九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.5一元二次方程根与系数的关系同步练习1
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1 根与系数的关系
1.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足：111，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或－1 D．－3或1
2.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1，x2满足x1+x2－x1·x2<－1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
3.设方程x2+x－2＝0的两个根分别为α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
4.已知α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值是（ ）
A．－1 B．9 C．23 D．27
5.有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
6.若关于x的一元二次方程x2－(a+5)x+8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝_____________.
7.已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为a，b，则a－1+b－1＝_____________.
8.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x+a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为_____________.
9.设x1，x2是一元二次方程x2+5x－4＝0的两个根，若21222642xxxm，则m＝_____________.
10.（一题多法）已知方程2x2+mx－4＝0的一根为－2，求它的另一根和m的值.
11.已知关于x的方程x2－2(k－1)x+k2＝0有两个实数根x1，x2. 2 （1）求k的取值范围；
（2）若12121xxxx，求k的值.
12.已知一元二次方程x2+3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
（1）2212xx；（2）1211xx.
13.已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使－x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由.
（2）求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.
14.已知两个数的和为10，积为8，求这两个数.
15.已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m－1)x+m2＝0的两个非零实数根，问：x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由. 3 参考答案
1.A 解析 易得α+β＝－(2m+3)，αβ＝m2，
∴223111mm，即m2－2m－3＝0，
∴由222230,2340,mmmm解得m＝3.
2.C 解析 由根与系数的关系可得x1+x2＝－2，x1·x2＝k+1.
∵x1+x2－x1·x2<－1，∴－2－k－1<－1，解得k>－2.
∵方程有实数根，∴b2－4ac≥0，即22－4×1×(k+1)≥0，解得k≤0，∴－2
3.C 解析 依题意得α+β＝－1，αβ＝－2，
∴(α－1)(β－1)＝αβ－(α+β)+1＝－2+1+1＝0.
4.D 解析 由根与系数的关系可得α+β＝5，αβ＝－2，
∴α2+αβ+β2＝(α+β)2－αβ＝25+2＝27.
5.D 解析 A选项，∵M有两个不相等的实数根，∴∆>0，即b2－4ac>0，而此时方程N的根的判别式∆＝b2－4ac>0，故它也有两个不相等的实数根.B选项中方程M的两根符号相同，即120cxxa，而方程N的两根之积ac，也大于0，故方程N的两个根也是同号的.C选项中如果5是方程M的一个根，则有25a+5b+c＝0①，我们只需要考虑将15x代入方程N看是否成立即可，代入得110255xba②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到的，故②式成立.D选项中设方程M和方程N的一个相同的根为x0，则有220000axbxccxbxa，整理，得20acxac，即2022axa.因为ax2+bx+c＝0是一元二次方程，所以a≠0，所以201ax，所以x0＝±1，所以01x，选项D错误，故选择D．
6.4 解析 把x＝2代入方程x2－(a+5)x+8a＝0得4－2(a+5)+8a＝0，解得a＝1，根据x1+x2＝a+5可得2+b＝a+5＝6，所以b＝4，故ab＝4.
7. 65 解析 由根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝－5，
∴11116655abababab.
8.－4 解析 由根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝A．
∵(m－1)(n－1)＝－6，∴mn－m－n+1＝－6，即mn－(m+n)＝－7，∴a－3＝－7，解得4 a＝－4.
9.10 解析 由根与系数的关系可得x1+x2＝－5，x1·x2＝－4.
∵21222642xxxm，∴21212121282xxxxxm，∴－8x2－48－8x1+m＝2，∴－8(x1+x2)－48+m＝2，∴40－48+m＝2，解得m＝10.
10.解法1：将方程的根x＝－2代入方程，得
2×(－2)2+m×(－2)－4＝0，∴m＝2.
将m＝2代入原方程得2x2+2x－4＝0，
即x2+x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.
即方程的另一根为1.
解法2：设方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，得
122mx，1422x，
解得x1＝1，m＝2.
11.分析：（1）由方程有两个实数根，可得∆＝b2－4ac≥0，据此可求出k的取值范围；（2）结合（1）中k的取值范围去掉12xx的绝对值号，可得出k的值.
解：（1）由方程有两个实数根，可得∆＝b2－4ac＝4(k－1)2－4k2≥0，解得12k≤.
（2）依题意可得，x1+x2＝2(k－1)，由（1）可知12k≤，∴2(k－1)<0.由12121xxxx，得－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1（舍去），k2＝－3，∴k的值是－3.
12.解：由一元二次方程根与系数的关系知x1+x2＝－3，x1x2＝－1.
（1）2222121212232111xxxxxx.
（2）12121211331xxxxxx.
点拨：若方程x2+px+q＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2＝－p，x1x2＝q.分别对2212xx和1211xx进行恒等变形，将它们分别化为含有x1+x2和x1x2的代数式，然后求解.
13.思路建立 （1）要求判断符合题意的a的值是否存在，需先根据一元二次方程根与系数的关系用含a的式子分别表示出x1+x2和x1x2，假设－x1+x1x2＝4+x2成立，将其变形，把其中的x1x2及x1+x2用含a的代数式表示出来，得到关于a的方程，解方程即可；（2）先将式子变形为x1x2+(x1+x2)+1，再把x1+x2和x1x2用含a的式子表示后根据题意讨论，从而得5 到a的值.
解：（1）存在.∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，126axxa，1226axxa.
∵一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0有两个实数根，
∴∆＝4a2－4(a－6)·a≥0，且a－6≠0，
解得a≥0且a≠6.
∵－x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+(x1+x2)，
即2466aaaa，解得a＝24，
∴存在实数a，使－x+x1x2＝4+x2成立，a的值是24.
（2）∵121212261111666aaxxxxxxaaa，∴当(x1+1)(x2+1)为负整数且a为整数时，有a－6＝6，a－6＝3，a－6＝2，a－6＝1，∴a＝12，9，8，7，
∴使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7.
14.思路建立 要求出这两个数，我们可以设这两个数分别为x1和x2，则有x1+x2＝10，x1·x2＝8，再逆用一元二次方程根与系
数的关系写出相应的一元二次方程，然后解方程即可.
解：设这两个数分别为x1和x2，则有x1+x2＝10，x1·x2＝8，
所以以这两个数为根的一元二次方程为x2－10x+8＝0，
解这个方程得1517x，2517x .
答：这两个数分别为517和517.
点拨：本题也可以先设一个未知数，然后列一元二次方程求解.
15.思路建立 求两根同号时m的取值范围，首先应根据方程有两个非零实数根，得到∆≥0，且m2≠0，再根据根与系数的关系得到关于m的不等式组，从而求得m的取值范围.
解：因为关于x的一元二次方程4x2+4(m－1)x+m2＝0有两个非零实数根，则有：
∆＝[4(m－1)]2－4×4m2＝－32m+16≥0，且m2≠0，
∴12m≤，且m≠0.
又x1，x2是方程4x2+4(m－1)x+m2＝0的两个实数根，
∴由一元二次方程根与系数的关系， 6 得x1+x2＝－(m－1)，21214xxm.
假设x1，x2同号，则有两种可能：x1<0，x2<0；x1>0，x2>0.
（1）若x1<0，x2<0，则有12120,0,xxxx即210,10.4mm.
解这个不等式组，得m>1.
∵12m≤且m≠0时方程才有实数根，
∴此种情况不成立.
（2）若x1>0，x2>0，则有12120,0,xxxx即210,10.4mm
解这个不等式组，得m<1.
又∵12m≤且m≠0，∴当12m≤且m≠0时，两根能同号.
