山东省威海市2012届高三数学第二次模拟考试试题 理 (2012威海二模)

济南市2012届高三3月（二模）参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B );如果事件A 、B 独立,那么P (A ∩B )=P (A ) P (B ).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率: n P (k)=k k nCp (1)n k p --(k =0,1,2,…, n ).第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数1+i4+3i 的虚部是 A. 1i 25 B. 125C. 125-D. 1i 25- 2.直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k =A. -3或-1B. 3或１C. -3或１D. -1或3 3. 函数y =sin x sin π2x ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小正周期是 A.π2B. πC. 2πD. 4π4. 如图，正三棱柱ABC -111A B C 的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A.5. 设a=π0⎰sin x d x ,则二项式6⎛ ⎝的展开式的常数项是A. 160B. -160C. 240D. -2406. 如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有A. 11种B. 20种C. 21种D. 12种的取值范围是A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. （－∞，0］∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.（－∞，0）∪1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9. 在等差数列}{n a 中，1a =-2 012 ，其前n 项和为n S ，若10121210S S -=2，则 2 012S 的值等于A. -2 011B. -2 012C. -2 010D. -2 01310. 偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1)，且在x ∈[0，1]时,f (x )=x ，则关于x 的方程f (x )=110x⎛⎫⎪⎝⎭，在x ∈[0，4]上解的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 411. 已知实数x ,y 满足|2x +y +1|≤|x +2y +2|，且-1≤y ≤1，则z =2x +y 的最大值A. 6B. 5C. 4D. -3 12. 在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点.P 为EF 上任一点,实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=,则23λλ取最大值时，2x +y 的值为A. -1B. 1C. -32D.32二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.13. 随机变量ξ服从正态分布N (40, 2σ)，若P (ξ<30)=0.2，则P (30<ξ<50)= . 14. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S = .三、 解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且满足cos 2A =,AB AC =3. （1） 求△ABC 的面积； （2） 若c =1,求a 、sin B 的值.18. （本小题满分12分）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足n S =3n +k ， （1） 求k 的值及数列}{n a 的通项公式； （2） 若数列}{n b 满足12n a +=(4)n n a bk +，求数列}{n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图,在直角梯形ABCP 中，AP //BC ，AP ⊥AB ，AB =BC =12AP =2，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD .20. （本小题满分12分）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判（3） 当a =-1时，试推断方程()f x =ln 12x x 是否有实数解.。

山东省济南市2012届高三3月高考模拟考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后将答题卡交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：柱体体积公式：V=Sh ，其中S 为柱体底面的面积，h 为柱体的高.第Ⅰ卷(共60分)4一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合U ={1,2，3，4，5，6，7},A ={1,2,4},B ={1,3,5}，则)(B C A U ⋂= ( )A. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {3,5}D. {2,4}【答案】D【解析】}7,6,4,2{=B C U ,所以{2,4}}7,6,4,{2{1,2,4})(=⋂=⋂B C A U ，选D.2. 直线1l :kx -y -3=0和2l :x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k = ( )A. -3B. -2C. -12或-1D. 12或1 【答案】A【解析】直线1l 的斜率为k ，直线2l 的斜率为321+-k ，由1321-=⨯+-k k ，解得3-=k ，选A. 3. 复数55i 12i+的虚部是( )A. -1B. 1C. iD. -i【答案】B 【解析】i i i i i i i i i i i +-=--=-+--=+-=+25)21(5)21)(21()21(52152155，虚部为1，选B. 4. 若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是 ( )A. a b +<B. 1122a b > C. ln a ＞ln b D. 0.30.3a b <【答案】A【解析】由不等式的性质知ab b a 2>+，所以不成立的不等式为A ，答案选A.5. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B 的值是 ( )A. 5B. 11C. 23D. 47【答案】C【解析】第一次循环：4,5122==+⨯=A B ；第二次循环：5,11152==+⨯=A B ；第三次循环：6,231112==+⨯=A B ；第四次循环：输出23=B ,选C.6. 已知α为锐角，55cos =α，则)24tan(απ+= ( ) A. 3- B. 71- C. 34- D.7- 【答案】B【解析】由55cos =α，得552sin =α，所以2tan =α，34414tan 1tan 22tan 2-=-=-=ααα。

2024年威海市高考模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1、答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为（）A.20B.21C.22D.23.52.在研究集合时，用()card A 来表示有限集合A 中元素的个数．集合{}1,2,3,4M =，{}N x x m =>，若()card 2M N = ，则实数m 的取值范围为（）A.[)23, B.[]2,3 C.()2,3 D.()2,+∞3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为54，则该双曲线的渐近线方程为（）A.2y x=± B.12y x =±C.43y x =±D.34y x =±4.已知正项等比数列{}n a 中，11a =，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则2a =（）A.2B.3C.4D.65.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F F ，且与C 在第一象限的交点为A ，若8AF =，则p =（）A.2B.4C.8D.126.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，11B C 的中点，若平面1DBB 与平面AEF 的交线为l ，则l 与直线1AD 所成角的大小为（）A.π6B.π3 C.π4D.π27.已知向量a ，b 满足1a = ，2b = ，且对λ∀∈R ，b a b a λ+≥- ，则a b ⋅ =（）A.-2B.-1C.1D.28.设110a =，ln1.21b =，110sin 100c =，则（）A.a b c >> B.b a c>> C.c a b>> D.c b a>>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.()21i +是纯虚数B.对任意的复数z ，22z z=C.对任意的复数z ，()()11z z --为实数D.()()cos isin cos isin cos isin αααβαβββ+=++-+10.已知函数()ππsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 在()0,1上单调递减B.将()y f x =图象上的所有点向左平移23个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称C.()f x 在()1,2-上有两个零点D.()202412i f i ==∑11.数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆()222210x y a b a b+=>>任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：()2221039x y b b+=<<可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A ，B ，则（）A.b =B.若矩形的四条边均与椭圆C 相切，则该矩形面积的最大值为12C.椭圆C 的蒙日圆上存在两个点M满足MA =D.若椭圆C 的切线与C 的蒙日圆交于E ，F 两点，且直线OE ，OF 的斜率都存在，记为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()73x x -的展开式中13x 的系数为______．（用数字作答）13.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b c +=，cos 6C =-．则sin A =______．14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．（1）若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；（2）若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X ，求X 的分布列和数学期望．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为等边三角形，PD AB ⊥，AD BC ∥，4AD =，2AB BC ==，M 为PA 的中点．（1）证明：DM ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值．17.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）求()f x 的极值；（2）证明：ln 1e x x x x ++≤．18.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：2y ax c =+过点()0,1-，且与x 轴的两个交点为A ，B ，AB 4=．（1）求C 的方程；（2）已知直线l 与C 相切．（i ）若l 与直线1y =-的交点为M ，证明：l OM ⊥；（ii ）若l 与过原点O 的直线相交于点P ，且l 与直线OP 所成角的大小为45°，求点P 的轨迹方程．19.设x ∈R ，y 是不超过x 的最大整数，且记[]y x =，当1x ≥时，[]x 的位数记为()f x 例如：()1.61f =，10023f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()996.23f =．（1）当()11010n n x n -+≤<∈N 时，记由函数()y f x =的图象，直线110n x -=，10n x =以及x 轴围成的平面图形的面积为n a ，求1a ，2a 及12n a a a +++ ；（2）是否存在正数M ，对[),x M ∞∀∈+，()()32xxf f >，若存在，请确定一个M 的值，若不存在，请说明理由；（3）当1x ≥，n +∈N 时，证明：()()121101010101n n n n n n f x f x f x f x f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2024年威海市高考模拟考试数学注意事项：1、答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为（）A.20B.21C.22D.23.5【答案】C 【解析】【分析】由百分位数的定义计算即可.【详解】样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36共9个数字，所以960% 5.4⨯=，所以60%分位数为从小到大排列的第6个数，即为22.故选：C.2.在研究集合时，用()card A 来表示有限集合A 中元素的个数．集合{}1,2,3,4M =，{}N x x m =>，若()card 2M N = ，则实数m 的取值范围为（）A.[)23, B.[]2,3 C.()2,3 D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，确定{3,4}M N = ，从而求出m 的值.【详解】由题：{3,4}M N = 所以23m ≤<，故选：A .3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为54，则该双曲线的渐近线方程为（）A.2y x =±B.12y x =±C.43y x =±D.34y x=±【答案】D 【解析】【分析】根据公式e =求出b a ，结合焦点位置即可得渐近线方程.【详解】由题知，54c e a ===，解得34b a =，又双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为34y x =±.故选：D4.已知正项等比数列{}n a 中，11a =，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则2a =（）A.2 B.3C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】由等差中项的性质可得4562a a a =-+，再由等比数列的性质可得2q =，即可得出答案.【详解】因为5a -，4a ，6a 成等差数列，所以4562a a a =-+，因为{}n a 是正项等比数列，且11a =，24442a a q a q =-⋅+⋅，所以22q q =-+，解得：2q =或1q =-（舍去），所以21122a a q ==⨯=.故选：A .5.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F F ，且与C 在第一象限的交点为A ，若8AF =，则p =（）A.2 B.4C.8D.12【答案】B 【解析】【分析】过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，利用斜率求出点A 的坐标，然后代入抛物线方程即可得解.【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，因为直线AF π3AFH ∠=，则ππsincos 433AH AF FH AF ====，所以，点A 坐标为4,2p ⎛+ ⎝，代入()220y px p =>得(2242p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得28480p p +-=，解得4p =或12p =-（舍去）.故选：B6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，11B C 的中点，若平面1DBB 与平面AEF 的交线为l ，则l 与直线1AD 所成角的大小为（）A.π6B.π3 C.π4D.π2【答案】C 【解析】【分析】利用线面平行判定定理和性质定理可证1//BB l ，再由直线平行的传递性可得1//AA l ，可知11∠A AD 即为所求，可得答案.【详解】因为E ，F 分别为棱BC ，11B C 的中点，所以1//BB EF ，因为EF ⊂平面AEF ，1BB ⊄平面AEF ，所以1//BB 平面AEF ，又平面1DBB ⋂平面AEF l =，1BB ⊂1DBB ，所以1//BB l ，又11//AA BB ，所以1//AA l ，所以l 与直线1AD 所成角的大小等于11π4A AD ∠=.故选：C7.已知向量a ，b 满足1a = ，2b = ，且对λ∀∈R ，b a b a λ+≥- ，则a b ⋅ =（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】对b a b a λ+≥-两边平方，根据二次函数性质即可求解.【详解】因为b a b a λ+≥- ，所以22||||b a b a λ≥+-，所以222||202||a a b a b a λλ⋅++⋅-≥ ，因为对λ∀∈R ，b a b a λ+≥- ，所以2224||(2)0(2)||a b a a b a ∆=-≤⋅⋅-，所以2|2|4()012a b a b --⋅≤⋅，所以1a b ⋅=.故选：C.8.设110a =，ln1.21b =，110sin 100c =，则（）A.a b c >> B.b a c>> C.c a b>> D.c b a>>【答案】B 【解析】【分析】令()sin g x x x =-，求导可证明sin x x >，进而可得11110sin1010010010<⨯=，可判断a c >，令2()ln(1)2ln(1)f x x x x x =-+=-+，求导可证22ln(1)ln(1)x x x <+=+，令110x =，可判得a b <.【详解】令()sin g x x x =-，可得()1cos 0g x x '=-≥，所以()sin g x x x =-在R 上单调递增，当0x >时，()(0)g x g >，所以sin x x >，所以11110sin1010010010<⨯=，所以a c >，令2()ln(1)2ln(1)f x x x x x =-+=-+，求导可得21()111x f x x x -'=-=++，当01x <<，()0f x '<，所以()f x 单调递减，所以()(0)<f x f ，即2ln(1)02ln10x x -+<-=，所以22ln(1)ln(1)x x x <+=+，令110x =，可得21ln(10.1)ln1.2110<+=，即a b <，所以c<a<b .故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.()21i +是纯虚数B.对任意的复数z ，22z z=C.对任意的复数z ，()()11z z --为实数D.()()cos isin cos isin cos isin αααβαβββ+=++-+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据复数运算化简后，结合纯虚数概念可判断；对于B ，设i z a b =+，根据复数乘法运算和复数模公式计算即可判断；对于C ，设出复数z ，根据共轭复数概念和复数乘法运算即可判断；对于D ，根据复数除法运算与和差公式化简即可判断.【详解】对于A ，()21i 2i +=是纯虚数，A 正确；对于B ，对任意复数()i ,z a b a b =+∈R ，()()222222i 2i i 2i z a b a ab b a b ab =+=++=-+，2222z ab ==+，所以2z 和2z 不一定相等，B 错误；对于C ，设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，则()()()()()22111i 1i 1z z a b a b a b --=-+--=-+，C 正确；对于D ，()()()()cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin ααββααββββββ+-+=++-()()()22cos cos sin sin i sin cos cos sin cos isin cos sin αβαβαβαβαβαβββ++-==-+-+，D 错误.故选：AC10.已知函数()ππsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 在()0,1上单调递减B.将()y f x =图象上的所有点向左平移23个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称C.()f x 在()1,2-上有两个零点D.()202412i f i ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】由213f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知()f x 的图象关于23x =对称，可判断AB ；整体代入法求出函数零点即可判断C ；求出()()()()0,1,2,3f f f f ，结合周期可判断D .【详解】对于A ，因为2π2ππsin sin 132362f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于23x =对称，所以()f x 在()0,1上不单调，A 错误；对于B ，由上知，()f x 的图象关于23x =对称，所以()f x 的图象向左平移23个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称，B 正确；对于C ，由πππ26x k +=得函数()f x 的零点为12,3x k k =-∈Z ，令11223k -<-<，解得1736k -<<，所以0,1k =，即()f x 在()1,2-上有两个零点，C 正确；对于D ，因为()()π1πππ30sin,1sin cos 622662f f ⎛⎫===+==⎪⎝⎭，()ππ12sin πsin 662f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，()3πππ33sin cos 2662f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，所以()()()()01230f f f f +++=因为()f x 的最小值周期2π4π2T ==，所以()()()()()()()202415060123202402i f i f f f f f f =⎡⎤=++++==⎣⎦∑，D 正确.故选：BCD11.数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆()222210x y a b a b+=>>任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：()2221039x y b b+=<<可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A ，B ，则（）A.b =B.若矩形的四条边均与椭圆C 相切，则该矩形面积的最大值为12C.椭圆C 的蒙日圆上存在两个点M满足MA =D.若椭圆C 的切线与C 的蒙日圆交于E ，F 两点，且直线OE ，OF 的斜率都存在，记为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值【答案】ACD 【解析】【分析】A选项，边长为()2221039x y b b+=<<的蒙日圆的内接正方形，从而得到方程，求出b =；B 选项，设矩形的长为x ，宽为y，根据蒙日圆方程得到(22248x y +==，由基本不等式求出面积的最大值；C选项，设(),M θθ，根据MA =得到方程，得到cos 156θ=，故C 正确；D 选项，设切点为()00,R x y ，故2200193x y +=，椭圆C 的切线方程为00193x x y y +=，联立00193x x y y +=与2212x y +=，得到两根之和，两根之积，表达出201220273623y x x y -=+，21220031292y y y y -=+，故1212121 3y yk kx x==-.【详解】A选项，由题意得边长为()2221039x y bb+=<<的蒙日圆的内接正方形，2=，解得23b=，b=，A正确；B选项，若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形为22193x y+=的蒙日圆的内接矩形，其中蒙日圆的半径为2=，设矩形的长为x，宽为y，故(22248x y+==，故矩形面积为22242x yxy+≤=，当且仅当x y==时，等号成立，故该矩形面积的最大值为24，B错误；C选项，由题意得()(),3,03,0A B-，蒙日圆方程为2212x y+=，设(),Mθθ，故MA=MB=，由MA==，故()21321θθ+=-，解得cos24θ=，显然M点可能在第一象限或第四象限，C正确；D选项，下面证明椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>在()00,P x y处的切线方程为00221x x y ya b+=，理由如下：当00y≠时，故切线的斜率存在，设切线方程为y kx m=+，代入椭圆方程得：()22222222220a kb x a kmx a m a b+++-=，由()()()222222222Δ240a km a kb a m a b=-+-=，化简得：22220a k m b -+=，所以()222022222Δ2022a km a km a k x m ma kb -±-±-===+，把20a k x m -=代入00y kx m =+，得：20b y m =，于是2200022200mx x b x b k a a y a y =-=-⋅=-，则椭圆的切线斜率为2020b x a y -，切线方程为()200020b x y y x x a y -=--，整理得到2222220000a y y b x x a y b x +=+，其中22222200b x a y a b +=，故222200a y y b x x a b +=，即00221x x y ya b+=，当00y =时，此时0x a =或a -，当0x a =时，切线方程为x a =，满足00221x x y ya b +=，当0x a =-时，切线方程为x a =-，满足00221x x y ya b+=，综上：椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=；设切点为()00,R x y ，故2200193x y +=，则椭圆C 的切线方程为00193x x y y+=，联立00193x x y y +=与2212x y +=得()22220000918811080x y x x x y +-+-=，设()()1122,,,E x y F x y ，则0122200189x x x x y +=+，2122200811089y x x x y -=+，()20102001212122220000000339339x x x x x x x x y y x x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=--=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭20022220200222000000188********x x y x y y y y x x y -=+-++⋅将220093x y =-代入得，22200012222200200081108811082736999323y y y x y y x x y y ---===+++-，2220002022201222200034632393931299322y y y y y y y y y y y y ---=+--=⋅+++，故201212221200202736132331292y y y k k x x y y y -==-÷=-++，为定值，D 正确.法2：若EF 的斜率存在，则设直线:EF y kx m =+，则联立y kx m =+与22193x y +=得()222136390k x kmx m +++-=，由()()222236413390k m km∆=-+-=得2293m k =+，联立y kx m =+与2212x y +=得，()22212120kxkmx m +++-=，设()()1122,,,E x y F x y ，则2121222212,11km m x x x x k k-+=-=++，故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m=++=+++2222222222212212111k m k m k m k m k k k =+---+=+++，将2293m k =+代入得221222129911m k x x k k --==++222122293123113k k k y y k k =+++--++=，故212121222231339911y y k k k k x x k k +==-÷+=--+，若EF 的斜率不存在，则EF ：3x =或3x =-，若EF ：3x =，则((,3,E F或((3,,E F ，此时均有1213k k =-，同理当EF ：3x =-，也有1213k k =-，故D 正确.故选：ACD【点睛】过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.过椭圆22221x y a b +=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()73xx -的展开式中13x 的系数为______．（用数字作答）【答案】35【解析】【分析】化简通项，根据x 的指数等于13求出r ，然后可得所求系数.【详解】()()()73212177C 1C rrrrr rr T x x x--+=-=-，令21213r -=，解得4r =，所以13x 的系数为()4471C 35-=.故答案为：3513.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b c +=，cos 6C =-．则sin A =______．【答案】3【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理可得226()6c b -=-´-，结合已知求得,b c ，再由正弦定理可求得sin A .【详解】在ABC 中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以226(6c b -=-´-，所以()()62c b c b b -+=+，因为4c b +=，所以4()62c b b -=+，所以466c b -=解得1,3b c ==，由cos 6C =-，可得sin 6C =，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin c a C A=，所以sin 6sin 33a CA c ===.故答案为：3.14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______．【答案】323π##323π【解析】【分析】将圆锥侧面积用圆锥底面半径与母线长的表达式表示出来，再利用外接球半径为3，建立圆锥底面半径与母线长的关系，从而将圆锥侧面积表示为母线长函数，利用换元，导数法求出函数取最大值时的母线长，底面半径长，从而求出此时的圆锥体积.【详解】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为C ，底面圆周与顶点均在球心为O 的球面上，3==OA OP ，记,,PA l CA r ==则圆锥侧面积为122S l r lr =⨯⨯π⨯=π，若r 相同时，l 较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时,P C 两点位于球心O 两侧，此时222222222(3),9,3,(3)966l l l r OC r OC OC r =+++=∴=-∴+=，42236l r l ∴=-，而230,6l l -≥≥又6l OP OA <+=，故422226)36l l r l l l ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭令222231(0,36),()36t l f t l r t t =∈==-，21()20,2412f t t t t '=-==，当1824t <<时，()0,()f t f t '>单调递增；当2436t <<时，()0,()f t f t <'单调递减，故当24t =时，()f t 最大，圆锥侧面积最大，此时l r ==，此时圆锥体积221132333V r =π=π=π ，故答案为：323π.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．（1）若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；（2）若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）45（2）X 的分布列见解析，16()5E X =【解析】【分析】（1）记该事件为事件A ，利用()60%90%4065%P A =⨯+⨯，求解即可；（2）由（1）可知4(4,)5X B :，根据二项分布的概率公式可求分布列与数学期望.【小问1详解】记质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级为事件A ，则4()60%90%4065%80%5P A =⨯+⨯==，【小问2详解】由（1）可知每件产品达到优秀等级的概率均为45，故4(4,5X B :，0123,4X =，，，，所以()04044410C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131444161C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222444962C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3134442563C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()444442564C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为：X1234P162516625966252566252566251169625625616()012346256256256256255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为等边三角形，PD AB ⊥，AD BC ∥，4AD =，2AB BC ==，M 为PA 的中点．（1）证明：DM ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）35【解析】【分析】（1）设AD 中点为O ，证明AB ⊥平面PAD ，从而得AB DM ⊥，结合PD AB ⊥，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面MCD 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】设AD 中点为O ，连接PO ，PAD 为等边三角形，故PO AD ⊥，由题意知平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，故PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PO AB ⊥，又PD AB ⊥，,,PO PD P PO PD ⋂=⊂平面PAD ，故AB ⊥平面PAD ，DM ⊂平面PAD ，故AB DM ⊥，又M 为PA 的中点，PAD 为等边三角形，则DM PA ⊥,,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ，所以DM ⊥平面PAB ；【小问2详解】由（1）知AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故AB AD ⊥，连接CO ，122AO AD ==，则,AO BC AO BC =∥，即四边形AOCB 为平行四边形，故,OC AB OC AD ∴⊥∥，故以O 为坐标原点，,,OC OD OP 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(2,2,0),(0,(2,0,0),(0,2,0)P B M C D --，(2,2,(2,1,(0,3,PB MC MD =--==，设平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则0n MC n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2030x y y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则n = ，设直线PB 与平面MCD 所成角为π[0]2,,θθ∈，则3sin cos ,5PB n PB n PB nθ⋅=〈〉==.17.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）求()f x 的极值；（2）证明：ln 1e x x x x ++≤．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；（2）根据要证明的不等式的结构特点，设()e ln 1,0x g x x x x x =--->，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论.【小问1详解】由题意得()ln 1f x x ax =-+的定义域为(0,)+∞，则()11axf x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0f x '<，则1x a >，令()0f x ¢>，则10x a<<，即()f x 在1(0,a上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减，故1x a =为函数的极大值点，函数极大值为1ln f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极小值；【小问2详解】证明：设()e ln 1,0x g x x x x x =--->，()()11e 1x g x x x '=+--，令()()11e 1x h x x x =+--，则()()()212e 0,0xh x x x x '=++>>，即()h x 在(0,)+∞上单调递增，()()1e 2131e 30,e e 1e 1022e h h ⎛⎫=-<=+--> ⎪⎝⎭，故01,e 2x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x =，即00e 1x x =，当()00,x x ∈时，()0h x <，()g x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()g x 在()0,x +∞上单调递增，故()()00000min 1e ln10e xx g x g x x x ==---=即()0g x ≥，即e ln 1x x x x ≥++，则ln 1e x x x x ++≤.18.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：2y ax c =+过点()0,1-，且与x 轴的两个交点为A ，B ，AB 4=．（1）求C 的方程；（2）已知直线l 与C 相切．（i ）若l 与直线1y =-的交点为M ，证明：l OM ⊥；（ii ）若l 与过原点O 的直线相交于点P ，且l 与直线OP 所成角的大小为45°，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）2114y x =-（2）证明详见解析；2x y -=或2x y +=-【解析】【分析】（1）根据题意直接求参数即可；（2）（i ）通过导数的几何意义求得直线l 的方程，进而找到交点M 的坐标，并求出OM 的斜率，通过斜率之积为-1证得垂直；（ii ）设P 的坐标为(),x y ，通过向量的夹角公式得到等量关系进行化简，进而用x ，y 表示m ，分类讨论代入2124m m y x =--，即可求得点P 的轨迹方程.【小问1详解】因为曲线C ：2y ax c =+过点()0,1-，所以1c =-，由210ax -=，可得x=，因为AB 4=4=，解得14a =，所以曲线C 的方程为2114y x =-.【小问2详解】（i ）设直线l 与C 相切的切点为2,14m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为12y x '=，所以2l m k =，则直线l 的方程为()2142m my x m -+=-，即2124m m y x =--，所以,12m M ⎛⎫-⎪⎝⎭，由题意可知0m ≠，所以2OM k m=-，可得1OM l k k ⋅=-，所以l OM ⊥；（ii ）设P 的坐标为(),x y ，则(),OP x y =uu u r，因为l 与直线OP 所成角的大小为45︒，且l 的一个方向向量为1,2m v ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以cos 452OP v OP v⋅︒===⋅，可得()()22224840mxmxy m y -++-=，即()()()()22220m x m y m x m y ⎡⎤⎡⎤-++++-=⎣⎦⎣⎦，所以()()220m x m y -++=或()()220m x m y ++-=，当()()220m x m y -++=时，22x ym x y+=-，因为2124m m y x =--，所以21x yx y y x x y x y ⎛⎫++=⨯-- ⎪--⎝⎭，可得()3232222x xy y x y x y +--=+，即()()()2222222x x yy xy x y +-+=+，因为220x y +≠，所以2x y -=，当()()220m x m y ++-=时，22y xm x y-=+，因为2124m m y x =--，同理2x y +=-，所以点P 的轨迹方程为2x y -=或2x y +=-.【点睛】关键点点睛：求动点的轨迹方程，关键在于设出动点坐标，通过题意中的夹角，用向量的夹角公式表示出动点横纵坐标之间的等量关系.19.设x ∈R ，y 是不超过x 的最大整数，且记[]y x =，当1x ≥时，[]x 的位数记为()f x 例如：()1.61f =，10023f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()996.23f =．（1）当()11010n n x n -+≤<∈N 时，记由函数()y f x =的图象，直线110n x -=，10n x =以及x 轴围成的平面图形的面积为n a ，求1a ，2a 及12n a a a +++ ；（2）是否存在正数M ，对[),x M ∞∀∈+，()()32xxf f >，若存在，请确定一个M 的值，若不存在，请说明理由；（3）当1x ≥，n +∈N 时，证明：()()121101010101n n n n n n f x f x f x f x f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）19a =，2180a =，()12981019n n n a a a +-+++=；（2）存在，可取32log 10M =，理由见详解；（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据定义可得当11010n n x -≤<时，()f x n =，然后可得；（2）令()3322x x x g x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解3102x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得32log 10x ≥，取32log 10M =即可；（3）取110,10,,1,2,3,,1n i n im m n nx m N i n -+-++⎡⎫∈∈=⋅⋅⋅-⎪⎢⎣⎭，可得12101010im m n x ++≤<，221101010mn n i n n mn n i x +-++-≤<，然后可证.【小问1详解】当011,1010n x =≤<时，()1f x =，由1y =，1x =，10x =以及x 轴围成的平面图形的面积为19a =；当122,1010n x =≤<时，()2f x =，由2y =，10x =，210x =以及x 轴围成的平面图形的面积为2180a =；当11010n n x -≤<时，()f x n =，n a 表示y n =，110n x -=，10n x =以及x 轴围成的平面图形的面积，所以()111010910n n n n a n n --=⨯-=⨯，记12n n S a a a =+++ ，则121918102710910n n S n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，所以()2310910181027109110nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯②，由①-②得()231999109109109109110n nn S n --=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⋅()()()9110911019810110n nn n n -=-+⋅=-+-，所以()981019n nn S +-=，即()12981019n nn a a a +-+++=.【小问2详解】存在.记()3322xx x g x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，易知()g x 在定义域上单调递增，令3102x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则32log 10x ≥，取32log 10M ≥，对[),x M ∞∀∈+都有3102xM ⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，即3102x x ≥⋅，所以()()32xx f f >.所以，存在32log 10M =，对[),x M ∞∀∈+，()()32x xf f >.【小问3详解】()()121101010101n n n n n n f x f x f x f x f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当110,10,,1,2,3,,1n i n im m n n x m i n -+-++⎡⎫∈∈=⋅⋅⋅-⎪⎢⎣⎭N 时，11101010i n m m nn x +++≤<，221101010mn n i n n mn n i x +-++-≤<，此时12111010101010i mm nnnx x x -+≤<<⋅⋅⋅<<，11121010101010i i n m m nnnx x x +-++≤<<⋅⋅⋅<<所以111010102i i n n n n f x f x f x m +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()1110101i n n f x f x f x m -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1021n n f x mn n i =++-，所以()121101010n n n nf x f x f x f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()122i m n i m mn n i =++-+=+-，所以()()121101010101n n n nn n f x f x f x f x f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于对x 的范围分段讨论，判断10inx 和10n nx 的范围，进而可得10in f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()10n nf x的值，然后可证.。

山东省泰安市2012届高三第二次模拟考试数学试题（理）2012．5一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于实数a 、b 、c ，“a ＞b ”是“2ac ＞2bc ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知复数z 满足()i i z -=+11（i 为虚数单位），则z 等于A.iB.i -C.i -2D.i +23.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A.35 B.25 C.15 D.74.下列命题中的真命题是 A.23cos sin ,=+∈∃x x R x B.()x x sin ,,0π∈∀＞x cos C.()x x 2,0,∞-∈∃＜x3D.()x e x ,,0+∞∈∀＞1+x5.对于平面α和直线m 、n ，下列命题是真命题的是 A.若n m ,与α所成的角相等，则m//n B.若,//,//ααn m 则m//n C.若n m m ⊥⊥,α，则α//nD. 若αα⊥⊥n m ,，则n m // 6. 如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A.2012≤iB.i ＞2012C.1006≤iD.i ＞10067.若点()n m ,在直线01034=-+y x 上，则22n m +的最小值是 A.2 B.22 C.4D. 328.如图曲线2x y =和直线41,1,0===y x x 所围成的图形（阴影部分）的面积为 A.32 B.31 C.21D.41 9.在ABC ∆中，60=∠BAC °，，E，F ，AC AB 12==为边BC 的三等分点，则⋅等于A.35B.45 C.910D.815 10.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 A.288个 B.240个 C.144个 D.126个 11.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数()ϕω+=x y sin (ω＞0，0＜ϕ＜⎪⎭⎫2π一个周期内的图像上的五个点，如图所示，⎪⎭⎫⎝⎛-0,6πA ，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在x 轴上的投影为12π，则ϕω,的值为 A.6,2πϕω== B.3,2πϕω==C.3,21πϕω==D.12,21πϕω==12.已知()x x f x3log 21-⎪⎭⎫⎝⎛=，实数a 、b 、c 满足()()()c f b f a f ＜0，且0＜a ＜b ＜c ，若实数0x 是函数()x f 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是 A.0x ＜aB.0x ＞bC.0x ＜cD.0x ＞c二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.设()x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()()x x x f -=12，则=⎪⎭⎫⎝⎛-25f ▲ . 14.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点A ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是 ▲ .15.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么目标函数y x z 3+=的最大值是 ▲ .16.给出下列四个命题：①若直线l 过抛物线22x y =的焦点，且与这条抛物线交于A 、B 两点，则AB 的最小值为2；②双曲线1916:22-=-y x C 的离心率为35；③若⊙,02:221=++x y x C ⊙012:222=-++y y x C ，则这两圆恰有2条公切线；④若直线06:21=+-y x a l 与直线()0934:2=+--y a x l 互相垂直，则.1-=a 其中正确命题的序号是 ▲ .（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，它的前n 项和为n S ，若,355=S 且2272,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为T n ，求T n .18.（本小题满分12分）已知函数().2sin 22cos 2sin 22x x x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（I ）若()332=x f ，求sin2x 的值； （II ）求函数()()()()x f x f x f x F 2+-⋅=的最大值与单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2===AD AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（I ）求证：平面ECD ⊥平面PAD ；（II ）求二面角A —EC —D 的平面角的余弦值.20.（本小题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次水平摇动三个游戏盘，当小球静止后，就完成了一局游戏。