(统编版)2020学年高中物理第六章相对论第4节相对论的速度变换公式质能关系教学案教科版选修3

学案2 相对论的速度变换公式 质能关系 广义相对论点滴(选学)[学习目标定位] 1.知道相对论速度变换公式、相对论质量和质能方程.2.了解广义相对论的基本原理.3.初步了解广义相对论的几个主要观点以及主要观测证据．回旋加速器的工作原理：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，周期T ＝2πm qB ，因粒子的q不变、质量不变，所以周期T 不变，与轨道半径和速度无关；使高频交变电场的周期和粒子运动周期相同，就会使粒子每次经过电场时都会被加速，动能一次次增大，获得的最大速度v max ＝RBq m.1．相对论的速度变换公式设高速行驶的火车相对地面的速度为u ，车上的人以速度v ′沿火车运动的方向相对火车运动，那么人相对地面的速度为v ＝u ＋v ′1＋u v ′c 2，若车上人的运动方向与火车的运动方向相反，则v ′取负值；若v ′＝c ，则代入上式得出v ＝c ，即光速是宇宙速度的极限，且相对任何参考系，光速都是不变的．2．相对论的质量：物体的质量随物体速度的增加而增大． 物体以速度v 运动时的质量m 与静止时的质量m 0之间的关系是：m ＝m 01－v 2c2.因为总有v <c ，所以运动物体的质量m 总要大于它静止时的质量m 0.3．物体的质量m 与其蕴含的能量E 之间的关系是：E ＝mc 2.由此可见，物体质量越大，其蕴含的能量越多．能量与质量成正比，所以质能方程又可写成ΔE ＝Δmc 2. 4．广义相对论的两个基本原理 (1)广义相对性原理在任何参考系中物理规律都是一样的． (2)等效原理一个不受引力作用的加速度系统跟一个受引力作用的惯性系统是等效的．一、相对论的速度变换[问题设计]一列火车正以v ＝50m /s 的速度高速行驶，列车内一乘客以相对列车u ′＝5 m/s 的速度向前跑，站台上的观察者测得该乘客的速度是u ＝v ＋u ′＝55m/s.若列车的速度是0.9c ，乘客的速度是0.5c ，那么站台上的观察者测得该乘客的速度是0.9c ＋0.5c ＝1.4c 吗？ 答案 不是． [要点提炼]1．公式：设高速行驶的火车对地面的速度为v ，车上的人相对火车以速度u ′运动，那么人相对地面的速度为u .⎩⎪⎨⎪⎧u ＝u ′＋v1＋u ′v c2(人相对于车的运动方向与车同向).u ＝－u ′＋v 1－u ′v c2(人相对于车的运动方向与车反向).2．对公式的理解假设高速火车对地面的速度为v ，车上的一高速粒子以速度u ′沿火车前进的方向相对火车运动，那么此粒子相对于地面的速度u 为u ＝u ′＋v1＋u ′v c 2.(1)若粒子运动方向与火车运动方向相反，则u ′取负值．(2)如果v ≪c ，u ′≪c 时，u ′vc 2可忽略不计，这时相对论的速度变换公式可近似为u ＝u ′＋v .(3)若u ′＝c ，v ＝c ，则u ＝c ，表明一切物体的速度都不能超过光速．(4)该变换公式只适用于同一直线上匀速运动速度的变换，对于更复杂的情况不适用． (5)光速c 是宇宙速度的极限，且相对任何参考系，光速都是不变的． 二、相对论质量和能量 [问题设计]回旋加速器中磁场一次次把粒子拉到狭缝处，狭缝处的电场一次次加速带电粒子．假如回旋加速器的半径可以增大到很大，磁感应强度足够大，经回旋加速器加速的粒子的速度可以达到任意速度甚至超过光速吗？ 答案 不可以超过光速．因为回旋加速器的理论基础是粒子在磁场中做圆周运动的周期(T ＝2πmqB )等于交变电场的周期；速度较小时粒子的质量m 可以认为不变，周期T 不变，电场变化与粒子圆周运动同步，但速度较大时，质量增大明显，粒子做圆周运动的周期T 变大，无法做到圆周运动的周期与高频电压的周期同步． [要点提炼]1．相对论质量(1)经典力学：物体的质量是不变的，一定的力作用在物体上产生一定的加速度，经过足够长时间后物体可以达到任意的速度．(2)相对论：物体的质量随物体速度的增加而增大．①物体以速度v 运动时的质量m 与静止时的质量m 0之间的关系是：m ＝m 01－(v c )2. ②因为总有v <c ，所以运动物体的质量m 总要大于它静止时的质量m 0，但当v ≪c 时，m ≈m 0，所以低速运动的物体，可认为其质量与运动速度无关． ③微观粒子的速度很大，因此粒子质量明显大于静质量． 2．质能方程关系式：E ＝mc 2，式中m 是物体的质量，E 是它具有的能量． [延伸思考]有人根据E ＝mc 2得出结论：质量可以转化为能量，能量可以转化为质量，这种说法对吗？ 答案 不对．E ＝mc 2表明质量与能量之间存在一一对应的关系，物体吸收或放出能量，则对应的质量会增加或减少，质量与能量并没有相互转化．对于一个封闭的系统，质量是守恒的，能量也是守恒的． 三、广义相对论点滴 [问题设计]1．在一个全封闭的宇宙飞船中，若飞船静止，宇航员将一小球自由释放，小球将怎样运动？假如没有引力场，飞船加速上升，宇航员将小球自由释放，小球相对飞船会怎样运动？ 答案 小球都是以某一加速度落向舱底．2．宇航员能否根据“小球的加速下落”判断飞船是静止在一个引力场中，还是正处在一个没有引力场而正加速上升的过程中？ 答案 不能． [要点提炼]1．广义相对论的基本原理(1)广义相对性原理：在任何参考系中物理规律都是一样的．(2)等效原理：一个不受引力作用的加速度系统跟一个受引力作用的惯性系统是等效的． 2．广义相对论的几个结论 (1)光线在引力场中弯曲．(2)引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别(引力红移)．一、相对论速度变换公式例1 一粒子以0.05c 的速率相对实验室参考系运动．此粒子衰变时发射一个电子，电子相对于粒子的速度为0.8c ，电子的衰变方向与粒子运动方向相同．求电子相对于实验室参考系的速度．解析 已知u ＝0.05c ，v x ′＝0.8c . 由相对论速度变换公式得v x ＝v x ′＋u 1＋v x ′u c2＝(v x ′＋u )c 2c 2＋v x ′u ，v x ＝(0.8c ＋0.05c )c 2c 2＋0.8c ×0.05c ≈0.817c .答案 0.817c二、对质能方程的理解例2 下列关于爱因斯坦质能方程的说法中，正确的是( ) A ．只有运动的物体才具有质能，静止的物体没有质能 B ．一定的质量总是和一定的能量相对应 C ．E ＝mc 2中能量E 其实就是物体的内能 D ．由ΔE ＝Δmc 2知质量与能量可以相互转化解析 E ＝mc 2表明质量与能量之间存在一一对应的关系，物体吸收或放出能量，则对应的质量会增加或减少，质量与能量并没有相互转化．故选项B 正确，D 错误；静止的物体也具有能量，称为静质能E 0，E 0＝m 0c 2，m 0叫做静质量；E ＝mc 2中的能量E 包括静质能E 0和动能E k ，而非物体的内能，故选项A 、C 错误． 答案 B三、广义相对论的几个结论例3 在日全食的时候，通过仪器可以观察到太阳后面的恒星，这说明星体发出的光( ) A ．经太阳时发生了衍射 B ．可以穿透太阳及其他障碍物 C ．在太阳引力场作用下发生了弯曲 D ．经过太阳外的大气层时发生了折射解析 根据爱因斯坦的广义相对论可知，光线在太阳引力场作用下发生了弯曲，所以可以在适当的时候(如日全食时)通过仪器观察到太阳后面的恒星，故C 正确，A 、B 、D 均错． 答案 C1.(相对论速度变换公式)在高速运动的火车上，设车对地面的速度为v ，车上的人以速度u ′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u 与u ′＋v 的关系是( ) A ．u ＝u ′＋v B ．u <u ′＋v C ．u >u ′＋v D ．以上均不正确 答案 B解析 由相对论速度变换公式可知B 正确．2．(对质能方程的理解)关于物体的质量，下列说法正确的是( ) A ．在牛顿力学中，物体的质量是保持不变的B ．在牛顿力学中，物体的质量随物体的速度变化而变化C ．在相对论力学中，物体静止时的质量最小D ．在相对论力学中，物体的质量随物体速度的增大而增大 答案 ACD解析 在牛顿力学中，物体的质量是保持不变的，故选项A 正确，B 错误；在相对论力学中，由于物体的速度v 不可能达到光速c ，所以v <c,1－(v c )2<1，根据m ＝m 01－(v c )2，可知选项C 、D 均正确．3．(广义相对论的几个结论)在引力可以忽略的空间有一艘宇宙飞船在做匀加速直线运动，一束光垂直于飞船的运动方向在飞船内传播，下列说法中正确的是( ) A ．船外静止的观察者看到这束光是沿直线传播的 B ．船外静止的观察者看到这束光是沿曲线传播的 C ．航天员以飞船为参考系看到这束光是沿直线传播的 D ．航天员以飞船为参考系看到这束光是沿曲线传播的答案 AD题组一 相对论速度变换公式1．设想有一艘飞船以v ＝0.8c 的速度在地球上空飞行，如果这时从飞船上沿其运动方向抛出一物体，该物体相对于飞船的速度为0.9c ，从地面上的人看来，物体的速度为( ) A ．1.7c B ．0.1c C ．0.99c D ．无法确定 答案 C解析 根据相对论速度变换公式得u ＝0.8c ＋0.9c1＋0.8c ×0.9c c 2≈0.99c .2．火箭以35c 的速度飞离地球，在火箭上向地球发射一束高能粒子，粒子相对地球的速度为45c ，其运动方向与火箭的运动方向相反．则粒子相对火箭的速度大小为( )A.75cB.c 5C.3537cD.5c 13 答案 C解析 由相对论的速度变换公式得－45c ＝35c ＋u ′1＋35cu ′c 2解得u ′＝－3537c ，负号说明与v 方向相反．3．地球上一观察者，看见一飞船A 以速度2.5×108m /s 从他身边飞过，另一飞船B 以速度2.0×108 m/s 跟随A 飞行．求：(1)A 上的乘客看到B 的相对速度； (2)B 上的乘客看到A 的相对速度． 答案 (1)－1.125×108m /s (2)1.125×108 m/s解析 (1)A 上的乘客看地面上的人以－2.5×108m/s 向后运动．地面上的人看B 以2.0×108m/s 向前运动，则A 上的乘客看到B 的相对速度为u ＝－2.5＋2.01＋－2.5×2.032×108m /s ＝－1.125×108 m/s.(2)B 上的乘客看到A 的相对速度为1.125×108m/s. 题组二 相对论质量和质能方程4．一个物体静止时质量为m 0、能量为E 0.速度为v 时，质量为m 、能量为E 、动能为E k .下列说法正确的是( )A ．物体速度为v 时的能量E ＝mc 2B ．物体速度为v 时的动能E k ＝12mc 2C ．物体速度为v 时的动能E k ＝12m v 2D ．物体速度为v 时的动能E k ＝(m －m 0)c 2 答案 AD5．已知电子的静止能量为0.511MeV ，若电子的动能为0.25MeV ，则它所增加的质量Δm 与静止质量m 0的比值近似为( ) A ．0.1B ．0.2C ．0.5D ．0.9 答案 C解析 设电子运动时的速度为v 由题意知E 0＝m 0c 2＝0.511MeV ①电子运动时的能量E ＝E 0＋E k ＝0.761MeV ② 又因为E ＝mc 2③m ＝m 01－v 2c 2④将④代入③得E ＝m 0c 21－v 2c2＝E 01－v 2c2⑤由④⑤可知m m 0＝EE 0所以Δm m 0＝m －m 0m 0＝E －E 0E 0＝0.761MeV －0.511MeV 0.511MeV≈0.5，故选项C 正确．6．一核弹含20kg 的钚，爆炸后生成的核静止质量比原来小110000.求爆炸中释放的能量．答案 1.8×1014J解析 爆炸前后质量变化为：Δm ＝110000×20kg ＝0.002kg ，释放的能量为ΔE ＝Δmc 2＝0.002×(3×108)2J ＝1.8×1014J.7．太阳在不断地向外辐射能量，因而其质量也在不断地减小．若太阳每秒钟辐射的总能量为4×1026J ，试计算太阳在1s 内失去的质量．估算太阳在5000年内总共减少了多少质量，并与太阳的总质量2×1027t 相比较． 答案 见解析解析 由太阳每秒钟辐射的能量ΔE 可得其在1s 内失去的质量为Δm ＝ΔE c 2＝4×1026(3×108)2kg ≈4.44×109kg5000年内太阳总共减少的质量为Δm ＝5000×365×24×3600×4.44×109kg ≈7×1020kg ，与总质量相比ΔM M ＝7×10202×1027×103＝3.5×10－10，比值较小． 题组三 广义相对论的几个结论8．关于狭义相对论、广义相对论的认识，下列说法正确的是( ) A ．万有引力可以用狭义相对论做出正确的解释B．电磁力可以用狭义相对论做出正确的解释C．狭义相对论是惯性参考系之间的理论D．万有引力理论无法纳入狭义相对论的框架E．由ΔE＝Δmc2知质量和能量可以相互转化答案BCD9．下列说法中正确的是()A．物质的引力使光线弯曲B．光线弯曲的原因是介质不均匀而非引力作用C．在强引力的星球附近，时间进程会变慢D．广义相对论可以解释引力红移现象答案ACD解析根据广义相对论的结论可知，选项A、C、D正确，B错误．10．下列说法中，正确的是()A．由于太阳引力场的影响，我们有可能看到太阳后面的恒星B．强引力作用可使光谱线向红端偏移C．引力场越强的位置，时间进程越快D．由于物质的存在，实际的空间是弯曲的答案ABD解析由广义相对论我们可知：物质的引力使光线弯曲，因此选项A、D是正确的．在引力场中时间进程变慢，而且引力越强，时间进程越慢，因此我们能观察到引力红移现象，所以选项B正确，C错误．11．以下说法中正确的是()A．白矮星表面的引力很强B．在引力场弱的地方时钟走得比引力场强的地方快些C．引力场越弱的地方，物体的长度越短D．在引力场强的地方，光谱线向绿端偏移答案AB。

乘积
相对论能量：物体在相对论中 的能量，包括静止能量和动能
相对论动量：物体在相对论中 的动量，等于其能量与速度的来自比值能量和动量的关系式
E^2
=
m^2c^4 +
p^2c^2
E^2
=
m^2c^4 +
(pc)^2
E^2
=
m^2c^4 +
(γm^2 -
m^2)c^2
E^2
=
m^2c^4 +
(γm^2 -
m^2)c^2 +
领域
引力波探测：利用相对论原理 探测引力波，研究宇宙起源和
演化
相对论中能量和 动量的实验验证
原子能与核能的实验验证
原子能实验：通过核裂变和核聚变 实验，验证了相对论中能量和动量 的关系
粒子加速器实验：通过粒子加速器 实验，验证了相对论中能量和动量 的关系
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核能实验：通过核反应堆实验，验 证了相对论中能量和动量的关系
相对论中的能量和动量的物理意义
相对论的基本原理：光速不变原理 和相对性原理
相对论中的能量和动量的变换：在 相对论中，能量和动量不再是独立 的物理量，而是相互关联的
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能量与动量的关系：能量是动量的 函数，动量是能量的时间导数
能量守恒定律：在相对论中，能量 守恒定律仍然成立，但需要修改为 能量-动量守恒定律
能量和动量变换 的应用
核能与核反应
核反应的类型和过程
核能的定义和特点
核能与核反应在能量和动量 变换中的应用
核能与核反应的安全性和环 保性考虑
粒子加速器

黑洞与相对论
黑洞是相对论重要的应用领 域，探索着物理学的极限与 哲学上的深层思考。
相对论对现代科学的影响
自相对论发表以来，它对物理学、天文学、化学、生物学、地质学、哲学等 众多领域都产生了深远的影响和启示，是几乎所有现代科学的基石之一。
光速不变原理的实验验证
光速不变是狭义相对论的核心假设。迈克尔逊-莫雷干涉实验被誉为物理史上 最美妙的实验之一，成功地验证了光速不变原理。
黑洞及其相关相对论理论
什么是黑洞
是一种物质密度极大、引力 强大、不可逆。一旦物体掉 入黑洞即可望梦为夜，信息 将永远消失于真空之中。
黑洞理论
通过狭义和广义相对论，建 立起了黑洞的相关规律和特 征，这种理论使我们对于黑 洞的了解更加深入。
加速器
在高速撞击实验中，质量的转 化可以观察到。
质能关系及其应用
质能关系的核心公式E=mc^2简明扼要地阐述了质量与能量之间的变换关系。 这一公式的应用涵盖了众多领域。
1 原子核反应
核能与质量的相互转换是核 能利用的基础。
2 宇宙物理
宇宙物质的起源、演化的研 究与质能关系密不可分。
3 健康医疗
利用放射性元素对人体的疾病进行治疗。
相对论中的洛伦兹变换
洛伦兹变换是指描述时空坐标系之间的变换，它涉及到物体在不同坐标系下 的运动情况。洛伦兹变换通过对高速运动时的长度、时间、质量等进行校正， 保证了相对论的适用性。
等效原理及其应用
等效原理
弱等效原理：在自由下落 的参考系内，物理定律与 匀速直线运动的惯性系完 全相同。
测量加速度
外推加速度，将单次实验 的静态环境转变为在匀加 速度的惯性系中匀速直线 前进的状态进行实验。
重力红移现象

推导相对论质能方程相对论质能方程是爱因斯坦相对论的核心之一，它揭示了质量和能量之间的等价关系。

在本文中，我们将推导相对论质能方程，并探讨其深层含义。

首先，我们回顾一下牛顿力学中的动能公式：动能等于质量乘以速度的平方的一半。

然而，当物体的速度接近光速时，牛顿力学的动能公式不再适用。

这时，我们需要引入相对论的观点。

根据狭义相对论，质量随着速度的增加而增加。

这意味着，当物体的速度接近光速时，其质量也会变得非常大。

为了描述这种情况，我们引入了相对论质能方程。

假设一个物体的质量为m，速度为v。

根据相对论的观点，物体的质能可以表示为E = mc²，其中c是光速。

这个方程表明，物体的质量和能量之间存在着等价关系。

为了推导这个方程，我们可以从牛顿力学的动能公式出发。

根据牛顿力学，物体的动能可以表示为K = 1/2mv²。

然而，当速度接近光速时，我们需要对动能公式进行修正。

根据相对论的观点，物体的动能应该是质能和动能之和。

因此，我们可以将动能公式写为K = mc² + T，其中T是相对论修正项。

为了计算这个修正项，我们可以利用洛伦兹变换的概念。

洛伦兹变换是描述物体在不同参考系中的运动的数学工具。

通过洛伦兹变换，我们可以将一个物体在一个参考系中的速度转换为另一个参考系中的速度。

根据洛伦兹变换的公式，我们可以得到速度v'相对于速度v的关系：v' = (v -u)/(1 - vu/c²)，其中u是两个参考系之间的相对速度。

根据这个公式，我们可以计算出修正项T。

当速度v接近光速时，即v ≈ c，我们可以将公式简化为v' = (c - u)/(1 - cu/c²) ≈ (c - u)/(1 - u/c)。

将修正项T表示为T = K - mc²，我们可以得到T = mc²[(1 - u/c)/(1 - u/c)] = mc²/γ，其中γ是洛伦兹因子，定义为1/√(1 - u²/c²)。