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华东师大版数学九年级上册第22章单元测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程共有（）①x2−x3+3=0②2x2−3xy+4=0③x2−1x=4④x2=1⑤3x2+x=20．A.2个B.3个C.4个D.5个2.一元二次方程x2−1=0的根为（）A.x=1B.x=−1C.x1=1，x2=−1D.x=23.把方程(2x−1)(3x+2)=x2+2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（）A.5，−4B.5，1C.5，4D.1，−44.方程x2=x的两根分别为（）A.x1=−1，x2=0B.x1=1，x2=0C.x1=−l，x2=1D.x1=1，x2=15.已知2是关于x的方程：x2−x+a=0的一个解，则2a−1的值是（）A.5B.−5C.3D.−36.用配方法解方程x2−2x−6=0时，原方程应变形为（）A.(x+1)2=7B.(x−1)2=7C.(x+2)2=10D.(x−2)2=107.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立，其中正确的只有（）A.①②④B.②③C.③④D.①④8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（）A.m>0B.m>4C.−4，−5D.4，59.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+ab，则方程x△(x−2)=12的实数根是（）A.x1=−2，x2=3B.x1=2，x2=−3C.x1=−1，x2=6D.x1=1，x2=−610.关于x的一元二次方程x2−mx+5(m−5)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2=7，则m的值是（）A.2B.6C.2或6D.7二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.用配方法解方程时，把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m−n=________．12.某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．13.方程√2x2−√3x−1=0的解为________．14.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是________．15.若两个连续偶数的积为288，则这两个连续偶数的和为________．16.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则√αβ+√βα的值为________．17.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x−6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=________和k=________．18.设a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，则(a+1)2+b的值为________．19.方程√3x−2=x的解是________．20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.解方程：①(2x−1)2=9（直接开平方法）②x2+3x−4=0（用配方法）③x2−2x−8=0（用因式分解法）④(x+4)2=5(x+4)⑤(x+1)(x+2)=2x+4⑥x2+2x−9999=0．22.已知关于x的方程x2−(2m+1)x−(2m−1)=0的一个根为1，求m的值．23.已知m是方程x2−2014x+1=0的一个根，求代数式2m2−4027m−2+2014m2+1的值．24.把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)5x2=3x；(2)(√2−1)x+x2−3=0；(3)(7x−1)2−3=0；(4)(x2−1)(x2+1)=0；(5)(6m−5)(2m+1)=m2．25.设x1、x2是关于x的方程x2−4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立，请说明理由．26.已知：关于x 的方程x 2+(2m +4)x +m 2+5m 没有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若关于x 的一元二次方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；(3)设(2)中方程的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．参考答案：1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.A 10.B 11.−1712.70(1+x)2=70(1+x)+10 13.x 1=√6+√3√2+84，x 2=√6−√3√2+8414.√2−1 15.34或−34 16.317.−3−2 18.201419.x 1=1，x 2=220.(30−2x)(20−x)=6×78 21.解：①(2x −1)2=9，开方得：2x −1=3或2x −1=−3， 解得：x 1=2，x 2=−1； ②x 2+3x −4=0，方程变形得：x 2+3x =4， 配方得：x 2+3x +94=254，即(x +32)2=254，开方得：x +32=±52，解得：x 1=1，x 2=−4；③x 2−2x −8=0，分解因式得：(x −4)(x +2)=0， 解得：x 1=4，x 2=−2；④方程整理得：(x +4)2−5(x +4)=0， 分解因式得：(x +4)(x +4−5)=0， 解得：x 1=−4，x 2=1；⑤方程整理得：(x +1)(x +2)−2(x +2)=0， 分解因式得：(x +2)(x +1−2)=0，解得：x1=−2，x2=1；⑥方程移项得：x2+2x=9999，配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，开方得：x+1=100或x+1=−100，解得：x1=99，x2=−101．22.解：把x=1代入x2−(2m+1)x−(2m−1)=0得1−2m−1−2m+1=0，解得m=14．23.解：∵m是方程x2−2014x+1=0的一个根，∴m2−2014m+1=0，∴m2=2014m−1，m2+1=2014m，∴原式=2(2014m−1)−4027m−2+20142014m=m+1m−4=m2+1m−4=2014mm−4=2014−4=2010．24.解：(1)方程整理得：5x2−3x=0，二次项系数为5，一次项系数为−3，常数项为0；(2)x2+(√2−1)x−3=0，二次项系数为1，一次项系数为√2−1，常数项为−3；(3)方程整理得：49x2−14x−2=0，二次项系数为49，一次项为−14，常数项为−2；(4)方程整理得：14x2−1=0，二次项系数为14，一次项系数为0，常数项为−1；(5)方程整理得：11m2−4m−5=0，二次项系数为11，一次项系数为−4，常数项为−5．25.解：∵方程有实数根，∴b2−4ac≥0，∴(−4)2−4(k+1)≥0，即k≤3．∵x=4±√(−4)2−4(k+1)2=2±√3−k，∴x1+x2=(2+√3−k)+(2−√3−k)=4，x1⋅x2=(2+√3−k)⋅(2−√3−k)=k+1若x1⋅x2>x1+x2，即k+1>4，∴k>3．而k≤3，因此，不存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立．26.解：(1)∵关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根，∴△=(2m+4)2−4×1×(m2+5m)<0，∴m>4，∴m 的取值范围是m >4；(2)由于方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有两个实数根可知m ≠0， 当m >4时，m−3m>0，即方程的两根之积为正，故方程的两根符号相同． (3)由已知得：m ≠0，α+β=−n−2m，α·β=m -3m．∵α:β=1:2， ∴3α=−n−2m，2a 2=m−3m．(n−2)29m 2=m−32m，即(n −2)2=92m(m −3)． ∵m >4，且n 为整数，∴m 为整数；当m =6时，(n −2)2=92×6×3=81．∴m 的最小值为6．华东师大版数学九年级上册第23章单元测试题一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，5cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm2．如果x 2＝y 3，那么x ＋yx －y的值是（ ）A ．5B ．1C ．－5D ．－13．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为（ ）A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 54．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ） A ．4 B ．7 C ．3 D ．12第4题图5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)第5题图6．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(2，0)，点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等)，则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第6题图7．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米第7题图8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A.22B.32C．1 D.62第8题图二、填空题(每小题3分，共30分)9．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB 的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是m.第9题图10．如图，是象棋棋盘的一部分，若位于点(1，－2)上，位于点上，则位于点(－2，1)上．第10题图11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，DE ＝6，则BC 的长是.第11题图12．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件，使△ABC ∽△ACD (只填一个即可)．13．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度得到的，如果图形a 中的点A 的坐标为(4，－2)，则图形b 中与点A 对应的点A ′的坐标为．第12题图14．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是．第14题图第15题图15．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE 为Rt △CDB 的斜边BC 上的高．若BE ＝6，CE ＝4，则CD ＝.16．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是.第16题图第17题图第18题图17．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，AB 与地面平行，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高米．18．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD .E 为四边形ABCD 内一点且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°，使BC 与DC 重合，得到△DCF .连接EF 交CD 于M ，已知BC ＝10，CF ＝6，则ME ∶MF 的值为.三、解答题(共66分)19．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．20．(6分)如图所示，AD 、BE 是钝角△ABC 的边BC 、AC 上的高，求证：AD BE ＝ACBC.21．(6分)如图，M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米、AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22．(7分)已知：△ABC在平面直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；(2分)(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．23．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．25．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．26．(12分)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP 的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？参考答案：1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A8．C 解析：作MH ⊥AC 于H ，如图.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH ＝45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH ＝MH ＝22AM ＝22×2＝2. ∵CM 平分∠ACB ，∴BM ＝MH ＝2，∴AB ＝2＋2，∴AC ＝2AB ＝(2＋2)×2＝22＋2，∴OC ＝12AC ＝2＋1，CH ＝AC －AH ＝22＋2－2＝2＋2. ∵BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴ON MH ＝OCCH ，即ON 2＝2＋12＋2， ∴ON ＝1.故选C.9．64 10.(－2，1) 11.1812．∠B ＝∠ACD (答案不唯一) 13.(4，－5) 14．(3，3) 15.210 16.25 17.118．3∶4 解析：由题意知△BCE 绕点C 顺时转动了90°，∴△BCE ≌△DCF ，∠ECF ＝∠DFC ＝90°，∴CD ＝BC ＝10，DF ∥CE ，∴∠ECD ＝∠CDF .∵∠EMC ＝∠DMF ，∴△ECM ∽△FDM ，∴ME ：MF ＝CE ：DF .∵DF ＝CD 2－CF 2＝8，∴ME ：MF ＝CE ：DF ＝6：8＝3：4.19．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1、∠D 和∠D 1、∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(4分)(2) ∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)20．解：∵AD 、BE 是钝角△BAC 的高，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°.(2分)又∵∠DCA ＝∠ECB ，∴△DAC ∽△EBC .(5分)∴AD BE ＝AC BC.(6分) 21．解：在△ABC 与△AMN 中，∠A ＝∠A ，AC AB ＝3054＝59，AM AN ＝10001800＝59， ∴AC AB ＝AM AN ，即AC AM ＝AB AN，∴△ABC ∽△ANM ，(3分) ∴AC AM ＝BC MN ，即301000＝45MN，∴MN ＝1.5千米．(5分) 答：M 、N 两点之间的直线距离是1.5千米．(6分)22．解：(1)(2，－2)(2分)(2)(1，0)(4分)(3)10(7分)22．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(2分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠EDC .(5分)∴△ABD ∽△DCE .∴AB DC ＝BD EC .∴84＝2EC.∴EC ＝1.(7分) 23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，(3分)∴BP CD ＝AB CP ，∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(5分)(3) 解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP .∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C .∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BP BA .(8分)∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.(10分) 24．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN.(2分)∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12， ∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝6；(5分)(2) ∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2，(3) ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，(4) ∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4. (5) ∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △BCN ＋S △CND ＝4＋2＝6，(8分)(6) ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.(10分)26．解：(1)45° (t ，t )(4分)(2)由题意，可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴AO ＝PQ .(5分)∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ，∴AB ＝PQ .∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ .又∵∠BAP ＝∠PQD ＝90°，∴△PAB ≌△DQP .(7分)∴AP ＝DQ ＝t ，PB ＝PD .显然PB ≠PE ，分两种情况：若EB ＝EP ，则∠EPB ＝∠EBP ＝45°，此时点P 与O 点重合，t ＝4； 若BE ＝BP ，则△PAB ≌△ECB .∴CE ＝PA ＝t .(9分)过D 点作DF ⊥OC 于点F ，易知四边形OQDF 为正方形，则DF ＝OF ＝t ，EF ＝4－2t .∵DF ∥BC ，∴△BCE ∽△DFE ，∴BC DF ＝CE EF ，∴4t ＝t 4－2t.解得t ＝－4±42(负根舍去)． ∴t ＝42－4.(11分)综上，当t ＝42－4或4时，△PBE 为等腰三角形．(12分)。
华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》知识汇编22.1：一元二次方程【基础知识】知识点1：一元二次方程的定义1、（南阳期中）下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、12-=x B 、0112=-+xx C 、012=++y x D 、1223=-x x 2、（教材P 20习题T 1变式）若方程()0112=++-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 应满足的条件是（ ）A 、任何实数B 、0≠mC 、1≠mD 、1-≠m 知识点2：一元二次方程的一般形式3、将一元二次方程x x 2432-=-化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A 、3，4-，2-B 、3，2，4-C 、3，2-，4-D 、2，2-，0 4、（驻马店月考）一元二次方程()()23252-=+-x x x 的一般形式是（ ） A 、4652-=--x x x B 、172=-x x C 、0172=--x x D 、0972=--x x 知识点3：一元二次方程的解6、（广东中考）若2是方程032=+-k x x 的一个根，则常数k 的值为 （ ） A 、1 B 、2 C 、1- D 、2-7、（宁夏中考）若32-是方程042=+-c x x 的一个根，则c 的值是（ ） A 、1 B 、33- C 、31+ D 、32+ 知识点4：根据实际问题列一元二次方程10、（白银中考）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米。
若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A 、()65=+x xB 、()65=-x xC 、()610=-x xD 、()6210=-x x11、根据下列问题，列出关于x 的方程（不必求解），并将其化为一般形式。
（1）正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；（2）小明的母亲用125元钱买回一些同样价格的衬衫，已知每件衬衫的价格恰好是衬衫总件数的6倍还少5元，求小明母亲共买回衬衫的件数x.易错点1：忽略一元二次方程二次项系数不为0而出错12、若()02611||=-+++x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_____； 易错点2：确定各项时未化为一般形式而出错13、一元二次方程()()11122-=++-x x x m x 的一次项系数为2-，则m 的值为______；【方法指导】①已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；②已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解。
第22章一元二次方程22.3实践与探索第2课时平均变化率与利润问题教学反思教学目标1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.教学重难点重点：掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.教学过程导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）例1某村种的水稻每公顷产量的年平均增长率为x.第一年平均每公顷产8000kg，则第二年种的水稻平均每公顷的产量为，第三年种的水稻平均每公顷的产量为 .【答案】8000（1+x）kg8000（1+x）2 kg例2某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x.根据题意，列方程为.【答案】168(1-x)2＝108教师总结并引出课题：22.3实践与探索第2课时平均变化率与利润问题探究新知探究点一利用一元二次方程解决增长（降低）率问题【问题2】活动2（学生交流，教师点评）例3前年生产1吨甲种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，今年生产1吨甲种药品的成本是3 000元，求甲种药品成本的年平均下降率.【探索思路】(引发学生思考)设甲种药品成本的年平均下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是5 000(1-x )元，如果保持这个下降率，那么今年生产1吨甲种药品的成本是5 000(1-x )2元.【解】设甲种药品成本的年平均下降率是x ， 根据题意，得5 000(1-x )2＝3 000， 解方程，得x 1≈0.225，x 2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 【点拨】解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系. 【归纳】“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.若平均增长(或降低)百分率为x ,增长(或降低)前的量是a ,增长(或降低)n 次后的量是b ,则它们的数量关系可表示为a (1±x )n ＝b (其中增长取“+”,降低取“-”).【即学即练】1.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率. 【解】设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x ， 根据题意，得400×(1+10%)(1+x )2＝633.6. 解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝-2.2(不合题意，舍去). 答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 探究点二 利用一元二次方程解决利润问题基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝ 利润进价100%. (3)总利润＝单件的利润×销量.【问题3】活动3（学生交流，教师点评）例4 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请解答下列问题：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？教学反思【探索思路】确定题中等量关系→建立方程模型→解方程解决问题.【解】（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60-x -40）201002x ⎛+⨯⎫⎪⎝⎭＝2 240.化简，得x 2-10x +24＝0， 解得x 1＝4，x 2＝6.故每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知，每千克核桃可降价4元或6元， 而要尽可能让利于顾客， 所以每千克核桃应降价6元.此时，每千克核桃的售价为60-6＝54（元）， 则54÷60×100%＝90%.故该店应按原售价的九折出售.【题后总结】(学生总结，老师点评)在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答. 【即学即练】2.某服装店销售一种服装，每件进货价为40元，当以每件80元销售的时候，每天可以售出50件，为了增加利润，减少库存，服装店准备适当降价.据测算，该服装每降价1元，每天可多售出2件.如果要使每天销售该服装获利2 052元，每件应降价多少元？【解】设每件服装应降价x 元.根据题意，得(80-40-x )(50+2x )＝2 052， 解得x 1＝2，x 2＝13. 为了减少库存，取x ＝13. 故每件应降价13元.课堂练习1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元.已知两次降价的百分率相同.若设每次降价的百分率为x ，则得到的方程为( ) A.112(1-x )2＝63 B.112(1+x )2＝63 C.112(1-x )＝63D.112(1+x )＝632.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x 相同，那么得到的方程为( ) A .50(1+x 2)＝196 B .50+50(1+x 2)＝196x C .50+50(1+x )+50(1+x )2＝196教学反思D.50+50(1+x)+50(1+2x)＝1963.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知今年投资1 000万元，预计后年投资1 210万元.若这两年平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率.4.某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率.5.某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同. 求：（1）每个月生产成本的下降率.（2）请你预测4 月份该公司的生产成本.6.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元(x为整数).据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？参考答案1.A2.C3.【解】设平均每年投资增长的百分率是x.由题意，得1000(1+x)2＝1 210，解得x1＝0.1，x2＝-2.1(舍去).故平均每年投资增长的百分率为10%.4.【解】设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5 000(1-x)2＝4 050.解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去).答：平均每次下调的百分率为10%.5.【解】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝361.解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95>1（不合题意，舍去）.教学反思答：每个月生产成本的下降率为5%.（2）361×（1-5%）＝342.95（万元）.答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元. 6.【解】（1）2x (50-x )(2)根据题意，得(50-x )(30+2x )＝2 100.化简，得x 2-35x +300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20. 当x ＝15时，商场日销售量增加2×15＝30（件）； 当x ＝20时，商场日销售量增加2×20＝40（件）. 而30＜40，且商场为了尽快减少库存，所以取x ＝20.故在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元.课堂小结(学生总结，老师点评) 1.平均增长率与降低率若平均增长(或降低)百分率为x ,增长(或降低)前的量是a ,增长(或降低)n 次后的量是b ,则它们的数量关系可表示为a (1±x )n ＝b (其中增长取“+”,降低取“-”). 2.利润问题基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝ 利润进价100%； (3)总利润＝单件的利润×销量.在日常生活和社会实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，从而体会数学建模的思想方法.布置作业教材第42页练习第2题，第42页习题22.3第5，6题.板书设计课题 第22章 一元二次方程22.3 实践与探索第2课时 平均变化率与利润问题【问题1】 例1 平均增长率与降低率 【问题2】 例2 利润问题。
