线性代数习题解答第三版郑宝东习题7

习 题 七1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：(1) 在向量空间V 中，σ (ξ)＝ξ＋α，α是V 中一固定的向量；(2) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,(233221x x x x ＋；(3) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,2(13221x x x x x ＋－；(4) 把复数域看作复数域上的向量空间，σ (ξ)＝ξ.解 （1）当0=α时，σ是线性变换；当0≠α时，σ不是线性变换；（2）σ不是线性变换；（3）σ是线性变换；（4）σ不是线性变换；2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明，σ是V 的一个线性变换的充要条件是：存在F 中的一个数a ，使得对任意ξ∈V ，都有σ (ξ)＝a ξ .证明：充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换，如果σ k －1ξ≠0, 但σ k ξ＝0，求证ξ, σξ, …, σ k －1ξ (k >0)线性无关.证明: 令 ++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:++-ξσξσk k l l 110+0221=--ξσk k l由已知得: ==+ξσξσ1k k =,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有 00=l .则(1)式变为: +σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ 作用得:ξσξσk k l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l .4. 在向量空间R [x ]中，σ (f (x ))＝f '(x ), τ (f (x ))＝xf (x ), 证明，στ －τσ＝ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ －τσ＝ι.5. 在向量空间R 3中，线性变换σ, τ如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1, x 2, x 1＋x 2)τ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2－x 3, 0, x 3－x 1－x 2)(1) 求στ, τσ, σ2；(2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2＋x 3, x 2＋x 3,－x 3)证明，σ是可逆变换，并求σ－1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ. ∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A .显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001100111A 所以-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换，试证,（1）如果σ, τ都与ρ可交换，则στ, σ2也都与ρ可交换（若对任意α∈V ，都有στ (α)＝τσ (α)，就说σ与τ可交换）；（2）如果σ＋τ, σ－τ都与ρ可交换，则σ, τ也都与ρ可交换.证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ=)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明，数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换, ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ 作用得: +11αk +0=m m k α.由已知 ,,21αα,m α 线性无关,所以: ==21k k =0=m k .故 ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关.10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵；(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0，k ∈F )；(3) 求σ在{ε1, ε1＋ε2, ε3}下的矩阵.解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a a a a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka a a k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a a a a a a a a a a a a a a 11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 2＋x 3, x 1－4x 2, 3x 1)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.(1) 求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)下的矩阵；(2) 利用(1)中结论，求σ在基α1＝(1, 1, 1)，α2＝(1, 1, 0)，α3＝(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ(2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333.12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ，τ如下σ (X )＝X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111, τ (X )＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ). 试求σ＋τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵.证明:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+021*********)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ =12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ =121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1120110200010012A . 同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1100110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2121002121000021210021211B . 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间，并且V ＝W 1⊕W 2证明，σ是可逆变换的充要条件是V ＝σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令 ,1α,r α是1W 的一个基. 令 ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则 ),(1ασ,)(r ασ, )(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£( ),(1ασ,)(r ασ).=)(2W σ£( )(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V ＝σ ( W 1)⊕ σ ( W 2).充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 1－x 2, x 2－x 3, x 2＋x 3)求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)及基η1＝(1, 1, 0), η2＝(0, 1, 1),η3＝(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110110012A .σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1100110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211110011.15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为 σ (X )＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3210X ， ∀X ∈M 2(F ). 求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵，其中E 11＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001, E 12＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3020030210000100A . 16. 证明，与n 维向量空间V 的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得.17. 给定R 3的两个基α1＝(1, 0, 1), α2＝(2, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；和 β1＝(1, 2,－1), β2＝(2, 2, －1), β3＝(2, －1, －1). σ是R 3的线性变换，且σ(αi )＝βi ，i ＝1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵；(2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵；(3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110221.所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 18. 设α1＝(－1, 0, －2), α2＝(0, 1, 2), α3＝(1, 2, 5)，β1＝(－1, 1, 0), β2＝(1, 0, 1), β3＝(0, 1, 2)，ξ＝(0, 3, 5)是R 3中的向量，σ是R 3的线性变换，并且σ(α1)＝(2, 0, －1), σ(α2)＝(0, 0, 1),σ(α3)＝(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵；(2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标；(3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标.解:令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T .又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-= 321203231)1,0,0()(αααασ+-== 321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A 由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956 所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2，x 2＋x 3，x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 下列R 3的子空间哪些在σ之下不变？(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R };(5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , －a , 0)| a ∈R }.解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，证明下列条件等价:(1) σ (V )＝V ； (2) ker σ＝{0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0k e r d i m=σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σK e r .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋2x 2－x 3, x 2＋x 3, x 1＋x 2－2x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个不变子空间，证明，W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证.23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换，{α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn }是V 的基. 证明，如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基，那么{σ (αr ＋1),…, σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r .令 l r +1σ (αr ＋1)+ l r +2σ (αr ＋2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr ＋1+…+ l n αn )=0, l r +1αr ＋1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr ＋1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0.所以 σ (αr ＋1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr ＋1),…, σ (αn )).从而结论成立.24. 对任意α∈R 4，令σ (α)＝A α，其中A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2122552131211201 求线性变换σ的核与象. 解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02232, α2 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2220.Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ，τ 是向量空间V 的线性变换，且σ＋τ＝ι，στ＝τσ＝θ. 这里ι是V 的恒等变换，θ 是V 的零变换. 证明:(1) V ＝σ(V )⊕τ (V )；(2) σ(V )＝Ker τ.证明: (1) ∀ξ∈ V , ξ=ι (ξ)=(σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V ＝σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ＋τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 .故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中，定义线性变换τ为：对任意f (x )∈F n [x ]，τ(f (x )) ＝x f'(x )－f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数.(1)求Ker τ及Im τ；(2)证明,V ＝Ker τ⊕Im τ.解: (1) 令τ ( f (x )) = x f '(x )－f (x ) = 0其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2 + … + (n a n -a n )x n = 0有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020n a a a, 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ).(2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121101365求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换，证明(1) σ的本征值一定不为0；(2) 如果λ是σ 的本征值，那么λ1是σ－1的本征值. 证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立. 补 充 题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明(1) Ker σ ⊆Ker σ2 ⊆ Ker σ3 ⊆…(2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1对任意ξ∈ Ker σ n ., σ n (ξ)=0, σ (σ n (ξ))=0即σ n +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σ n +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σ n +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n .2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明，存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )＝0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A 2n 线性相关,故存在 F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=n n A k .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=n n x k ,结论得证. 3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ－1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以 ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以 ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故 ),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1 =∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2＝σ. 证明:(1) Ker σ ＝{ξ－σ (ξ)|ξ∈V };(2) V ＝Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ＝τσ.[提示：证(3)的必要性，利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ 0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ.同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V ),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ )()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以 0)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2＝ι. 证明, V ＝W 1⊕W 2, 这里W 1＝{ξ∈V |σ(ξ)＝ξ}，W 2＝{η∈V |σ(η)＝－η}.[提示：∀α∈V ，α＝21(α＋σ(α))＋21(α－σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于 =+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα-- 所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V ＝W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ＝τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说，V λ＝{ξ∈V |σ(ξ)＝λξ}是τ的不变子空间;(2) σ与τ有一公共本征向量.[提示：证(2)时，考虑τ在V λ上的限制. ]证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得 μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ＝{ξ∈R n |ξ T A ξ＝0}是R n 的n －r 维子空间.[提示：利用习题三第33题的结论，可得W 是齐次线性方程组BX ＝0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T =,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A T T T T ==,那么0=ξξA T 当且仅当0=ξB .=W {}0=∈ξξB R n .因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ，τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2＝σ,τ2＝τ. 证明，(1) Im σ＝Im τ 当且仅当 στ＝τ, τσ＝σ；(2) Ker σ＝Ker τ 当且仅当 στ＝σ, τσ＝τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则 )()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=. 充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆.（2）必要性:设Ker σ＝Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker)(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.勤劳的蜜蜂有糖吃同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。

解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关， 且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立， 则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n， 则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组， 并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3

[][][][][]2**11**2===..........................mn mr rn u x x x x v r r y x xx w x x xy uvw xx r r xx S A B S m A m S n B n A r B r f z u v w f z u v w f u u z z f f f v v w w =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中的行数的行数，的列数的列数，的列数的行数另外矩阵的元素一般是同一类型,于是有1.25785475855273849563421021405251203241410530330435350233343021544104415054213042111AB ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112223331.3210121312222421134435()()6862342x y z X x Y y Z z x y z A B Y AX Z BYZ BY B AX BA X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦==-⎡⎢====----⎣记，，一般变量都记作列向量，这个称为系数矩阵，即系数按照原来的位置排成矩阵于是有，线性变换的矩阵写法从而11112322212333312343543568668623422342Xz x z x x x z x z x x x z x z x x x ⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎦-=-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒=-⇔=+-⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩线性变换的方程组写法和矩阵写法123111111(1)323124111211105111111111213111213(1)112(1)31311214111214(1)112(1)4101513101513(1)015(1)3BA A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-+⨯=-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+⨯--⨯-⨯-+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-+⨯1112111111160211136303221212131752111313(7)3521212(1)64411136343(4)212(1)21180622232115181212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦182026216242223221215(2)1231722218212(2)1221614142132232217204292123111110(2)124111225051111341TT AB A B A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦书上是11111111111110111110(1)111(1)0121215121215(1)212(1)5131411131411(1)314(1)11002559860⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-+⨯⎡⎤⎢⎥=⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-+⨯⎢⎥⎢⎥⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-+⨯⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦111122221122111122221111112222220000(,,,)00,,,nn nn nn nn nn k kk k nn nn a a a a diag a a a a a a b a b A B a b a b a a b a A AB a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对角矩阵的三种表示表示形式:.规律:记则11111221122111121212221212,,,,.(1,:)(2,:)(,:)(,:)(,,,(,:)nn nn nn r r i i n n nr b a a a a a A A a c c c C c c c C C C i C i C i c c c c c c C n ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当且仅当全不为零时,是可逆矩阵,并有记,其中表示的第行,1111111211111222122222222212111212122212),(1,:)(2,:).(,:)(:,1)(:,2)ir r r ii nn n nn n nn nr nn n n s s sn a c a c a c a C a c a c a c a C AC a C i a c a c a c a C n d d d d d d D D D d d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则,即分别乘以的第行记[][]1211112211111222222211221122(:,)(:,)(:,),(:,1)(:,2)(:,),.j j sj nn n nn n nn jj snsn nn sn d d D n D j D j D j d a d a d a d a d a d a d DA a D a D a D n a D j a d a d a d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,其中表示的第列,则即分别乘以的第列[]111213212223313233(1),10010,001(1,:)(1,:)(2,:),(:,2)(:,1)(:,2)(:,3),(3,:)(1,:),(2,:),(3,:)1,2,3(:,1AB BA a a a A a a a C k C a a a A CA kA A AC kA A A A A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦由1.5规律可得.，是一个初等矩阵则其中表示的第行,()1112112122221212111112121121212222221122),(:,2),(:,3)1,2,3(2)n n n n n nn n n n n n n n n n nn n n A A A a a a x aa a x x x x a a a x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=++++++++++++ 表示的第列,这是初等矩阵的性质,第3章.规律:这是二次型,第5章.22221.8(2)(1),,,()()()()AB A BA B AB A AB A AAA A BA A AB A BA B BA B BBB B AB B BA B ===⇒=⇒=⇒==⇒=⇒=⇒=由于是两边同时右乘矩阵结合律两边同时右乘矩阵结合律222221.91(1)(1)(2)2()21(2)(1)(2)2()2X Y A X A BA X A BA X Y BA Y A BA Y A BA ⎧+=+⇒=+⇒=+⎪⎪⎨⎪-=-⇒=-⇒=-⎪⎩222222222222222(1)()()(),2(2)()(),(3)0()0111100000,111100A B A B A B A BA AB B AB BA A BA AB B A AB B A B A B A BA AB B AB BA A BA AB B A B A A A A A A E AB A B +=++=+++≠+++≠+++-=+--≠+-+≠-=⇒-=⇒-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为所以因为所以因为不能推出必有或者例如2211()0000100(4)00,000011100100(5),0001001010,()()A A E A A E A A Ax Ay x y A Ax Ay A Ax A Ay x y---==-=⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=所以不能推出必有或者不能推出必有例如不能推出必有例如若可逆则11111(1),0. 2.31202211111,,1011010222122123131()100121224(2)a b d b A ad bc A c d c a ad bc A A B B AB AB -----⎛⎫⎛⎫=-≠= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒==⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知当时,有见节设准对角矩阵(一种特殊的分块1122121212111111221220000,,00000,,,,,,,,,,,s s s s s k k k k s s s s A A A A A A A B B A A A A B B B B B B A B A A A B A A AB A A A B A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 矩阵)即其中都为方阵,准对角矩阵其中都为方阵.于是有:1111.010*********,.011000220001A A C C B B ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪ ⎪⎝⎭因此,就有21222221.1240()4040,11(1)01124(1)42122n A A A E A E A E X E A E A E X A A E x x A E x x x a b x a x a b a a x x x a x a b a b b x x -+-=----=+-=⇒+-=-⇒--+=+---=-==⎧⎧+-≡+---⇒⇒⎨⎨--=-=⎩⎩-+=⇒设阶方阵，且，证可逆。

前言解肖斌因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学 线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵. 证明 因为A T=A , 所以(B TAB)T=B T(B TA)T=B T A TB =B TAB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T=A , B T=B , 且AB =BA , 所以 (AB)T=(BA)T=A T B T=AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T=A , B T=B , 且(AB)T=AB , 所以AB =(AB)T =B T A T=BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(Ak -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E , 或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2, 即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E , 即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1 =4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1. |P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1 *)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1, 而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A . 26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。