2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。
所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。
2016-2017 学年第一学期期末考试线性代数试题一．选择题（每小题 4 分，共 24 分）1、行列式01110212=-k k 的充分条件是（A ）2=k （B ）2-=k （C ）0=k （D ）4=k 2、设A 为n 阶矩阵，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则=*A A （A ）n n A -2（B ）n A （C ）12+-n n A （D ）1-n A 3、设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组AX =b（A ）无解（B ）有唯一解（C ）有无穷多解（D ）解的情况不能确定4、设A 、B 是满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（C ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（D ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5、已知21,ηη是线性非齐次方程组b x A n m =⨯的两个不同的解，21,ξξ是对应线性齐次方程组0=⨯x A n m 的基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b x A n m =⨯的通解为（A ）2)(2121211ηηξξξ-+++k k ；（B ）2)(2121211ηηξξξ++-+k k ；（C ）2)(2121211ηηηηξ-+++k k ；（D ）2)(2121211ηηηηξ++-+k k ；6、设A 是3阶不可逆矩阵，21,αα是AX =0的基础解系，3α是属于特征值1=λ的特征向量，下列不是A 的特征向量的是（A ）213αα+（B ）21αα-（C ）31αα+（D ）32α二．填空题（每小题4分，共16分）1、若三阶矩阵A 的伴随矩阵是*A ,且21=A ,则=-*-A A 231）（__________.2、设X A AX +=，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010312022A ，则=X ___________.3、已知123,,αααγβ,,都是四维列向量，,,,,321a =βααα,,,,123b =+αααγβ则=321,,,2αααγ___________.4、设l ααα,,,21 都是非齐次线性方程组AX =b 的解，如果l l c c c ααα+++ 2211还是AX =b 的解，则=+++l c c c 21___________.三、计算题（每题10分，共50分）1、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102324171B 求T AB ）（.2、求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A 的列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α,用施密特正交化过程把这组向量规范正交化4、用基础解析表示如下线性方程组的全部解⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2143214321432132130x x x x x x x x x x x x 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=60028022a A 相似于对角矩阵∧，确定常数a 的值；并求可逆矩阵P ,使得∧=-AP P 1。
2016~2017学年春季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设A 为3阶方阵，A 的第3列的元素分别为1,-3,2，其对应的余子式为3,1,2，则||A =10．．解析：313233||(1)13+(1)3)1+(1)2210(-A +++=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=注释本题知识点：行列式按行按列展开答案：102．设矩阵1223135()4()2()αααααα-+-=+，其中1=(3,-1,0,1)Tα，2=(3,-3,6,3)Tα则3=α(1,0-1,0)T，解析：由1223135()4()2()αααααα-+-=+得到12336ααα-=所以31211=3-=(9-303)(3-36,3)(10-10)66（），，，，，，，，T T T ααα⎡⎤-=⎣⎦注释本题知识点：向量的运算答案：0（1，0，-1，）T3.设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且12-2=(2,1,1,1)T ηη，3=(0,2,1,1)T η，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2),T k k R∈．解析：因为四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，所以其对应的齐次线性方程组的基础解系中只包含一个解量，而123-2+=(2,3,2,2)Tηηη为齐次线性方程组0Ax =的解，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2)()Tk k R ∈注释本题知识点：（1）齐次线性方程组的基础解系所包含的向量个数n r-（2）齐次线性方程组的通解1122+++(,1,2,)n r n r i k k k k R i n r ξξξ--∈=-L L 答案：(2,3,2,2)()T k k R ∈4．设矩阵123(,,)A ααα=有三个不同的特征值，且312=+ααα，则矩阵的秩()R A =2．解析：由312=+ααα知向量123,,ααα线性相关，而三个特征值不同，所以12,αα线性无关，故()2R A =注释本题知识点：矩阵的秩等于矩阵中行向量组或者列向量组的最大无关组的秩，即最大无关组所包含的向量的个数。
