4 相对论的速度变换公式 质能关系5 广义相对论点滴(选学)[学习目标] 1.知道相对论速度变换公式、相对论质量和质能方程.2.了解广义相对论的根本原理.3.初步了解广义相对论的几个主要观点以及主要观测证据.一、相对论的速度变换设高速行驶的火车对地面的速度为u ，车上的人相对火车以速度v ′运动，那么人相对地面的速度v 为：v ＝v ′＋u1＋uv ′c2.二、相对论质量和能量1.物体以速度v 运动时的质量m 与静止时的质量m 0之间的关系是：m ＝m 01－v 2c2.2.爱因斯坦质能关系式：E ＝mc 2，m 是物体的质量，E 是它具有的能量. 三、广义相对论点滴 1.广义相对论的根本原理(1)广义相对性原理：在任何参考系中物理规律都是一样的.(2)等效原理：一个不受引力作用的加速系统跟一个受引力作用的惯性系统是等效的. 2.广义相对论的几个结论(1)光在引力场中传播时，将会发生偏折. (2)引力作用使光波发生频移. (3)在引力场中时间会延缓.(4)当两个天体相互绕转时，会向外界辐射引力波. [即学即用] 判断以下说法的正误.(1)根据相对论速度变换公式，两个物体的速度无论多大，它们的相对速度也不会大于光速c .( √ )(2)在相对论力学中，物体静止时的质量最小.( √ )(3)根据质能方程，质量可以转化为能量，能量可以转化为质量.( × )(4)一个均匀的引力场与一个做匀速运动的参考系等价，这就是著名的等效原理.( × )一、相对论速度变换公式[导学探究] 一列车正以u ＝50m/s 的速度高速行驶，列车内一乘客以相对列车v ＝5 m/s 的速度向前跑，站台上的观察者测得该乘客的速度是多大？假设列车的速度是c ，乘客的速度是c ，那么站台上的观察者测得该乘客的速度是c ＋c ＝c 吗？为什么？答案 站台上的观察者测得该乘客的速度是55m/s.不是.因为根据狭义相对论原理，光速c 是极限速度，任何物体的速度不可能超过光速. [知识深化] 对相对论速度变换公式的理解(1)公式v ＝v ′＋u1＋v ′u c2是矢量式.假设人运动方向与火车运动方向一样，那么v ′取正值.假设人运动方向与火车运动方向相反，那么v ′取负值. (2)如果u ≪c ，v ′≪c 时，uv ′c 2可忽略不计，这时相对论的速度变换公式可近似为v ＝v ′＋u .(3)假设v ′＝c ，u ＝c ，那么v ＝c ，说明一切物体的速度都不能超过光速.(4)该变换公式只适用于同一直线上匀速运动速度的变换，对于更复杂的情况不适用. 例1 一粒子以c 的速率相对实验室参考系运动.此粒子衰变时发射出一个电子，电子相对于粒子的速度为c ，电子的衰变方向与粒子运动方向一样，求电子相对于实验室参考系的速度. 答案 c解析 v ′＝c ，u ＝c . 由相对论速度变换公式得v ＝u ＋v ′1＋uv ′c2＝(u ＋v ′)c 2c 2＋uv ′＝(c ＋c )c 2c 2＋c ×c ≈c .二、相对论质量和质能方程[导学探究] 盘旋加速器中磁场一次次把粒子拉到狭缝处，狭缝处的电场一次次加速带电粒子.假设盘旋加速器的半径可以增大到很大，磁感应强度足够大，经盘旋加速器加速的粒子的速度可以到达任意速度甚至超过光速吗？为什么？ 答案 速度不可以超过光速.因为盘旋加速器的理论根底是粒子在磁场中做圆周运动的周期(T ＝2πm qB)等于交变电场的周期；速度较小时粒子的质量m 可以认为不变，周期T 不变，电场变化与粒子圆周运动同步，但速度较大时，粒子质量增大明显，粒子做圆周运动的周期T 变大，无法做到圆周运动的周期与交变电场的周期同步. [知识深化] 对相对论质量的理解 (1)相对论质量m ＝m 01－(v c)2.(2)因为总有v <c ，所以运动物体的质量m 总要大于它静止时的质量m 0，但当v ≪c 时，m ≈m 0，所以低速运动的物体，可认为其质量与运动速度无关.(3)微观粒子的速度很大，因此粒子质量明显大于静止质量.例2 为使电子的质量增加到静止质量的两倍，需有多大的速度( ) ×108m/s B.3.0×108m/s ×108m/s D.1.5×108m/s答案 C解析 由相对论质速关系式m ＝m 01－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c2可得到v ＝c1－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 0m 2＝c1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32c ≈×108m/s ，应选C.例3 1905年，爱因斯坦创立了“相对论〞，提出了著名的质能方程，下面涉及对质能方程理解的几种说法中正确的选项是( ) A.假设物体能量增大，那么它的质量增大 B.假设物体能量增大，那么它的质量减小 C.E ＝mc 2中能量E 其实就是物体的内能 D.由ΔE ＝Δmc 2知质量和能量可以互相转化 答案 A解析 由爱因斯坦质能方程可知，物体具有的与质量相对应的能量称为质能.E ＝mc 2说明质量与能量之间存在一一对应的关系，物体吸收或放出能量，那么对应其质量会增加或减少，质量与能量并没有相互转化，B 、D 项错误，A 项正确；E ＝mc 2中能量E 包括静止能量E 0和动能E k ，而非物体的内能，C 项错误. 三、广义相对论的几个结论例4 (多项选择)以下说法中正确的选项是( ) A.物质的引力使光线弯曲B.光线弯曲的原因是介质不均匀而非引力作用C.在强引力的星球附近，时间进程会变慢D.广义相对论可以解释引力红移现象答案 ACD解析 从广义相对论的两个根本假设可以得出：物质的引力使光线弯曲；引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差异，如在矮星外表的引力很强，那里的时间进程变慢，从而导致引力红移，所以正确的选项为A 、C 、 D.1.光线在引力场中弯曲，以及引力红移现象都是在引力场很强的情况下产生的.2.光在同一种均匀介质中沿直线传播的现象，在我们的日常生活中仍然成立.1.(相对论速度变换公式)一高能加速器沿相反方向射出两个粒子，速度均为c ，那么它们的相对速度大小是多少？ 答案 c解析 以其中任意一个粒子为运动参考系，要求的就是另一个粒子在该运动参考系下的运动速度v ′.由题意知，运动参考系相对静止参考系的速度u ＝c ，另一粒子相对于静止参考系的速度v ＝－c .根据相对论速度变换公式v ＝v ′＋u 1＋v ′u c2，可知－c ＝v ′＋c1＋v ′c c2.可解得v ′≈－c故两粒子的相对速度大小为c .2.(相对论质量)星际火箭以c 的速率飞行，其静止质量为运动质量的百分之几？ 答案 60%解析 设星际火箭的静止质量为m 0′，运动质量为m ′， 那么m 0′m ′＝m 0′m 0′1－(cc )2)×100%＝60%. 3.(质能方程)一电子(m 0＝×10－31kg)以c 的速率运动.问：(1)电子的总能量是多大？(2)电子的经典力学的动能与相对论的动能的比值是多大？ 答案 ×10－13J解析 (1)电子的总能量为：E ＝mc 2＝m 01－(v c)2·c 2＝错误!×(3×108)2J ≈×10－13J.(2)电子的经典力学动能为：E k ＝12m 0v 2＝12m 0(c )2.相对论的动能为：E k ′＝E －E 0＝mc 2－m 0c 2E kE k ′＝12m 0(c )2mc 2－m 0c 2＝12×211－(cc )2－1)≈0.08.4.(广义相对论)(多项选择)以下说法中正确的选项是( ) A.在任何参考系中，物理规律都是一样的，这就是广义相对性原理B.在不同的参考系中，物理规律都是不同的，例如牛顿运动定律仅适用于惯性参考系C.一个均匀的引力场与一个做匀速运动的参考系等价，这就是著名的等效原理D.一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这就是著名的等效原理 答案 AD解析 根据广义相对论根本原理可知，选项A 、D 正确.一、选择题考点一 相对论速度变换公式1.(多项选择)在一列相对于地面速度为v 的高速行驶的火车上，车上的人以速度u ′沿着火车前进方向相对于火车运动，根据相对论速度变换公式，以下说法正确的选项是( ) A.人相对于地面的速度小于人的速度和火车速度之和 B.人相对于地面的速度大于人的速度和火车速度之和C.只要人和火车的速度足够大，人相对于地面的速度可以超过光速D.不管人和火车的速度多大，人相对于地面的速度都小于光速 答案 AD2.设想有一艘飞船以v ＝c 的速度在地球上空飞行，如果这时从飞船上沿其运动方向抛出一物体，该物体相对于飞船的速度为c ，从地面上的人看来，物体的速度为( ) A.c B.c C.cD.无法确定答案 C解析 根据相对论速度变换公式：v ＝v ′＋u1＋v ′u c2，得v ＝错误!≈c .3.火箭以35c 的速度飞离地球，在火箭上向地球发射一束高能粒子，粒子相对地球的速度为45c ，其运动方向与火箭的运动方向相反.那么粒子相对火箭的速度大小为( )A.75cB.c 5C.3537cD.5c13 答案 C解析 由相对论速度变换公式v ＝v ′＋u 1＋v ′u c 2，可得－45c ＝35c ＋v ′1＋35cv ′c2，解得v ′＝－3537c ，负号说明与v 方向相反. 考点二 相对论质量4.(多项选择)关于物体的质量，以下说法正确的选项是( ) A.在牛顿力学中，物体的质量是保持不变的B.在牛顿力学中，物体的质量随物体的速度变化而变化C.在相对论力学中，物体静止时的质量最小D.在相对论力学中，物体的质量随物体速度的增大而增大 答案 ACD解析 在牛顿力学中，物体的质量是保持不变的，应选项A 正确，B 错误；在相对论力学中，由于物体的速度v 不可能到达光速c ，所以v <c,1－(v c)2<1，根据m ＝m 01－(v c)2，可知选项C 、D 均正确.5.(多项选择)电子的电荷量为×10－19C ，质量为×10－31kg ，一个电子被电压为106V 的电场加速后，关于该电子的质量和速度，以下说法正确的选项是( ) A.电子的质量不变 B.电子的质量增大 C.电子的速度可以到达c D.电子的速度不可能到达c 答案 BD解析 电子被电场加速后，根据m ＝m 01－(v c)2可知，随电子速度的增大，其质量也增大，故A 错误，B 正确；此时不能根据eU ＝12m 0v 2求速度，任何物体的速度都不可能超过光速c ，故C 错误，D 正确. 考点三 质能方程6.如图1所示，鸡蛋和乒乓球都静止在地面上，关于二者所具有的能量关系，以下说法中正确的选项是( )图1A.鸡蛋大B.乒乓球大C.一样大D.无法进展比拟答案 A解析 物体所具有的能量和其质量有关，根据质能方程，质量越大，所具有的能量越大，所以鸡蛋具有的能量大于乒乓球具有的能量.7.电子的静止能量为，假设电子的动能为，那么它所增加的质量Δm 与静止质量m 0的比值近似为( ) B. 答案 C解析 由题意E ＝m 0c 2即m 0c 2＝×106××10－19J ①ΔE ＝Δmc 2即Δmc 2＝×106××10－19J ②由②①得Δmm 0＝,0.511)≈，故C 项正确. 考点四 广义相对论8.(多项选择)以下说法中，正确的选项是( )A.由于太阳引力场的影响，我们有可能看到太阳后面的恒星B.强引力作用可使光谱线向红端偏移C.引力场越强的位置，时间进程越快D.由于物质的存在，实际的空间是弯曲的 答案 ABD解析 由广义相对论可知：物质的引力使光线弯曲，因此选项A 、D 正确；在引力场中时间进程变慢，而且引力越强，时间进程越慢，因此我们能观察到引力红移现象，所以选项B 正确，C 错误.9.在日全食的时候，通过仪器可以观察到太阳后面的恒星，这说明星体发出的光( ) A.经太阳时发生了衍射 B.可以穿透太阳及其他障碍物 C.在太阳引力场作用下发生了弯曲 D.经过太阳外的大气层时发生了折射 答案 C解析 根据爱因斯坦的广义相对论可知，光线在太阳引力场作用下发生了弯曲，所以可以在适当的时候(如日全食时)通过仪器观察到太阳后面的恒星，故C 正确，A 、B 、D 错误. 二、非选择题10.(相对论质量)设宇宙射线粒子的能量是其静止能量的k 倍，那么粒子运动时的质量等于其静止质量的________倍，粒子运动速度是光速的________倍. 答案 kk 2－1k解析 依据爱因斯坦的质能方程E ＝mc 2，宇宙射线粒子的能量是其静止能量的k 倍，那么其质量等于其静止质量的k 倍；再由相对论质量公式m ＝m 01－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2得v c ＝k 2－1k . 11.(质能方程)一被加速器加速的电子，其能量为×109eV ，(m 0＝×10－31kg ，c ＝3×108m/s)试问：(1)这个电子的动质量是其静质量的多少倍？ (2)这个电子的速率是多少？ 答案 ×103×108m/s解析 (1)由相对论质能关系E ＝mc 2和E 0＝m 0c 2可得电子的动质量m 与静质量m 0之比为m m 0＝E E 0＝错误!≈×103. (2)由m ＝m 01－v 2c2可得v ＝1－m 20m2·c ＝c ＝×108m/s.。
第4节相对论的速度变换公式__质能关系1.相对论速度变换公式v ＝u ＋v′1＋uv′c2，当u ≪c ，v′≪c 时，v ＝u＋v′，满足经典力学速度合成关系。
2．物体的质量与能量的对应关系：E ＝mc 2。
3．物体运动质量m 与静质量m 0的关系：m ＝m 01－v c 2。
4．运动物体的相对论动能表达式：E k ＝m 0c 2[11－v c2－1]v′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么这个人相对地面的速度v 为v ＝u ＋v′1＋uv′c2。
理解这个公式时请注意：(1)如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反，则v′取负值。
(2)如果u ≪c ，v′≪c ，这时v′uc 2可忽略不计，这时相对论的速度合成公式可近似变为v ＝v′＋u 。
(3)如果v′与u 的方向垂直或成其他角度时，情况比较复杂，上式不适用。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)在高速运动的火车上，设车对地面的速度为v ，车上的人以速度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u 与u′＋v 的关系是( )A ．u ＝u′＋vB ．u ＜u′＋vC ．u ＞u′＋vD ．以上均不正确解析：选B 按照经典的时空观，u ＝u′＋v ，而实际上人对地面的速度按照相对论速度公式计算，u ＝u′＋v1＋u′v c2，因此u 比u′与v 之和要小，但只有在u′和v 的大小接近光速时才能观察此差别。
相对论质量和能量[自读教材·抓基础]1．质能关系式E ＝mc 2。
式中m 是物体的质量，E 是它具有的能量。
由此可见，物体质量越大，其蕴含的能量越大。
能量与质量成正比。
2．相对论质量 m ＝m 01－v 2c2(m 0指静质量)； 与静质量对应的静能量为E 0＝m 0c 2。
[跟随名师·解疑难]1．对质速关系m ＝m 01－v c2的理解(1)式中m 0是物体静止时的质量(也称为静质量)，m 是物体以速度v 运动时的质量。
