2015年高考第一轮复习数学：6.2 二次不等式解法法

答案：{x|－3≤x≤1}
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4．已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x，2xx，≥x0<，0，解不等式 f(x)>3.
解：由题意xx≥ 2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
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三、易错自纠 4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0，解得－4<x<1. 答案：(－4，1)
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5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________． 解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两 根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－ －113＋ ＝131a＝ ，－ba， 所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
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2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 x1，
＋c＝0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 ＝－2ba
Δ<0 没有实数根
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第七章 不等式
第二节 一元(yī yuán)二次不等式及 其解法

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使用建议
2．教学建议 不等式是知识和应用的结合体，在复习中既要照顾到 其基础性、也要照顾到其应用性，具体在教学中要注意如 下几点： (1)在各讲的复习中首先要注意基础性，这是第一位 的复习目标．由于各讲的选题偏重基础，大多数例题、变 式学生都可以独立完成，在基础性复习的探究点上要发挥 教师的引导作用，引导学生独立思考完成这些探究点，教 师给予适度的指导和点评．
n n a ＞ b 开方法 性质8：a＞b＞0，(n∈N，n≥2)⇔__________( 1 1 则)． ＜ a b 倒数法则)． 性质9：ab＞0，a＞b⇔________(
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第33讲
双 向 固 基 础
不等关系与不等式
—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 完成一项装修工程，请木工需付工资 每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算 2000元，设木工x人，瓦工y人，则工人人数满足的关系式 是_____________________．
5x＋4y≤200， * x ， y ∈ N
[答案]
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第33讲
双 向 固 基 础
不等关系与不等式
[解析] 依题意， 得 50x＋40y≤2000， 即 5x＋4y≤200， 故所满足的不等式组为
5x＋4y≤200， * x ， y ∈ N
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第33讲
不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基本不等式
单元网络
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核心导语
一、不等式的性质与解法 1．比较法——判断或证明两个数的大小的基本方 法． 2．三个“二次”——注意二次函数的图像、一元二 次方程的根、一元二次不等式的密切联系． 二、简单的线性规划问题 1．平面区域——根据特殊点的位置确定不等式表示 的平面区域． 2．实际问题——解题的关键是列出线性约束条件， 写出目标函数．

４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等 式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 2-2一元二次不等式及其解法检测试题（2）文一、选择题1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a，解得a ＝－6，b ＝5， 不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A. 答案：A 2．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2＞0即x ＞2时，原不等式等价于(x －2)2≥4，解得x ≥4. ②当x －2＜0即x ＜2时，原不等式等价于(x －2)2≤4，解得0≤x ＜2，故选B. 答案：B3．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：原不等式可化为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]，故选D.答案：D4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)解析：①m ＝－1时，不等式为2x －6＜0，即x ＜3，不合题意．②m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜0，Δ＜0，解得m ＜－1311，故选C.答案：C5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图像可以为( )ABCD解析：由f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}知a＜0，y＝f(x)的图像与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，所以f(－x)图像开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．答案：B6．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0 ①，且f(1)＝x2－3x＋2＞0 ②即可，联立①②并解得x＜1或x＞3.故选C.答案：C7．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图像如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为( )A．(2,3)∪(－3，－2)B．(－2，2)C．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由导函数的图像知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，即－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)，故选A 项．答案：A8．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0，故选C. 答案：C9．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax 的解集为( )A ．{x |0＜x ＜3}B ．{x |x ＜0，或x ＞3}C ．{x |－2＜x ＜1}D ．{x |x ＜－2，或x ＞1}解析：由题意知a ＜0且－1,2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝1，ca ＝－2，解得b ＝－a ，c ＝－2a ，所以不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax ，即为a (x 2＋1)－a (x －1)－2a ＞2ax ， 所以x 2－3x ＜0，解得0＜x ＜3. 答案：A10．若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为( )A ．(－3,1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．∅D ．(0,1)解析：不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a ＜0，即a 2－a ＜0，解得0＜a ＜1，所以不等式at 2＋2t －3＜1转化为t 2＋2t －3＞0，解得t ＜－3或t ＞1，故选B.答案：B 二、填空题 11．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝__________. 解析：k －3x －3＞1，得1－k －3x －3＜0，即x －kx －3＜0， (x －k )(x －3)＜0，由题意得k ＝1. 答案：112．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是__________． 解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅， 所以Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)13．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是__________．解析：由题意是x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，解得x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，所以λ的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]14．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a ＞0的解集为__________(用区间表示)．解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即2x2－2x －12＜0，其解集为(－2,3)．答案：(－2,3) 三、解答题15．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析：(1)∵f (1)＞0，∴－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式的解集为∅.②当Δ＞0，即b ＞－6时，方程a 2－6a ＋3－b ＝0有两根a 1＝3－6＋b ，a 2＝3＋6＋b ， 所以不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：当b ≤－6时，原不等式的解集为∅；当b ＞－6时，原不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即 3x 2－a (6－a )x －b ＜0. ∵不等式的解集为(－1,3)，∴－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.答案：(1)当b ≤－6时，解集为∅；当b ＞－6时，解集为(3－6＋b ，3＋6＋b ) (2)⎩⎨⎧a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小． 解析：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .答案：(1)当a ＞0时，解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}； (2)f (x )＜m .创新试题 教师备选 教学积累 资源共享1．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：由题意x (x －2)＋2x ＋(x －2)＜0， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1. 答案：B2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：∵x 2＋ax ＋1≥0，在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，∴a ≥－x －1x.又－x －1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52，即 a min ＝－52.答案：C3．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.答案：A4．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1,1)D ．(0,2)解析：由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )[1－(x ＋y )]＜1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2－y －1＜0对于x ∈R 恒成立，故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)＜0，∴4y 2－4y －3＜0，解得－12＜y ＜32.答案：A5．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A ．[1,19] B ．(1,19) C ．[1,19)D ．(1,19]解析：函数图像恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1. 若a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意； 若a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意． (2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16a －12－12a 2＋4a －5＜0，解得1＜a ＜19.综上可知，a 的取值范围是1≤a ＜19. 答案：C6．若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy的最小值为__________． 解析：由题意：2x ＋y －3＝0⇒2x 3＋y3＝1， x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23·2＋53＝3， 当且仅当x ＝y ＝1时取得最小值． 答案：37．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为__________．解析：由不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)，可得其解集为(0,2n ＋1)，其中整数解有2n 个，即a n ＝2n ， ∴S 100＝100×2＋2002＝10 100.答案：10 1008．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．解析：∵4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1 ＝(2x－1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 有最小值0.∴a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]。