128《统计案例》知识点总结

高中数学第一章统计案例章末总结回归方程及其应用对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化，这就是对样本进行回归分析．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：单位x/元35 40 45 50日销售量y/台56 41 28 11(1)(方程的斜率保留一个有效数字)．(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系．解析：(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系． (2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x.∵x －＝42.5，y －＝34，∴b ^＝错误!＝－错误!≈－3，错误!＝错误!－b 错误!＝34－(－3)×42.5＝161.5.∴y ^＝161.5－3x.(2)由题意，有P ＝(161.5－3x)(x －30)＝－3x 2＋251.5x －4 845. ∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．点评：判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系数；二是画散点图．两种方法要结合题目的要求合理选取，也可同时使用，则判断更加准确．►变式训练1．从某居民区随机抽取10个家庭，获得i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得错误!错误!＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝错误!，a ＝错误!－b 错误!，其中错误!，错误!为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.解析：(1)由题意知：n ＝10，x －＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2.又L xx ＝错误!i y i －n 错误!错误!＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝L xy L xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4.故所求回归方程为：y ＝0.3x－0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄为：y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 测得一个随机样本的数据如下表所示：x 21 23 25 27 29 32 35 y711212466115325(1)作出x 与(2)建立x 与y 的关系，并预报回归模型； (3)利用所得回归模型预报x ＝40时y 的值．解析：(1)x 与y 的散点图如下图，有散点分布猜测样本数据分布在一条曲线的附近，这条曲线接近指数函数曲线y ＝c 1e c 2x ，其中c 1，c 2为常数．(2)对y ＝c 1e c 2x 两边取对数的ln y ＝ln c 1＋c 2x.令A ＝ln y ，则A ＝bx ＋a ，其中a ＝ln c 1，b ＝c 2.将y 与x 之间的数据转化为A 与x 之间的数据：x 21 23 25 27 29 32 35 A1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得回归直线方程为A ＝0.272x －3.849，所以y ＝e 0.272x －3.849. (3)当x ＝40时，y ＝e0.272×40－3.849≈1 131.点评：根据样本数据描出散点图，再由散点图直观地观察散点分布符合的函数模型，再根据有关公式进行计算．►变式训练2．在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min )与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于下表：催化剂的量x/g15 18 21 24 27 30 33 36化学物质的反应 速度y(g·min －1)6 8 30 27 70 205 65 350解析：根据收集的数据，作出散点图(如下图所示)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y ＝a e bx的周围，其中a 和b 是待定的参数．令z ＝ln y ，则z ＝ln y ＝bx ＋ln a ，即变换后的样本点应该分布在直线z ＝bx ＋c(c ＝ln a)附近．有y 与x 的数据表可得到变换后的z 与x 的数据表： x 15 18 21 24 27 30 33 36 z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858z ^＝0.181x －0.848，所以y 与x 之间的非线性回归方程为： y ^＝e 0.181x －0.848. 独立性检验及其应用在日常生活中，分类变量是大量存在的，例如吸烟与患肺癌等，在实际问题中，我们常常关心两个变量之间是否有关系．为观察药物A 、B 治疗某病的疗效，某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人，服用A 药；另一组60人，服用B 药．结果发现：服用A 药的40人中有30人治愈，服用B 药的60人中有11治愈，问A 、B 两药对该疾病的治愈率之间是否有显著差别？解析：为便于将数据代入公式计算，先列出2×2列联表：治愈未愈总计A 药 30 10 40B 药 11 49 60 总计4159100由公式得k ＝100240×60×41×59≈31.859.因为31.859＞10.828，所以我们在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为A 、B 两药对该病的治愈率之间有显著差别．►变式训练3．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60)，[60，70)，[71，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求样本中日平均生产件数不足60件的工人人数．(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P(K 2≥k)0.100 0.050 0.010 0.001附：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解析：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名．由频率分布直方图知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“25周岁以上组”工人有60×(0.005×10)＝3(人)，“25周岁以下组”工人有40×(0.005×10)＝2(人)，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人有5人．(2)由频率分布直方图知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝100×（15×25－×15×45）2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

选修1-2 第1章 统计案例【知识回顾】1．线性回归方程：对n 个样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x i 2－n x2，a ^＝y －b ^x ，x ，y 分别是{x i }，{y i }的平均数．2、相关系数r ＞0，表明两个变量正相关；r ＜0，表明两个变量负相关；|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；|r|＞0.75时，认为两变量有很强的线性相关关系． 3．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为2×2列联表y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋d a ＋b ＋c ＋d 构造一个随机变量K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，想一想1、求随机变量的均值、方差和标准差常见的基本题型及方法有哪些？ 练一练 一、选择题1．在2016年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现销售量y 对商品的价格x 具有线性相关关系，其回归方程为^3.240y x =-+，则表格中m 的值是（ ）A ．6.4B ．8C ．9.6D ．10 2．已知数组()11,x y ，()22,x y ，⋅⋅⋅，()1010,x y 满足线性回归方程ˆybx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程y bx a =+”是“1210010x x x x ++⋅⋅⋅+=，121010y y y y ++⋅⋅⋅+=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知x 与y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过点（ ）A .（2,2） B.（1,2） C.（1.5,0） D （1.5,4）4．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：由上表中数据计算得2K =()21051030204555503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（ ）A ．1％B ．99％C ．2.5％D ．97.5％5．甲、乙、丙、丁四位同学各自对B A 、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现B A 、两变量有更强的线性相关性（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型HINI 流感的预防作用，把1000名注射疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设0:H “这种疫苗不能起到预防甲型HINI 流感的作用”，并计算()2 6.6350.01P X ≥≈，则下列说法正确的是（ ）A ．这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的有效率为001B ．若某人未使用疫苗则他在半年中有0099的可能性得甲型HINIC ．有0099的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用”D ．有001的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型HINI 流感的作用” 二、填空题7．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温. 气温（℃）14 12 8 6用电量（度） 22 26 34 38由表中数据得线性方程x b a yˆˆˆ+=中2ˆ-=b ，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 .8．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (度)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表由表中数据，得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，若ˆ2b =-，则ˆa =________． 9．如下表是对于喜欢足球与否的统计列联表依据表中的数据，得到2K .三、解答题10．某种产品的广告费支出x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybxa =+； （2）求估计广告费支出700万元的销售额．11．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy＝bx ＋a ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？(注：ˆb＝1221n i ii ni i x y n x y x n x ==-⋅⋅-⋅∑∑＝()()()121niii ni i x x y y x x ==---∑∑，ˆˆay bx =-)12．通过市场调查，得到某产品的资金投入x （万元）与获得的利润y （万元）的数据，如下表所示： 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y23569（1）画出数据对应的散点图；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+； （3）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元.1122211()()()n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪⎪=-⎩∑∑∑∑ 乐一乐概率为0的事件一定不发生吗？圆上任意取三点构成锐角三角形，钝角三角形和直角三角形的概率分别是多少？这显然是几何概型的问题，容易求得锐角三角形的概率为1/4，钝角的为3/4，直角的就为0.非常奇怪，为什么构成直角三角形的概率是0呢？圆上任意取三点应该能够构成直角三角形的，这件事情明明会发生，也就是这是可能事件。

为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果 如表所示．根据所选择的
193
个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？ 有效 口服 注射 合计
58 64 122
无效
40 31 71
合计
98 95 193
解：提出假设
H 0 ：药的效果与给药方式没有关系．
） 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别无关＂
以上的把握认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 以上的把握认为＂爱好该项运动与性别无关＂
0.01 = 1% 1%
的机会错误，即有
99%
以上的把握认为“爱好这项运动与性别有
关”．同时，在犯错误的概率不超过
的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案： C 解析： 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 0.01 = 1% 的机会错误，即有 99% 以上的把握认为“爱好这项运 动与性别有关”．同时，在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
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≈ 7.8
附表：
P (K 2 ⩾ k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ A．在犯错误的概率不超过 B．在犯错误的概率不超过 C．有 D．有 解：C 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 99% 99% 0.1% 0.1%
答案： A
B．①③
C．②③
D．①②③
3. 分类变量 X 和 Y 的列联表如下：
则下列说法中正确的是 (

统计与统计案例概率（文科）知识点1．抽样调查(1)抽样调查通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行 ______，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出______，这就是抽样调查．(2)总体和样本调查对象的称为总______体，被抽取的称为样______本．(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：①______②节约人力、物力和财力．2．简单随机抽样(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率．(2)通常采用的简单随机抽样的方法：_____3．分层抽样(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型 ( 有时称作层 ) ，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．4．系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个本，然后按 ______( 称抽距 ) 抽取其他本．种抽方法有也叫等距抽或机械抽．5．表表是 ______ 数据的重要工具，常用的表有______6．数据的数字特征(1)众数、中位数、平均数众数：在一数据中，出次数最多的数据叫作数据的众数．中位数：将一数据按大小依次排列，把在______位置的一个数据 ( 或最中两个数据的平均数 ) 叫作数据的中位数．平均数：本数据的算平均数，即1) ．x ＝n( x ＋ x ＋⋯＋ x12n在率分布直方中，中位数左和右的直方的面______(2) 本方差准差 s＝12x2－ x2＋⋯＋x n－2 [ x1－x＋x ]，n其中 x n是本数据的第n ， n 是，______ x 是______准差是刻画数据的离散程度的特征数，本方差是准差的______．通常用本方差估体方差，当 ______，本方差很接近体方差．7．用本估体(1) 通常我体作出的估一般分成两种，一种是______，另一种 ______．(2)在率分布直方中，表示， ______数据落在各小内的率用 ______表示，各小方形的面和等于 .______(3)在率分布直方中，按照分原，再在左和右各加一个区．从所加的左区的中点开始，用段依次接各个矩形的端中点，直至右所加区的中点，就可以得到一条折，称之率折．(4) 当本数据少，用茎叶表示数据的效果好，它没有信息的缺失，而且______，方便表示与比．8．相关性(1)通常将量所的点描出来，些点就成了量之的一个，通常称种量之的 ______(2)从散点上可以看出，如果量之存在着某种关系，些点会有一个集中的大致，种通常可以用一条光滑的曲来近似，近似的程称____________(3)在两个量 x 和 y 的散点中，若所有点看上去都在一条直附近波，称量是______，若所有点看上去都在某条曲( 不是一条直) 附近波，称此相关是 ______的．如果所有的点在散点中没有关系，称量是______的．9．性回方程(1)最小二乘法如果有 n 个点( x1， y1)，( x2，y2)，⋯，( x n， y n)，可以用[ y1－( a＋ bx1)]2＋[ y2－( a＋ bx2)]2＋⋯＋ [ y n－ ( a＋bx n)] 2来刻画些点与直y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小的直 y＝ a＋ bx 就是所要求的直，种方法称最小二乘法．(2)性回方程方程 y＝ bx＋ a 是两个具有性相关关系的量的一数据( x1，y1) ，( x2，y2) ，⋯， ( x n，y n)的性回方程，其中a， b 是待定参数．n n∑ x i－ x y i－ y∑ x i y i－ n x yb＝i ＝1i ＝ 1，n＝n∑ x i－ x2∑ x2i － n x 2i ＝ 1i ＝ 1a＝ y － b x .10．回分析(1)定： ______的两个量行分析的一种常用方法．(2)本点的中心于一具有性相关关系的数据( x1，y1) ， ( x2，y2) ，⋯， ( x n，y n) 中， ( x，y ) 称本点的中心．(3) 相关系数n∑ x i － xy i － y①r ＝i ＝ 1nn∑ x i － x2∑ y i － y2i ＝ 1i ＝ 1n∑ x i y i － n x y＝i ＝ 1；nn∑ x 2i － n x 2∑ y 2i － n y 2i ＝ 1i ＝ 1②当 r >0 时，表明两个变量正相关；当 r <0 时，表明两个变量负相关；当 r ＝ 0 时，表明两个变量线性不相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高． r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低． 11．独立性检验设 A ， B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量 A ： A 1， A 2 ＝ A 1；变量 B ： B 1， B 2＝ B 1；2×2列联表：BBB总计A 12A 1a b a ＋ b2c d c ＋dA总计a ＋ cb ＋ dn ＝ a ＋b ＋ c ＋ d构造一个随机变量n ad － bc22.χ ＝＋b c ＋da ＋c ＋ab d利用随机变量 χ 2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．2A， B有关联，可以认为变量A， B______的；当χ ______时，没有充分的证据判定变量当______ 时，有 ______的把握判定变量A，B有关联；当______ ，有 ______的把握判定变量A，B有关联；当______ 时，有 ______的把握判定变量A，B有关联．12．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 ______的；(2)任何事件 ( 除不可能事件 ) 都可以表示 ______的和．13．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．(1)试验的所有可能结果 ______，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能 ______．14．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1；如果某个事件 A 包括的结果有 m个，那么事件 A 的概率 P( A) n＝_____15．古典概型的概率公式( ) ＝ ______P A1．几何概型向平面上有限区域 ( 集合 ) G内随机地投掷点M，若点 M落在子区域 G1 G的概率与 G1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即( 点落在1)＝______，则称这种模型为几何概型．P M G2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是 ______之比或 ______之比．3．借助 ______可以估计随机事件发生的概率．。