一元二次方程根的判别式复习讲义
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一元二次方程根的判别式复习讲义
知识考点：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：
【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；
（2）有两个不相等的实根；
（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）4
3->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：
△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥2
5- ∴当m ≥2
5-
且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：
【问题一】已知关于x 的方程01)12(2
2=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k ∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围
栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
略解：设CF ＝DE ＝x ，则CD ＝EF ＝x
100 x
x 90025.6+条修建总费用为：x x x 10025.45.475.1⨯⨯++＝
件是：10＜x ≤25 （1）15090025.6=+
x
x ⇒x ＝12 ∴能完成 （2）12090025.6=+x x ⇒090012025.62=+-x x ∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
跟踪训练：
一、填空题：
1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是 。
4、在一元二次方程02=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。
二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（ ）
A 、011=-+-x x
B 、762=+y
y C 、021=++x D 、0232=+-x x
2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）
A 、43<m
B 、m ≤43
C 、43>m 且m ≠2
D 、m ≥4
3且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）
A 、有两个不等实根
B 、有两个相等实根
C 、没有实根
D 、无法确定
三、试证：关于x 的方程1)2(2
-=+-x m mx 必有实根。
问题二图 F E D C B A
四、已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。
五、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线x m y )32(-=7
4+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。
六、已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等
于56？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
七、已知n ＞0，关于x 的方程041)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正实根，求n
m 的值。
参考答案
一、填空题：
1、①；
2、22±；
3、k ≤
32；4、10 二、选择题：CCAA
三、分两种情况讨论：（1）当0=m 时，21=
x ；（2）当0≠m 时，042>+=∆m 所以方程必有实根。
四、m ＝2，n ＝3
五、不能。
由0)2(4)12(22>+-+=∆m m ⇒⎩⎨
⎧<+->-074032m m ⇒直线不通过第二象限 六、存在。
2-=m 七、
4=n
m。
