥垫层在复合地基中的作用[J].建筑科学,1991(2):45-49.[3]郑刚,刘双菊,伍止超.不同厚度褥垫层刚性桩复合地基工作特性研究[J].岩土力学,2006,27(8): 1357-1360.[4]郑俊杰,陈健,骆汉宾,等.刚性桩复合地基垫层破坏模式及厚度分析[J].华中科技大学学报:自然科学版,2008,36(7):120-123.[5]谭慧明,刘汉龙,张霆.P CC桩复合地基褥垫层作用数值分析[J].岩土工程学报,2006,28(S):1489-1492.[6]O rianne J,Daniel D,Richard K.Discrete elementmodelling of a g ranular plat form suppor ted by piles in so ft soi-l va lidatio n on a small model test and co mpar-i son to a numerical analy sis in a co nt inuum[J].Com-puters and G eo technics,2009,36(6):917-927. [7]Cundall P A,Str ack O D L.A discr ete numericalmodel fo r g ranular assemblies[J].G eo technique, 1979,29(1):47-65.[8]Jiang M J,H ar ris D,Zhu H H.Future co nt inuummodels fo r gr anular materia ls in penetr ation analyses [J].Gr anula r M atter,2007,9(1-2):97-108.[9]罗勇.土工问题的颗粒流数值模拟及应用研究[D].杭州:浙江大学岩土工程研究所,2007.[10]Jiang M J,K onrad J M,Ler oueil S.A n efficienttechnique for g ener ating homo geneous specimens forD EM studies[J].Co mputer s and Geotechnics,2003,30(7):579-597.39第8期 郑俊杰,等:F DM-DEM耦合分析刚性桩复合地基褥垫层特性。

第26卷第4期 岩 土 力 学 V ol.26 No.4 2005年4月 Rock and Soil Mechanics Apr. 2005收稿日期：2003-11-05 修改稿收到日期：2004-03-20作者简介：闫澍旺，男，1950年生，教授，主要从事岩土工程专业结构物与土相互作用方面的研究。

E-mail: swyancn@文章编号：1000－7598－(2005) 04―0633―05水泥土桩与土工格栅联合加固沟谷软基机理研究　闫澍旺，周宏杰，崔 溦，冯守中　（天津大学 岩土工程研究所，天津 300072）摘 要：针对山区沟谷软基的特殊土质，并结合夯实水泥土桩和土工格栅在地基加固中的作用特点，提出用夯实水泥土桩与土工格栅联合加固的方案来处理沟谷软基，并利用平面应变弹塑性有限元数值分析方法，对这种地基的受力性状、作用机理进行了多方面研究。

结果显示：土工格栅在其中起到类似抗拉膜的作用，以控制地基的不均匀沉降，可以减小路堤坡脚附近的侧向位移，增加地基的极限承载能力。

桩间土对夯实水泥土桩有负摩擦力作用，使得桩身的最大平均有效应力位置处在桩体的中下部。

格栅对路基沉降量的影响则较小。

关 键 词：沟谷软基；夯实水泥土桩；土工格栅；有限元；负摩擦力 中图分类号：TU 473 文献标识码：AStudy on geogrid-reinforced and pile-supportedembankment over gulch weak subsoilYAN Shu-wang, ZHOU Hong-jie, CUI Wei, FENG Shou-zhong(Institute of Geotechnical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)Abstract: The popular and traditional method of foundation treatment in mountainous areas is to adopt the system of piles. But in some conditions such as existence of the thick mud layer, it is not perfect to use the pile group solely. This paper presents a new combinational foundation system, using geogrids and compacted soil-cement piles to improve the weak subsoil in the mountainous areas. Through the plane strain finite element method, the behavior and mechanism of improved embankment are studied and some useful functions of the geogrid are found in the composite subsoil. For example, the geogrid behaves like a tensioned membrane. It can significantly reduce the differential settlement between the pile head and the surrounding soil and side displacement of the embankment. With the help of the geogrid, the limit bearing capacity of the subsoil is promoted considerably. It has been found that the geogrid has less influence on the embankment settlement. In addition, the largest effective stress appears near the bottom of the piles due to the negative surface friction existing between the soil-cement piles and the subsoil. Key words: gulch weak subsoil; compacted soil-cement pile; geogrid; FEM; negative friction1 前 言山区沟谷由于地势较低，常年积水，土体一般呈饱和甚至过饱和状态。

第23卷 第5期岩石力学与工程学报 23(5)：826～8302004年3月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering March ，20042002年5月8日收到初稿，2002年7月3日收到修改稿。

* 国家自然科学基金(50208001)资助项目。

作者 侯永峰 简介：男，30岁，博士，1994年毕业于石家庄铁道学院交通工程系铁道工程专业，现任北京交通大学土木建筑学院隧道与岩土工程研究所实验室主任，主要从事土力学及路基工程方面的教学和研究工作。

E-mail ：yfhou@ 。

考虑应变软化的道路变形性状有限元分析侯永峰1刘建坤1 刘毓氚2(1北京交通大学土木建筑学院 北京 100044) (2 福州大学土木建筑工程系 福州 350002)摘要 通过室内动三轴试验，分析了路基填土及作为基底的复合地基在循环荷载作用下的应变软化性质，并以此为基础，采用动态弹塑性有限元分析了道路的变形性状。

加固区置换率的变化会对路面变形产生影响，产生的影响主要通过其模量表现出来，但影响程度较小，所以，在满足稳定性要求以及下卧层顶面应力要求的情况下，不主张通过增大置换率来减小路面变形。

对路面变形影响最大的是下卧层土体的性质，因此，软土层不是很厚时，最好加固整个土层，但软土层很厚时，加固效果比较差。

加固区深度与宽度的变化会极大地影响路面变形，所以，软土层很厚时，可增大加固区深度与宽度以减小路面变形。

关键词 土力学，路基，复合地基，循环荷载，应变软化，变形分类号 TU 413.6+2 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2004)01-0826-05DEFORMATION PROPERTY OF EMBANKMENT CONSIDERING STRAINDEGRADATIONHou Yongfeng 1，Liu Jiankun 1，Liu Yuchuan 2(1 Civil and Construction Engineering College ，Beijing Jiaotong University ， Beijing 100044 China ) (2 Department of Civil and Architecture Engineering ，Fuzhou University ， Fuzhou 350002 China)Abstract Through dynamic triaxial test ，the property of strain degradation of embankment and composite foundation is studied. Base on this ，dynamic elasto-plastic FEM is used to analyze the deformation properties of road. The changing replacement ratio in the stabilized range can have impact on the deformation ，and the impact can be shown mainly by the modulus. However ，the impact is relatively small. As a result ，while meeting the requirements of the stability and the ceiling stress of the subsoil ，it is not advocated to adopt the method of increasing replacement ratio of the composite foundation to lessen the deformation of the embankment. The greatest impact on the embankment depends on the property of the subsoil ，therefore ，the whole soil lay may well be strengthened in the case of thinner soft soil layer. The strengthening effect may be less satisfactory when the soft soil is very thick. The changes both in the depth and the width of the stabilized range can exert great influence on the deformation of embankment ，in consequence of which the deformation of embankment can be lessened through increasing the depth and the width of the stabilized range if the soft soil layer is very thick. Key word soil mechanics ，embankment ，composite foundation ，cyclic loading ，strain degradation ，deformation1 前 言路基是道路的重要组成部分，既承受静荷载，也承受交通荷载的重复作用[1]。

精品资料《有限单元法》复习参考题........................................《有限单元法》复习参考题一、简答题：1、简述应用有限单元法解决具体问题的要点。

（1) 将一个表示结构或者连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过他们边界上的结点相互结合为组合体。

（2) 用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。

而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数，为了叙述方便，后面略去此加注）在单元各个节点上的数值与其对应的插值函数来表达。

（3) 通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或者加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程或者常微分方程组。

2、等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么等效积分“弱”形式在数值分析中得到更多的应用？在很多情况下对微分方程的等效积分形式进行分部积分可以得到等效积分的弱形式，如下式T T C D E ()F()d 0ΩΓυΩ+υυΓ=⎰⎰（）（u)d ,其中C 、D 、E 、F 是微分算子。

像这种通过适当提高对任意函数和υ 的连续性要求，以降低对微分方程场函数u 的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。

值得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u 的连续性要求降低了，但对于实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正的解，因为原始微分方程往往对解提出了过分的要求。

所以等效积分“弱”形式在数值分析中得到更多的应用。

3、什么是Ritz （里兹）方法？其优缺点是什么？收敛的条件是什么？基于变分原理的近似解法称为Ritz （里兹），解法如下：优缺点：一般来说，使用里兹方法求解，当试探函数族的范围扩大以及待定参数的数目增多时，近似解的精度将会提高。

局限性：(1) 在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数，往往会产生难以克服的困难。

(2) 为了提高近似解的精度，需要增加待定参数，即增加试探函数的项数，这就增加了求解的复杂性，而且由于试探函数定义于全域，因此不可能根据问题的要求在求解域的不同部位对试探函数提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整个问题求解增加许多困难。

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哈尔滨工程大学硕士学位论文焊接温度场与应力场的数值分析姓名：夏培秀申请学位级别：硕士专业：固体力学指导教师：何蕴增 20050201摘要本文用有限元方法研究了温度场和热应力的分布规律。

模拟对象一是开有圆孔的无限大薄板，另一个是两张对接焊的钢板。

文中对开有圆孔的无限大薄板的研究，一是假设材料的机械性能不随温度变化的情况下，计算出了开有圆孔的无限大薄板的稳恒温度场和弹性热应力的解析解。

二是用有限元法对该薄板进行了两种情况下的计算，一种情况是假设材料的机械性能不随温度变化，另一种情况是材料的机械性能随温度变化。

最后将计算结果进行了对比，证明了有限元解的正确性，同时说明了材料的机械性能随温度变化对板中的径向热应力的影响很大。

本文在对两张钢板对接焊的焊接应力的研究中，首先建立了一种计算简化模型；其次用有限元法对钢板的焊接应力进行了计算，计算结果与文献相吻合，钢板在靠近焊缝的区域内出现了拉应力。

并从理论上分析了该结果的合理性。

焊接应力的存在，会直接影响到结构的承载能力，为了保证焊接结构的安全可靠，准确的推断焊接过程中的力学行为和焊接应力是十分重要的课题。

因此本文的研究成果对科学研究和工程设计都具有重要意义。

关键词：热传导；热应力；热应变；有限元法；对接焊钢板ＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒ，ｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄａｎｄｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｍａｌｓｔｒｅｓｓｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄ，ＳＯｔｈａｔｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆｍｏｄｅｌｓｗｏｕｌｄｂｅｓｉｍｕｌａｔｅｄ．Ｆｉｒｓｔｍｏｄｅｌ，ａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｓｈｅｅｔｗｉｔｈａｃｉｒｃｕｌａｒｏｐｅｎｉｎｇ；ｓｅｃｏｎｄｏｎｅ，ｔｗｏｂｕｔｔ—ｗｅｌｄｅｄｓｔｅｅｌｂｏａｒｄｓ．Ｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｆｏｒｍｅｒｍｏｄｅｌ，ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｓｔｅａｄｙｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄａｎｄｅｌａｓｔｉｃｔｈｅｒｍａｌｓｔｒｅｓｓｗｅｒｅｇｉｖｅｎｗｉｔｈｔｈｅａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌｄｏｎｌｔｃｈａｎｇｅｗｉｔｈｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ．ＡｌｓｏＦＥＭｗａｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｗｏｃａｓｅｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃａｉｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｃａｓｅｄｏｎ。