2018年九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理练习课件新版北师大版

C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直弦的直径平分弦所对的弧） A⌒M－C⌒M＝B⌒M－DM⌒ ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD， 交AB于点M.
A
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
第三章 圆
3.3 垂径定理*
情景导入 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂足为M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 A 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你 的理由.
例4 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C MB
O
D
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD
所在的直线
A
（2）AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C MB
O
D
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.
求证：AM=BM，A⌒C

C
O
D
B N
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC = BC,
C
A B
⑤
⌒
AD = BD.
⌒
M└
●
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.

O
你可以写出相应的命题吗?
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径, ④AC=BC, ② CD⊥AB, ⑤AD=BD. ③ AM=BM,
义务教育教科书（北师）九年级数学下册
第三章 圆
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁 的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形 。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯 形、正方形
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
A
C
B
M└
●
O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒ ⌒⌒ ∴AC =BC,
AC和BC重合,
⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ AD =BD.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
①⑤
②③ ②④
②⑤
③④ ③⑤
④⑤
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
画一画
例：平分已知弧
已知：弧AB 求作：弧AB的中点 A

预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究

B. 4 cm D. 6 cm
5. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1 m，
其中水面的宽 AB 为 0.8 m，则排水管道内水的最大
深度为 0.2
m.
重难易错
6. 如图，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交AB于 点 C，交弦 AB 于点 D. 已知 AB = 12 cm，CD = 4 cm.
2
2
2
在 Rt△EOC 中，OC2 = CE2 + OE2，
∴OC2 = 122 +
1 OC
2
.
2
∴OC = 8 3. ∴☉O 的周长 = 2π·OC = 16 3π.
3. 如图，C 为☉O 的弦 AB 的中点，AB = 2，求☉O 的 面积.
解：∵C 为 AB 的中点， ∴AC = 1AB = 1，OC ⊥ AB.
2
∴OA2 = （OA - 1）2 + 52. 解得 OA = 13.
12. 如图，排水管截面的半径为 5 分米，水面宽 AB = 6 分米，OC ⊥ AB，求水的最大深度 CD.
解：如图，连接 OA. 则 OA = OC = 5 分米.
∵AB = 6 分米，∴AD = BD = AB = 3（分米）.
2
在 Rt△OAD 中， OD = OA2 − AD2= 4（分米）， ∴CD = OC - OD = 1（分米）. 答：水的最形状的拱桥，桥下水面宽度 AB 为 7.2 m，拱顶 C 高出水平面 2.4 m，现有一艘宽 3 m，顶部为长方 形并高出水面 2 m 的货船要经过这里. 此货船能顺利通过拱 桥吗？为什么？
（1）求作此残片所在的圆心 O；（不写作法，保留作 图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径.