2016历年难题分析
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2016历年难题分析
9.如果函数21281002fxmxnxmn，在区间122，单调递减，则mn的最大值为
（A）16 （B）18 （C）25 （D）812
10.设直线l与抛物线24yx相交于,AB两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的
中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
（A）13， （B）14， （C）23， （D）24，
15.已知函数)()(,2)(f2Raaxxxgxx其中。对于不相等的实数1x，2x，设2121)()(xxxfxfm，
21
21
)()(nxxxgxg
。现有如下命题：
(1) 对于任意不相等的实数1x，2x，都有0m；
(2) 对于任意a的及任意不相等的实数1x，2x，都有0n；
(3) 对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得nm;
(4) 对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得nm.
其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。
20.（本小题13分）如图，椭圆2222:1xyEab的离心率是22，过点(0,1)P的动直线l与椭圆相交于,AB两点。
当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22。
（1） 球椭圆E的方程；
（2） 在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由。
21.（本小题14分）已知函数222ln22fxxaxxaxaa，其中0a。
（1）设gx是fx的导函数，讨论gx的单调性；
（2）证明：存在0,1a，使得0fx在区间1,内恒成立，且0fx在区间1,内有唯一解。
9．已知()ln(1)ln(1)fxxx，(1,1)x。现有下列命题：
①()()fxfx；②22()2()1xffxx；③|()|2||fxx。其中的所有正确命题的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
10．已知F是抛物线2yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OAOB（其中O为坐标原
点），则ABO与AFO面积之和的最小值是
A．2 B．3 C．1728 D．10
14．设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)Pxy，则
||||PAPB
的最大值是。
15．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()x组成的集合：对于函数()x，存在一
个正数M，使得函数()x的值域包含于区间[,]MM。例如，当31()xx，2()sinxx时，1()xA，
2
()xB
。现有如下命题：
①设函数()fx的定义域为D，则“()fxA”的充要条件是“bR，aD，()fab”；
②函数()fxB的充要条件是()fx有最大值和最小值；
③若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fxA，()gxB，则()()fxgxB；
④若函数2()ln(2)1xfxaxx（2x，aR）有最大值，则()fxB。
其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）
20．已知椭圆C：22221xyab（0ab）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3x上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当||||TFPQ最小时，求点T的坐标。
21．已知函数2()1xfxeaxbx，其中,abR，2.71828e为自然对数的底数。
（1）设()gx是函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值；
（2）若(1)0f，函数()fx在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围
9．节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，
然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是
（ ）
（A）14 （B）12 （C）34 （D）78
10．设函数()xfxexa（aR，e为自然对数的底数）．若曲线sinyx上存在00(,)xy使得00(())ffyy，
则a的取值范围是（ ）
（A）[1,]e （B）1[,1]e （C）[1,1]e （D）1[,1]ee
14．已知()fx是定义域为R的偶函数，当x≥0时，2()4fxxx，那么，不等式(2)5fx的解集是
____________．
15．设12,,,nPPP为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到12,,,nPPP点的距离之和最小，则
称点P为12,,,nPPP点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点,AB的中位点．则有下列命题：
①若,,ABC三个点共线，C在线段上，则C是,,ABC的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点,,,ABCD共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）
20．(本小题满分13分) 已知椭圆C：22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，且椭圆C经
过点41(,)33P．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设过点(0,2)A的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且222211||||||AQAMAN，
求点Q的轨迹方程．
21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln,0xxaxfxxx，其中a是实数．设11(,())Axfx，22(,())Bxfx为该
函数图象上的两点，且12xx．
（Ⅰ）指出函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直，且20x，求21xx的最小值；
（Ⅲ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合，求a的取值范围．
