计数原理单元测试 Word版 含答案
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计数原理
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( )
A ．48个
B ．36个
C ．24个
D ．18个 【答案】B
2．在()
10
3x -的展开式中，6
x 的系数为( )
A ．610
C 27- B ．410
C 27 C ．6
10C 9-
D ．4
10C 9
【答案】D
3．若直角坐标平面内A 、B 两点满足条件：①点A 、B 都在f(x)的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则对称点对(A ，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A ，B)与（B ，A ）可看作一个
“姊妹点对”). 已知函数 f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<+0
2
022x e x x
x x
，则f(x)的“姊妹点对”有( )个
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4
【答案】C
4．10
1x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为( )
A ．第5项
B ．第6项
C ．第5项或第6项
D ．不存在
【答案】B
5．已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A.33
B.34
C.35
D.36 【答案】A 6
．若n
展开式中存在常数项，则n 的最小值为( ) A ．５ B ．６ C ．７ D ．８ 【答案】A
7．某飞机显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有8个指示灯．若每次显示其中的4个，并且恰有3个相邻，则可显示的不同信号共有 ( ） A ．80种 B ．160种 C ．320种 D ．640种 【答案】C
8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( ) A ．48 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】D
9．我们把可表示为两个连续正奇数的平方差的正整数称为“和谐数”，则在集合{}2013,,3,2,1 中，共有“和谐数”的个数是( ) A ．502 B ．503 C ．251 D ．252 【答案】C
10．某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A ．120种 B ．48种 C ．36种 D ．18种 【答案】C
11．已知点),(y x P ，其中{
}2,1∈x ，{}4,3,1∈y ，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是( )
A ．6
B ．12
C ．8
D ．5 【答案】A
12．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有( ) A ．120种 B ．96种 C ．60种 D ．48种 【答案】C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若()
44104
x a x a a 3
x 2+⋅⋅⋅++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为 ．
【答案】1
14．6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣情况个数为 . 【答案】135
15．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为 ． 【答案】576种
16．2012年3月10日是第七届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有 种．(用数字作答) 【答案】90
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知n n x x f )1()(+=，n ∈N *.
(1) 若)(3)(2)()(654x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含2x 项的系数；
(2) 若n p 是)(x f n 展开式中所有无理项的系数和，数列}{n a 是各项都大于1的数组成的
数列，试用数学归纳法证明：n p )1(21+n a a a ≥(1＋1a )(1＋2a )…(1＋n a )． 【答案】(1) g(x)中含x 2
项的系数为C 4
4＋2C 4
5＋3C 4
6＝1＋10＋45＝56.
(2) 证明：由题意，p n ＝2n －1
.
① 当n ＝1时，p 1(a 1＋1)＝a 1＋1，成立；
② 假设当n ＝k 时，p k (a 1a 2…a k ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )成立， 当n ＝k ＋1时，
(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k －1
(a 1a 2…a k ＋1)(1＋a k ＋1) ＝2k －1
(a 1a 2…a k a k ＋1＋a 1a 2…a k ＋a k ＋1＋1)．(*)
∵ a k ＞1，a 1a 2…a k (a k ＋1－1)≥a k ＋1－1，即a 1a 2…a k a k ＋1＋1≥a 1a 2…a k ＋a k ＋1，
代入(*)式得(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k
(a 1a 2…a k a k ＋1＋1)成立．
综合①②可知，p n （a 1a 2…a n ＋1）≥（1＋a 1）（1＋a 2）…（1＋a n ）对任意n ∈N *
成立．
18．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A ，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B ，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类： 第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为61
312=⋅C C 种；
第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为121
314=⋅C C 种；
第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为81
214=⋅C C 种； 第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为122
4=A 种；
由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。
19．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐法有多少种？
(2）此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？
(3）所有空位不相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）
【答案】 (1)46360A = (2)2325120A A = (3)4245240A C = 20．求二项式(3x －
x
2)15
的展开式中：
(1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项．
【答案】展开式的通项为：T r+1=r r r r x
x C )2
()()1(15315-- =6
530152)1(r
r
r r x C --
(1)设T r+1项为常数项，则6530r -=0，得r=6，即常数项为T 7=266
15
C ；
(2)设T r+1项为有理项，则6
530r -=5-65
r 为整数，∴r 为6的倍数，
又∵0≤r ≤15，∴r 可取0，6，12三个数，故共有3个有理项． (3) 5-
6
5
r 为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项． 21．（1）已知(x+1)6
(ax-1)2
的展开式中含x 3
的项的系数是20,求a 的值。
(2）设(5x －x)n
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，求展开式中二项式系数最大的项。
【答案】（1）0或5（2）依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n －16)＝0,2n＝16＝24，n＝4，得6
22．各有多少种选派方法(结果用数字作答).
⑴男3名,女2名⑵队长至少有1人参加
⑶至少1名女运动员⑷既要有队长,又要有女运动员
【答案】⑴从10名运动员中选5人参加比赛，其中男3人，女2人的选法有C3
6C2
4
＝120 (种）
⑵从10名运动员中选5人参加比赛，其中队长至少有1人参加的选法有
C1 2C4
8
＋C2
2
C3
8
＝140＋56＝196 (种）
⑶从10名运动员中选5人参加比赛，其中至少有1名女运动员参加的选法有
C5 10－C5
6
＝2461 (种）
⑷从10名运动员中选5人参加比赛，既要有队长又要有女运动员的选法有
C5 10－C5
8
－C4
5
＝191 (种）。
