人教版数学九年级上册第22章 二次函数 期末突破训练(一)

人教版初中九年级上册：第22章《二次函数》期末培优测验一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，1）D．（1，﹣1）2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+3B．y=（x﹣2）2﹣3C．y=（x+2）2+3D．y=（x+2）2﹣3 3．抛物线y=x2﹣2x﹣1上有点P（﹣1，y1）和Q（m，y2），若y1＞y2，则m的取值范围为（）A．m＞﹣1B．m＜﹣1C．﹣1＜m＜3D．﹣1≤m＜3 4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如所示，那么下列判断不正确的是（）A．ac＜0B．a﹣b+c＞0C．b=﹣4a D．a+b+c＞0 5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣5，y1），D （﹣2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定6．下列是抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，已知抛物线y=x2+px+q的对称轴为直线x=﹣2，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，﹣）C．（0，﹣）D．（0，﹣）8．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x≥0）与y2=x2（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1=x2（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC，交y2=x2（x≥0）的图象于点E，则=（）A．B．1C．D．3﹣9．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞﹣2 10．将抛物线y=（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2二．填空题（共7小题）11．已知二次函数y=x2﹣mx+3在x=0和x=2时的函数值相等，那么m的值是．12．如图，若点B的坐标为（，0），则点A的坐标为．13．函数y=ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是．14．把抛物线y=x2向左平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为．15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为m2．16．二次函数y=3（x﹣3）2+2顶点坐标坐标．17．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣6x ﹣16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为．三．解答题（共6小题）18．若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．19．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．20．已知二次函数y=﹣x2+2x﹣3（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）直接说出x在什么范围内，y随x的增大而减小．21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元．商场平均每天可多售出4件，（1）若商场平均每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？（2）每天可售出多少件？22．如图，在△ABG中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AG上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重含），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时y的值最大？23．已知抛物线的顶点A（1，﹣4），且与直线y=x﹣3交于点B（3，0），点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）当直线高于抛物线时，直接写出自变量x的取值范围是多少？参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：（1）∵y=a（x﹣1）2﹣1；∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；故选：D．2．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故选：D．3．【解答】解：∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，∵函数对称轴为x=﹣=1，∴当y1＞y2时，①Q（m，y2）在对称轴右侧时，1≤m＜3；②Q（m，y2）在对称轴右侧时，﹣1＜m＜1，综上，m的取值范围为是﹣1＜m＜3，故选：C．4．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＞0，∴ac＜0，所以A选项的判断正确；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以B选项的判断错误；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，所以C选项的判断正确；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以D选项的判断正确．故选：B．5．【解答】解：∵抛物线过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x==﹣1，∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y1＜y2．故选：C．6．【解答】解：抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象，因为a=﹣2，所以开口向下，故CD错误；抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的对称轴是直线x=﹣，故A错误；故选：B．7．【解答】解：如图，作N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于P点，将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得，解得，y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，M（﹣2，﹣2）．N点关于y轴的对称点N′（1，﹣1），设MN′的解析式为y=kx+b，将M、N′代入函数解析式，得，解得，MN′的解析式为y=x﹣，当x=0时，y=﹣，即P（0，﹣），故选：B．8．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则y1=x2=a，解得x=，∴点B（，a），y=x2=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴x2=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，∴==3﹣．故选：D．9．【解答】解：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，∴m +1＞0，即m ＞﹣1．故选：C ．10．【解答】解：新抛物线的解析式为：y=（x +1）2﹣2+a=x 2+2x ﹣1+a ， ∵新抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴△=4﹣4（﹣1+a ）=0，解得a=2．故选：D ．二．填空题（共7小题）11．【解答】解：∵当x=0和x=2时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴x==1，∵对称轴x=﹣=m ，∴m=1，即m=2，故答案为：2．12．【解答】解：由图象可得，该抛物线的对称轴是直线x=1，∵若点B 的坐标为（，0），∴点A 的坐标为（2﹣，0），故答案为：（2﹣，0）．13．【解答】解：∵函数y=ax 2﹣2ax +m （a ＞0）的图象过点（2，0）， ∴0=a ×22﹣2a ×2+m ，化简，得m=0，∴y=ax 2﹣2ax=ax （x ﹣2），当y=0时，x=0或x=2，∵a ＞0， ∴使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是0＜x ＜2，故答案为：0＜x ＜2．14．【解答】解：把抛物线y=x 2向左平移2个单位，得到的抛物线解析式是：y=（x+2）2﹣2，即y=x2+4x+4．故答案为：y=x2+4x+4．15．【解答】解：∵AB=xm，∴BC=（28﹣x）m．则S=AB•BC=x（28﹣x）=﹣x2+28x．即S=﹣x2+28x（0＜x＜28）．由题意可知，，解得6≤x≤13．∵在6≤x≤13内，S随x的增大而增大，∴当x=13时，S最大值=195，即花园面积的最大值为195m2．故答案为：195．16．【解答】解：∵二次函数y=3（x﹣3）2+2是顶点式，∴顶点坐标为（3，2）．故答案为：（3，2）．17．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣6x﹣16，则D（0，﹣16）令y=0，解得：x=﹣2或8，函数的对称轴x=﹣=3，即M（3，0），则A（﹣2，0）、B（8，0），则AB=10，圆的半径为AB=5，在Rt△COM中，OM=5，OM=3，则：CO=4，则：CD=CO+OD=4+16=20．三．解答题（共6小题）18．【解答】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3，∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣11．19．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，=AB•CD=﹣．∴S△ABC（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．20．【解答】解：（1）y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x+3）=﹣（x﹣1）2﹣2，所以顶点坐标为（1，﹣2）对称轴为x=1；（2）∵函数图象开口向下，又其对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．21．【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利为y元，y=（45﹣x）（20+4x），∴y=﹣4x2+160x+900=﹣4（x﹣20）2+2500，∴当x=20时，y取得最大值，此时y=2500，答：若商场平均每天盈利最大，每件衬衫应降价20元；（2）当x=20时，20+4x=20+4×20=100，答：每天可售出100件．22．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥AB，∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，∴∠C=∠CED，∴DC=DE．在Rt△ADF中，∵∠A=45°，∴∠ADF=45°=∠A，∴AF=DF=x，∴AD==x，∴DC=DE=1﹣x，∴y=（DE+FB）×DF=（1﹣x+1﹣x）x=﹣（+1）x2+x．∵点D保持在AC上，且D不与A重合，∴0＜AD≤1，∴0＜x≤1，∴0＜x≤．故y=﹣（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；（2）∵y=﹣（+1）x2+x，∴当x=﹣=﹣1时，y有最大值．23．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得a（3﹣1）2﹣4=0，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4；（2）如图，当0＜x＜3时，直线高于抛物线．。

人教版 九年级九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 突破训练一、选择题1. 下列函数解析式中，一定是二次函数的是()A ．y ＝3x －1B ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．s ＝2t 2－2t ＋1D ．y ＝x 2＋1x2. 抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( )A ．直线x ＝2B ．直线x ＝－2C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－13. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的个数为()①c >0；②a <b <0；③2b ＋c >0；④当x >－12时，y 随x 的增大而减小． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为( )A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(3，3)D ．(4，3)6. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或347. 函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2－4c>0；②b ＋c ＋1＝0；③3b ＋c ＋6＝0；④当1<x<3时，x 2＋(b －1)x ＋c<0.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上，则平移后的抛物线的解析式为( ) A ．y ＝x2＋2x ＋1 B ．y ＝x2＋2x －1 C ．y ＝x2－2x ＋1D ．y ＝x2－2x －19. 定义运算“※”：a ※b ＝⎩⎨⎧ab 2（b ＞0），－ab 2（b ≤0），如1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函数y ＝2※x 的图象大致是( )10. 某国家足球队在某次训练中，一名队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分(如图)，有下列结论：①a<－160；②－160<a<0；③a－b＋c>0；④a<b<－12a.其中正确的是()A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题11. 若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．12. 如图所示，抛物线y＝ax2－3x＋a2－1经过原点，那么a的值是________．13. 已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________．14. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．15. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为2205h t t=-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s．16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)17. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题18. 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A (1，0)，C (0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一交点为B ，在抛物线上存在一点P ，使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．19. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若关于x 的方程|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．20. 已知抛物线y ＝3x 2＋mx ＋n .(1)当抛物线经过点(－1，0)，(1，4)时，求抛物线的解析式．(2)当m＝2，n＝－1时，①求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；②求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；③当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？y 有最大值还是最小值？最大(小)值是多少？④当－2<x≤3时，求y的取值范围；⑤当y>7时，求x的取值范围．(3)若m＝2，且－1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求n的取值范围．21. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22. 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L 的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．人教版九年级九年级数学22.1 二次函数的图象和性质突破训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0，A选项错误；函数图象与x轴有两个交点，所以24b ac->0，B选项错误；观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C选项错误；根据图象与x轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x+==，即x=3为函数对称轴，D选项正确，故选D．4. 【答案】C【解析】∵抛物线与y轴交点在正半轴，∴c＞0，故①正确；抛物线开口向下，∴a＜0，对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0.由图象知，二次函数图象经过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，又4a－2b＋c＜0，∴4a－2b－a－b＜0，∴3a－3b＜0，∴a－b＜0，∴a＜b，故②正确；∵a＋b＋c ＝0，∴a＝－c－b，4a－2b＋c＜0，∴－4c－4b－2b＋c＜0，∴－6b－3c＜0，∴2b＋c＞0，故③正确；∵－1＜－b2a＜0，若对称轴x＝－b2a＞－12时，y随x增大不一定减小，故④不正确．5. 【答案】D6. 【答案】A【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a＋b＝2，把x＝1代入y＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.7. 【答案】B8. 【答案】A [解析] 令y ＝0可得x2－4x ＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，可得A(1，0)，B(3，0)．根据抛物线顶点坐标公式可得M(2，－1)．由点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上，可知抛物线向左平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度，根据抛物线的平移规律，可知平移后的抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)2＝x2＋2x ＋1，故选A.9. 【答案】C [解析] y ＝2※x ＝⎩⎨⎧2x 2（x ＞0），－2x 2（x ≤0）.当x ＞0时，图象是函数y ＝2x 2的图象在对称轴右侧的部分；当x ≤0时，图象是函数y ＝－2x 2的图象在对称轴左侧的部分．10. 【答案】B [解析] 用排除法判定．易知c ＝2.4.把(12，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得144a ＋12b ＋2.4＝0，即12a ＋15＋b ＝0.由图象可知a<0，对称轴为直线x ＝－b 2a ，且0<－b2a <6，∴b>0，∴12a ＋15<0，∴a<－160，即①成立，②不成立，故不可能选C 与D.∵－b2a <6，∴b<－12a.∵a<0，b>0，∴a<b<－12a ，∴④正确，而a －b ＋c 的取值不确定， ∴③不正确．故选B.二、填空题11. 【答案】88 m [解析] 把t ＝4代入函数解析式，得s ＝5×16＋2×4＝88.故填88m.12. 【答案】－1 [解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.13. 【答案】(1，4)【解析】∵A(0，3)、B(2，3)，两点纵坐标相同，∴A 、B两点关于直线x ＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∵当x ＝0时，y ＝3，∴c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝1时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4).14. 【答案】0 [解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.15. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．16. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.17. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）bb＝3－ 3.三、解答题18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－3.∴此二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点P 的坐标为(m ，n)． ∵△ABP 的面积为10， ∴12AB·|n|＝10，解得n ＝±5. 当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得m ＝－4或m ＝2，∴P(－4，5)或P(2，5)； 当n ＝－5时，m 2＋2m －3＝－5，此方程无解． 故点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)．19. 【答案】[解析] 先根据题意画出y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象，即可得出|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k 的取值范围．解：根据题意，得y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k ＞3.20. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝3x 2＋mx ＋n 经过点(－1，0)，(1，4)， ∴⎩⎨⎧0＝3－m ＋n ，4＝3＋m ＋n ， 解这个方程组，得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝3x 2＋2x －1. (2)当m ＝2，n ＝－1时，y ＝3x 2＋2x －1. ①∵a ＝3>0，∴抛物线开口方向向上． ∵y ＝3x 2＋2x －1＝3(x ＋13)2－43，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－13，顶点坐标为(－13，－43)． ②令y ＝0，则0＝3x 2＋2x －1， 解得x 1＝13，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(13，0)，(－1，0)； 令x ＝0，则y ＝3x 2＋2x －1＝－1， ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－1)．③由于抛物线开口方向向上，∴当x <－13时，y 随x 的增大而减小；当x >－13时，y 随x 的增大而增大；当x ＝－13时，y 有最小值，最小值为－43.④当－2<x ≤3时，在x ＝－13时，y 取得最小值，最小值为－43，在x ＝3时，y 取得最大值，最大值为y ＝3x 2＋2x －1＝3×32＋2×3－1＝32， ∴y 的取值范围为－43≤y ≤32.⑤由3x 2＋2x －1＝7，解得x 1＝－2，x 2＝43.又由于抛物线开口方向向上，因此当x >43或x <－2时，y >7. (3)∵抛物线与x 轴有公共点，∴对于方程3x 2＋2x ＋n ＝0，判别式Δ＝4－12n ≥0，∴n ≤13. 当n ＝13时，由方程3x 2＋2x ＋13＝0，解得x 1＝x 2＝－13.此时抛物线为y ＝3x 2＋2x ＋13，与x 轴只有一个公共点(－13，0)；当n ＜13时，令x 1＝－1，则y 1＝3－2＋n ＝1＋n ；令x 2＝1，则y 2＝3＋2＋n ＝5＋n .由－1＜x ＜1时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，抛物线的对称轴为直线x ＝－13，可知y 1≤0，且y 2＞0，即1＋n ≤0，且5＋n ＞0.解得－5＜n ≤－1.综上所述，n 的取值范围是n ＝13或－5＜n ≤－1.21. 【答案】解：(1)设y ＝a(x ＋1)(x －6)，把(5，－6)代入解析式，得a(5＋1)(5－6)＝－6，解得a ＝1，∴y ＝(x ＋1)(x －6)＝x2－5x －6.(2)存在．如图，分别过点P ，B 向x 轴作垂线，垂足为M ，N.设P(m ，m2－5m －6)，其中－1＜m ＜5，设四边形PACB 的面积为S ，则PM ＝－m2＋5m ＋6，AM ＝m ＋1，MN ＝5－m ，CN ＝6－5＝1，BN ＝6，∴S ＝S △AMP ＋S 梯形PMNB ＋S △BNC ＝12(－m2＋5m ＋6)(m ＋1)＋12(6－m2＋5m ＋6)(5－m)＋12×1×6＝－3m2＋12m ＋36＝－3(m －2)2＋48， 当m ＝2时，S 有最大值为48，这时m2－5m －6＝22－5×2－6＝－12，∴P(2，－12)．22. 【答案】(1)【思路分析】①建立坐标系时应使正方形内抛物线上点的坐标是正数，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，即可表示出O 、P 、A 三点的坐标；②用待定系数法即可求得抛物线的解析式．解：如解图，以OA 所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以OC 所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系．①O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；(3分)②设抛物线L 的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将点O ，P ，A 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝04a ＋2b ＋c ＝216a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝2c ＝0，∴抛物线L 的解析式为y ＝－12x 2＋2x.(6分)(2)【思路分析】用点E 的横坐标表示△OAE 与△OCE 的面积之和，根据二次函数的性质即可确定最大值．解：设点E 的横坐标为m.∵点E 在正方形内的抛物线上，∴点E 的纵坐标为－12m 2＋2m,∴S △OAE ＋S △OCE ＝12×4×(－12m 2＋2m)＋12×4×m ＝－m 2＋6m ＝－(m －3)2＋9.(10分)∴当m ＝3时，△OAE 与△OCE 的面积之和的值最大，最大值是9.(12分)。

2021-2022学年人教版九年级数学上册第22章《二次函数的应用》能力提高专题突破训练（附答案）一．选择题（共8小题）1．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a ≠0），若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒2．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t ﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s3．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（）m．A．3B．6C．8D．95．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的是（）A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x）C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x26．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌7．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（）A．35元B．36元C．37元D．36或37元8．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（）A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确C．两人均正确D．两人均错误二．填空题（共8小题）9．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为元时，网店该商品每天盈利最多．10．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为．11．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元．12．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为．13．一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度h（米）与经过的时间t（秒）满足以下函数关系：h＝﹣5t2+15t，则该球从弹起回到地面需要经过秒，距离地面的最大高度为米．14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需秒．15．如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如图所示建立平面直角坐标系，则该抛物线对应的函数关系式为．16．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为．三．解答题（共5小题）17．如图，马大爷在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1.2米的墙体A处，另一端固定在离墙体6米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用y＝x2+bx+c 表示．结合信息请回答：（1）直接写出b，c的值．（2）求大棚的最高点到地面的距离．（3）马大爷现库存7米钢材，准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架ECD对大棚进行加固（点D，E分别在x轴、y轴上，且CE∥x轴，CD∥y轴），就如何选取点C的问题，小明说：“点C取在抛物线的顶点处，库存钢材才够用”，小慧说“点C在抛物线上任意位置，库存钢材都够用”，请问谁的说法正确？说明理由．18．昆明斗南花卉市场是全国鲜花市场的心脏，也是亚洲最大的鲜花交易市场之一．斗南某兰花专卖店专门销售某种品牌的兰花，已知这种兰花的成本价为60元/盆．市场管理部门规定：每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．经过市场调查发现，该店某天的销售数量y（盆）与销售单价x（元/盆）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）在销售过程中，该店每天还要支付其他费用200元，求这一天销售兰花获得的利润w（元）的最大值．19．为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．20．某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？21．某校一面墙RS（长度大于32m）前有一块空地，校方准备用长32m的栅栏（A﹣B﹣C ﹣D）围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD分割成六块（如图所示），已知MN∥AD，EF∥GH∥AB，MB＝BF＝CH＝CN＝1m，设AB＝xm．（1）用含x的代数式表示：BC＝m；PQ＝m．（2）当长方形EPQG的面积等于96m2时，求AB的长．（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花圃的宽AB的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x＝＝10.5，∵10.5﹣8＝2.5，10.5﹣10＝0.5，12﹣10.5＝1.5，15﹣10.5＝4.5，根据抛物线的性质，在x轴上对称轴的两侧，距离对称轴越近的x对应的函数值越大，∴x＝10时，函数值最大，即第10秒炮弹所在高度最高，故选：B．2．解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．3．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1，故选：D．4．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．故选：B．5．解：设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，根据题意可得：y＝（5﹣x）（3﹣x），故选：B．6．解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，将（0，1），（20，11）分别代入，得：，解得：，∴y＝﹣（x﹣20）2+11＝﹣x2+x+1，故A错误；∵坡度为1：10，∴直线OA的解析式为y＝0.1x，当x＝40时，y＝0.1×40＝4，令y＝4，得﹣x2+x+1＝4，∴x2﹣40x+120＝0，解得x＝20±2≠40，∴B错误；设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，则h＝﹣x2+x+1﹣0.1x＝﹣x2+x+1，∴对称轴为x＝﹣＝18，∴h max＝9.1，故C正确；将喷灌架向后移动7米，则图2中x＝30时抛物线上的点的纵坐标值等于x＝37时的函数值，当x＝37时，y＝﹣×372+37+1＝3.775，在图2中，当x＝30时，点B的纵坐标为：0.1×30+2.3＝5.3＞3.775，故D错误．故选：C．7．解：设销售单价上涨x元，∵每件商品售价不能高于40元，∴0≤x≤10，依题意得：y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）＝（10+x）（240﹣10x）＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890，∴当x＝7时，y最大＝2890，∴每件商品售价为30+7＝37（元），故选：C．8．解：设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：S＝×x＝﹣x2+4x，∴对称轴为x＝﹣＝6，∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，∴当x＝5时，S有最大值：S max＝﹣×52+4×5＝﹣+20＝．∵9＜＜12，∴小明错误；令S＝9得：9＝﹣x2+4x，解得：x1＝9（舍），x2＝3，∴x＝3时，S＝9．∴隔离区的面积可能为9m2．故选：B．二．填空题（共8小题）9．解：设销售单价为x元，则每天可销售100﹣2（x﹣60）＝（220﹣2x）件，每天盈利w 元，依题意得：w＝（x﹣50）（220﹣2x）＝﹣2x2+320x﹣11000＝﹣2（x﹣80）2+1800，∵﹣2＜0，∴当x＝80时，w有最大值，最大值为1800元，故答案为：80．10．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO＝，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+，∴a＝﹣，∴大孔所在抛物线解析式为y＝﹣x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，﹣），∴﹣＝m（x﹣b）2，∴x1＝+b，x2＝﹣+b，∵MN＝4，∴|+b﹣（﹣+b）|＝4，∴m＝﹣，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y＝﹣，∴﹣＝﹣（x﹣b）2，∴x1＝+b，x2＝﹣+b，∴单个小孔的水面宽度＝|（+b）﹣（﹣+b）|＝5（米），故答案为：5米．11．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．故答案为：1264．12．解：设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，∵0＜100﹣2x≤30，∴35≤x＜50∴当x＝35时，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值，故答案为：1050平方米．13．解：当该球从弹起回到地面时h＝0，∴0＝﹣5t2+15t，解得：t1＝0或t2＝3，t＝0时小球还未离开地面，∴t＝3时小球从弹起回到地面；∵h＝﹣5t2+15t＝﹣5（t﹣）2+，﹣5＜0，∴当t＝时，h取得最大值；故答案为：3，．14．解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，∴MN的对称轴为直线x＝＝23，∴他通过整个桥面OA共需23×2＝46（秒）．故答案为：46．15．解：由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+16，把（0，0）代入得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣20）2+16，即y＝﹣x2+x，故答案为：y＝﹣x2+x．16．解：∵当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设此抛物线的解析式为y＝ax2+3.5，由图象可知，篮圈中心与y轴的距离为：4﹣2.5＝1.5（m），且篮圈中心距离地面高度为3.05m，∴篮圈中心的坐标为（1.5，3.05），代入y＝ax2+3.5，得：3.05＝a×1.52+3.5，∴a＝﹣0.2，∴y＝﹣0.2x2+3.5．故答案为：y＝﹣0.2x2+3.5．三．解答题（共5小题）17．解：（1）由题意得A（0，1.2），B（6，0），将A，B代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴b＝1，c＝1.2；（2）由（1）知，y＝x2+x+1.2＝﹣（x2﹣5x）+1.2＝﹣+2.45，∴大棚的最高点到地面的距离为2.45米；（3）由（2）可知y＝﹣+2.45的顶点为（2.5，2.45），①按小明说法：钢材长度为CE+CD＝2.5+2.45＝4.95＜7，∴小明说法正确；②按小慧说法：设C点坐标为（x，x2+x+1.2），∴CE+CD＝x x2+x+1.2＝7，x2+2x+＝7，x2﹣10x+29＝0，∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×29＝﹣16＜0，∴方程无解，∴钢材不够用，∴小慧说法错误．综上，小明说法正确．18．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），∵该函数图象过点（80，60），（110，30），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+140，∵每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．∴60≤x≤120，由上可得，y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+140（60≤x≤120）；（2）根据题意，得w＝（x﹣60）（﹣x+140）﹣200＝﹣x2+200x﹣8600＝﹣（x﹣100）2+1400，∵﹣1＜0，∴当x＝100时，w有最大值，此时w＝1400．答：这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元．19．解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，解得：，即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，，∴这辆货车不能安全通过；（3）设A点的坐标为，则OB＝m，，根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，∴BC＝12﹣2m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12﹣2m，，∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．20．解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）＝﹣5m2+50m+280＝﹣5（m﹣5）2+405，∴当m＝5时，W取得最大值，最大值为405元，答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，依题意，得：w＝（10﹣b）a+9×＝（10﹣6﹣b）a+3000，∵捐款后所得的利润始终不变，∴w值与a值无关，∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4，∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．21．解：（1）由题意可得，AB+BC+CD＝32，且CD＝AB＝x，∴BC＝32﹣2x，∵MB＝BF＝CH＝CN＝1，∴PQ＝FH＝BC﹣BF﹣HC＝（30﹣2x）m，故答案为：（32﹣2x），（30﹣2x）；（2）由（1）得，EP＝AM＝AB﹣MB＝x﹣1，∵长方形EPQG的面积等于96m2，∴EP⋅PQ＝（30﹣2x）（x﹣1）＝96（m），解得x1＝7，x2＝9，∴AB的长为7m或9m；（3）由题意可得，甲区域的面积为：2（x﹣1）+30﹣2x＝28（m2），乙区域的面积为：（30﹣2x）（x﹣1）+2＝﹣2x2+32x﹣28（m2）；设总费用为y元，则y＝100×28+50（﹣2x2+32x﹣28）＝﹣100x2+1600x+1400，∴y＝﹣100（x﹣8）2+7800，当x＝8时，y有最大值7800，所以种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花圃的宽AB是8m。

第22章二次函数专题训练一．选择题（共10小题）1．下列和之间的函数表达式中，是二次函数的是A．B．C．D．2．函数具有的性质是A．无论取何值，总是正的B．图象的对称轴是轴C．随的增大而增大D．图象在第一、三象限3．二次函数的图象与轴的交点坐标是A．B．，C．D．4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为A．B．C．D．5．抛物线为常数）的顶点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是A．B．C．D．7．对于二次函数，下列说法错误的是A．该二次函数图象的对称轴可以是轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是C．当时，的值随的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在轴的右侧8．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是A．B．C．D．10．二次函数的对称轴为．若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．二次函数图象的开口向．12．二次函数的最小值为．13．二次函数的图象的对称轴为．14．抛物线经过点，，抛物线所对应的函数表达式为．15．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线，则原抛物线的解析式是．16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．17．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是．18．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与二次函数的图象交于点在第二象限），经过点与轴垂直的直线与一次函数的图象交于点，当时，则的值为．三．解答题（共7小题）19．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，求当时，的值．20．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的一个交点坐标是．（1）求二次函数的解析式；（2）当为何值时，．21．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）是直线上方的抛物线上一动点，求的最大面积．22．如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为8米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米．（1）求与的函数关系式．（2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？（3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．23．如图，抛物线的图象与轴交，两点，与轴交于点点为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线关于直线对称后的抛物线记为，将抛物线关于点对称后的抛物线记为，点为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．24．在平面直角坐标系中，抛物线过，两点，（1）试求抛物线的解析式．（2）记抛物线顶点为，求的面积；（3）将直线向上平移个单位，所得的直线与抛物线段（包括端点、部分有两个交点，请求出的取值范围．25．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线的函数关系式；（2）动点能否在抛物线上？请说明理由；（3）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列和之间的函数表达式中，是二次函数的是A．B．C．D．解：、，是二次函数，所以选项正确；、，最高次数是3，不是二次函数，所以选项错误；、，右边不是整式，不是二次函数，所以选项错误；、，最高次数是1，不是二次函数，所以选项错误．故选：．2．函数具有的性质是A．无论取何值，总是正的B．图象的对称轴是轴C．随的增大而增大D．图象在第一、三象限解：二次函数解析式为，二次函数图象开口向上，当时随增大而减小，当时随增大而增大，对称轴为轴，无论取何值，的值总是非负，其图象的顶点为原点，原点不属于任何象限．故选：．3．二次函数的图象与轴的交点坐标是A．B．，C．D．解：当时，，所以二次函数的图象与轴的交点坐标为．故选：．4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为A．B．C．D．解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为，即，故选：．5．抛物线为常数）的顶点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：抛物线的顶点坐标为，，抛物线的顶点在第二象限，故选：．6．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是A．B．C．D．解：的图象的开口向下，，对称轴在轴的左侧，，一次函数的图象经过二，三，四象限．故选：．7．对于二次函数，下列说法错误的是A．该二次函数图象的对称轴可以是轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是C．当时，的值随的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在轴的右侧解：二次函数，当时，该函数的对称轴是轴，故选项正确；该函数的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故选项、正确；该函数的对称轴为，当时，，则此时对称轴在轴左侧，故选项错误；故选：．8．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．解：，对称轴是直线，即二次函数的开口向上，对称轴是直线，即在对称轴的右侧随的增大而增大，点关于直线的对称点是，，，故选：．9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是A．B．C．D．解：设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是：．故选：．10．二次函数的对称轴为．若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是A．B．C．D．解：抛物线的对称轴，，则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标，方程在的范围内有实数解，当时，，当时，，又，当时，在的范围内有解．的取值范围是，故选：．二．填空题（共8小题）11．二次函数图象的开口向下．解：二次函数，，该函数图象开口向下，故答案为：下．12．二次函数的最小值为5．解：由于二次函数中，，所以当时，函数取得最小值为5，故答案为5．13．二次函数的图象的对称轴为直线．解：二次函数，该函数图象的对称轴是直线，故答案为：直线．14．抛物线经过点，，抛物线所对应的函数表达式为．解：将，代入抛物线解析式得：，解得：，，则抛物线解析式为．故答案为：．15．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线，则原抛物线的解析式是．解：，将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线的解析式为：，即．故答案是：．16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元．解：设每顶头盔的售价为元，获得的利润为元，，当时，取得最大值，此时，故答案为：70．17．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是．解：设抛物线的表达式为：，将点代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：，令，则，即，故答案为．18．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与二次函数的图象交于点在第二象限），经过点与轴垂直的直线与一次函数的图象交于点，当时，则的值为或．解：设，则，由题意：，解得或，或，点在直线上，或，故答案为或．三．解答题（共7小题）19．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，求当时，的值．解：二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，，解得，，二次函数，当时，．20．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的一个交点坐标是．（1）求二次函数的解析式；（2）当为何值时，．解：（1）的图象与轴交于点，与轴的一个交点坐标是．，解得，，该函数的解析式为（2）令，则，解得：，，点的坐标为．当时，．21．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）是直线上方的抛物线上一动点，求的最大面积．解：（1）抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线过点，，，．把点，，代入得：，解得．抛物线解析式为；（2）如图，过点作轴的平行线与交于，与轴交于，设，则，，．当时，的面积最大，最大面积是．22．如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为8米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米．（1）求与的函数关系式．（2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？（3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．解：（1）由题可知，花圃的宽为米，则为米，这时面积；（2）由题意得：，解得，，，解得，不合题意，舍去，即花圃的宽为4米；（3）能，理由：，当时，有最大值为；故能围成面积比24米更大的花圃．围法：，即花圃的长为8米、宽为米，这时有最大面积平方米．23．如图，抛物线的图象与轴交，两点，与轴交于点点为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线关于直线对称后的抛物线记为，将抛物线关于点对称后的抛物线记为，点为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．解：（1）设解析式将代入得抛物线的解析式为；（2）抛物线的解析式为；抛物线的顶点为将抛物线关于直线对称后的抛物线记为，将抛物线关于点对称后的抛物线记为，抛物线解析式为：，抛物线解析式为：，点为抛物线的顶点，点，，点抛物线的对称轴上，点横坐标为3，若，则点坐标为或，若时，则点与点关于轴对称，点，若时，则，，点，综上所述：当点为或或或时，使得为等腰三角形24．在平面直角坐标系中，抛物线过，两点，（1）试求抛物线的解析式．（2）记抛物线顶点为，求的面积；（3）将直线向上平移个单位，所得的直线与抛物线段（包括端点、部分有两个交点，请求出的取值范围．解：（1）把，两点坐标代入得：，解这个方程组，得，抛物线的解析式为；（2），顶点，的面积．（3）由消去得到，当△时，直线与抛物线相切，，，当直线经过点时，，当直线经过点时，，直线向上平移个单位所得的直线与抛物线段（包括端点、部分有两个交点，．25．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线的函数关系式；（2）动点能否在抛物线上？请说明理由；（3）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．解：（1），把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线，即，抛物线的函数关系式为：．（2）动点不在抛物线上，理由如下：抛物线的函数关系式为：，函数的最小值为，，动点不在抛物线上；（3）抛物线的函数关系式为：，抛物线的开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，点，都在抛物线上，且，．。

人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练（一）（含答案）一．选择题（共10小题）1．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝x2﹣x（x+2）B．y＝x2﹣C．x＝y2 D．y＝（x﹣1）（x+3）2．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④当m＜﹣2时，am2+bm＞0．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．14．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+36．抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（）A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤37．如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限8．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上两点，若x1＜x2且x1+x2＝2﹣a．则（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1与y2大小不能确定10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．抛物线y＝2x2﹣ax+b与x轴相交于不同两点A（x1，0），B（x2，0），若存在整数a，b使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则ab＝．14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．17．如图，已知二次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求线段BC的长；（2）当0≤y≤3时，请直接写出x的范围；（3）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP，当∠BCP＝90°时，求点P的坐标．18．某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份，设该店每份套餐的售价为x元（x为正整数），每天的销售量为y份，每天的利润为w元．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）求出w与x的函数关系式；并求出利润w的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、y＝x2﹣x（x+2）＝﹣2x为一次函数；B、y＝x2﹣不是二次函数；C、x＝y2 不是函数；D、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3为二次函数．故选：D．2．解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．3．解：∵抛物线经过原点，∴c＝0，所以①正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以②正确；即x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+0＝3a，所以③错误；当x＜﹣2或x＞0时，y＞0，∴m＜﹣2时，am2+bm＞0．所以④正确．故选：B．4．解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a＞c＞b，故选：D．5．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．6．解：∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣，∵点A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，∴0＜|1+|≤，∴0＜≤，∴a≥1，把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：a+1﹣2a+3＝m，∴4﹣a＝m，∴a＝4﹣m，∴4﹣m≥1，∴m≤3，故选：D．7．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．8．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1＜x2且x1+x2＝2﹣a，∴＝1﹣a＜1，∴点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离，∴y1＞y2，故选：A．10．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：∵抛物线y＝2x2﹣ax+b，∴抛物线开口向上，∵1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，∴当x＝1时，y＞0；当x＝3时，y＞0；1＜对称轴x＜3；判别式△≥0．∴∴4＜a＜12，∵a是整数，则a＝5，6，7，8，9，10，11当a＝5时，无整数解；当a＝6时，无整数解；当a＝7时，b＝6；当a＝8时，b＝7；当a＝9时，无整数解；当a＝10时，b＝9；当a＝11时，无整数解，综上所述，整数a＝7，b＝6或a＝8，b＝7或a＝10，b＝9时，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立．故答案为：42或56或90．14．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y ＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在y＝（x﹣1）2﹣3中，∵a＝＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，当y＝0时，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△BOC中，BC＝＝5，（2）由（1）可知y＝0时，x＝﹣1或4，当y＝3时，x＝0或3，观察图象可得当0≤y≤3时，x的取值范围是：﹣1≤x≤0或3≤x≤4．（3）过点P作PD⊥y轴，设点P坐标为（x，），则点D坐标为（0，），∴PD＝x，CD＝﹣3＝，∵∠BCP＝90°，∴∠PCD+∠BCO＝90°，∵∠PCD+∠CPD＝90°，∴∠BCO＝∠CPD，∵∠PDC＝∠BOC＝90°，∴△PDC∽△COB，∴，∴，∴x＝或x＝0（舍去），当x＝时，y＝，∴点P坐标为（，）．18．解：（1）∵每份售价超过10元且每天的销售量不为负数，∴y＝300﹣30（x﹣10）＝﹣30x+600，∵﹣30x+600≥0，∴x≤20．（2）当7≤x≤10时，w＝300（x﹣7）﹣200＝300x﹣2300；当10＜x≤20时，w＝（﹣30x+600）（x﹣7）﹣200＝﹣30x2+810x﹣4400．∴w＝，∵当7≤x≤10时，∵k＝300＞0，y随x增大而增大，∴当x＝10时，w最大值＝700元；∵当10＜x≤20时，∵a＝﹣30＜0，w有最大值，∴当时，∵x取整数，∴x应取13或14，w最大，∴x＝13时，w取最大值：元．∵700＜1060，∴每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC＝AB•OC＝×6×16＝48．20．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），∴﹣＝1，＝2，解得m＝﹣2，n＝3；（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，∴﹣2≤x Q≤2，由图象可知，2≤y Q≤11即2≤b≤11．（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，∴n＝0，∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．。

实际问题与二次函数——专项突破训练【有答案】一．选择题1．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣x2+x+，则小强此次成绩为（）A．8米B．10米C．12米D．14米2．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则该函数的最小值是（）A．﹣1B．0C．1D．23．用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（）A．y＝x2B．y＝﹣x2+40x C．y＝﹣x2+20x D．y＝﹣x2+204．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣5．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c （a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟6．二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣37．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再下降1.5m，水面宽度为（）m．A．4.5B．2C．2D．28．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（）A．3.2B．0.32C．2.5D．1.69．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间10．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）二．填空题11．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为．12．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y 关于x的函数关系式为．13．某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组拱桥都为抛物线的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面AB的距离）都为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B．则桥长AB＝米．14．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为．15．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．三．解答题16．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．17．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．18．用长12m的一根铁丝围成长方形．（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？19．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距米．（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点，并说明理由．20．学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品，试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该产品的成本价是40元/件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？（3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？参考答案一．选择题1．解：在y＝﹣x2+x+中，当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝10，即小强此次成绩为10米，故选：B．2．解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），∵此抛物线开口向上，∴此函数有最小值，最小值为﹣1；故选：A．3．解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，∴另一边长为＝20﹣x（cm），∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x，故选：C．4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，。

人教版数学九年年级上册第22章二次函数测试卷（1）第22章二次函数测试卷（1）一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c ＞0，b2﹣4ac＞03．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（）A． B．C． D．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（）A．① B．② C．③ D．④9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c ＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．ac＞0 D．bc＜013．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．414．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．416．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：① ab＞0；②‚方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③ƒa+b+c＞0；④当x＞1时，随x值的增大而增大．其中正确的说法有.18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= .19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P 分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为.三、解答题20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）(1)求该抛物线的解析式；(2)求梯形COBD的面积.22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A （0，﹣2），B（3，4）.(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长.注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式.26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）.答案一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c ＞0，b2﹣4ac＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴a，b异号即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0．故选D．【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac ＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．【解答】解：如图，∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+=0，∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0，所以③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，∴2x1=，即x1=，而﹣2＜x1＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∵a＜0，∴﹣4a＞c＞﹣2a，∴2a+c＞0，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．【专题】选择题【难度】易【分析】根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣1，x=3；根据图象可得x=1时，y ＞0；根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大．【解答】解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；故选B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI 还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（）A． B．C． D．【考点】二次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．【专题】选择题【难度】易【分析】根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴根据反比例函数的性质可得m＜0；该反比例函数图象经过第二、四象限，∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．∴只有A选项符合．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】分别结合图象判定出x=1，﹣1，2时对应y的值，再利用对称轴位置以及抛物线与坐标轴交点得出答案．【解答】解：如图所示：当x=1时，y=a+b+c＜0，故①a+b+c ＜0正确；当x=﹣1时，y=a+b+c＜0，故②a﹣b+c＞0，错误；③∵﹣＞﹣1，∴＜1，∴b＞2a，即2a﹣b＜0，故此选项正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵0＞﹣＞﹣1，∴b＜0，∵抛物线与y轴交与负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，故选项④正确；当x=2时，⑤y=4a+2b+c＜0，故此选项错误，故错误的有2个．故选B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（）A．① B．② C．③ D．④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标即可确定；②根据抛物线与x轴的交点情况即可判定；③根据抛物线的对称轴即可判定；④根据抛物线的顶点纵坐标即可判定．【解答】解：①抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，故①正确；②抛物线与x轴相交于两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为x=，∴x=﹣=，∴a+b=0，故③正确；④∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴=1，∴4ac﹣b2=4a，故④错误；其中错误的是④．故选D．【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用．9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c ＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，y＞0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵b=﹣2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②正确；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以④正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选D．【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵＜3，∴y2＜y1，∴④正确；故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．ac＞0 D．bc＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c 小于0，即可作出判断．【解答】解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＜0，则ac＞0，bc＞0，故选C．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】选择题【难度】易【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，（故①正确）；∵﹣1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，（故②正确）；∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．综上所述，正确的个数有4个；故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【难度】易【分析】先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则点（0，5）到对称轴的距离大于点（10，8）到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，而（0，5）、（10，8）两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：① ab＞0；②‚方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③ƒa+b+c＞0；④当x＞1时，随x值的增大而增大．其中正确的说法有.【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】填空题【难度】中【分析】①由抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，判断a，b与0的关系，得到 ab＜0；故①错误；②由抛物线与x轴的交点坐标得到方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；③由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故③正确；④根据对称轴x=1，得到当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＞0∴ ab＜0；故①错误；②∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；③当x=1时，a+b+c＞0；故③正确；④∵当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= .【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】填空题【难度】中【分析】把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=﹣4，即可得出a+c的值．【解答】解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：，①+②得：2a+2c=﹣4，则a+c=﹣2；故答案为：﹣2．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值．19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P 分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为.【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】填空题【难度】中【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得 x=2或x=﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．∴当x=1时，C最大值=6，．即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【专题】填空题【难度】中【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．故答案为：四．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）(1)求该抛物线的解析式；(2)求梯形COBD的面积.【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【专题】解答题【难度】难【分析】(1)将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；(2)抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．【解答】解：(1)将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，解得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；(2)对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，∴CD=1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），即OB=3，则S梯形COBD==6．【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．【专题】解答题【难度】难【分析】(1)根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；(2)因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC 与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．【解答】解：(1)由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；(2)∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A （0，﹣2），B（3，4）.(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.。

【22.2二次函数与一元二次方程】综合训练（一）一．选择题1．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）A．2B．3C．4D．52．二次函数y＝x2+2x+4与坐标轴有（）个交点．A．0B．1C．2D．33．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图形与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣14．已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（）（1）2a+b＝0；（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．A．1B．2C．3D．45．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（）A．0B．﹣4C．4D．26．已知一个直角三角形的两边长分别为a和5，第三边长是抛物线y＝x2﹣10x+21与x轴交点间的距离，则a的值为（）A．3B．C．3或D．不能确定7．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个8．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点A（0，﹣1），B（﹣2，y1），C（3，y2），D（，y3），且与x轴没有交点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y19．对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（）①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④10．设抛物线y＝ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为M，与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S．下面哪个选项的抛物线满足S＝1．（）A．y＝﹣3（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣0.5）（x+1.5）C．y＝x+1D．y＝（a2+1）x2﹣4x+2（a为任意常数）二．填空题11．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2+c＝3b﹣bx的解是．12．若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴两交点间的距离为．13．若抛物线y＝x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，则整数m的值为．14．已知抛物线y＝3x2+2x+c，当﹣1≤x≤1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则c的取值范围．15．已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m、h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则抛物线y＝m（x﹣h+3）2与直线y＝k的交点的横坐标是．三．解答题16．已知二次函数的图象经过点（3，0），对称轴是直线x＝﹣2，与y轴的交点（0，﹣3）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标；（2）求抛物线的解析式．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（1，0），B（t，0）两点，求m的值．18．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）画出该二次函数的图象；（2）连接AC、CD、BD，则四边形ABCD的面积为．19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C．请解答下列问题：（1）求抛物线的函数解析式并直接写出顶点M坐标；（2）连接AM，N是AM的中点，连接BN，求线段BN长．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．20．已知抛物线y＝x2﹣（4﹣k）x﹣3的对称轴是直线x＝1，此抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若抛物线的顶点为P，求线段PC的长．参考答案一．选择题1．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，则二次函数y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，故选：B．2．解：∵二次函数y＝x2+2x+4，∴当y＝0时，0＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，此时方程无解，当x＝0时，y＝4，∴二次函数y＝x2+2x+4与坐标轴有1个交点，故选：B．3．解：当y＝0时，（x﹣a）（x﹣b）＝0，解得x1＝a，x2＝b，抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与x 轴的交点为（a，0），（b，0），所以M＝2，当y＝0时，（ax+1）（bx+1）＝0，当a≠0，b≠0，解得x1＝﹣，x2＝﹣，抛物线y＝（ax+1）（bx+1）与x轴的交点为（﹣，0），（﹣，0），此时N＝2，当a＝0，b≠0，或b＝0，a≠0时，函数y＝（ax+1）（bx+1）为一次函数，则N＝1，所以M＝N，M＝N+1．故选：C．4．解：（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，∴a＜0，﹣＝2，即b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故结论正确；（2）函数y＝ax2+bx+c中，令y＝0，则ax2+bx+c＝0，∵即b＝﹣2a，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4ac＝4a（a﹣c），∵a＜0，c＞a，∴△＝4a（a﹣c）＞0，∴当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；（3）∵b＝﹣2a，∴﹣＝1，＝＝c﹣a，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），当x＝1时，直线y＝ax+b＝a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方，故结论正确；（4）∵b＝﹣2a，∴由2a﹣mb﹣m＝0，得到﹣b﹣mb﹣m＝0，∴b＝﹣，如果b＜3，则0＜﹣＜3，∴﹣＜m＜0，故结论正确；故选：C．5．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，即﹣＝0，∴b＝0，∴25a+c＝0，∵a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx，a（x﹣2）2+c＝0，∴a（x﹣2）2＝25a，∴（x﹣2）2＝25，解得x1＝7，x2＝﹣3，即关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解为x1＝7，x2＝﹣3．∴x1+x2＝4．故选：C．6．解：∵y＝x2﹣10x+21＝（x﹣3）（x﹣7），∴当y＝0时，x1＝3，x2＝7，∵7﹣3＝4，∴直角三角形的第三边长为4，当5为斜边时，a＝＝3，当a为斜边时，a＝＝，由上可得，a的值为3或，故选：C．7．解：（1）如图，抛物线开口方向向下，则a＜0，故结论正确；（2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，故b＞0，故结论正确；（3）如图，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故结论错误；（4）由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝﹣＞0．结合a＜0知，2a+b＜0，故结论正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．8．解：∵抛物线过A（0，﹣1），而抛物线与x轴没有交点，∴抛物线开口向下，即a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而B点到直线x＝1的距离最大，D点到直线x＝1的距离最小，∴y1＜y2＜y3．故选：D．9．解：∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，故①正确；对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②正确；∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝＝2+，∴若k＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，故③正确；∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），∴当y＝0时，x1＝+1，x2＝3，∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，故④错误；故选：A．10．解：对于y＝﹣3（x﹣1）2+1，M（1，1），N（0，﹣2），直线MN的解析式为y＝3x﹣2，直线MN与x轴的交点坐标为（，0），此时S＝×2×＝；对于y＝2（x﹣0.5）（x+1.5），则y＝2（x+）2﹣2，M（﹣，﹣2），N（0，﹣），直线MN的解析式为y＝x﹣，直线MN与x轴的交点坐标为（，0），此时S＝×（﹣）×＝；对于y＝x2﹣x+1，则y＝（x﹣2）2﹣，M（2，﹣），N（0，1），直线MN的解析式为y＝﹣x+1，直线MN与x轴的交点坐标为（，0），此时S＝×1×＝；故选：D．二．填空题11．解：∵a（x﹣3）2+c＝3b﹣bx，∴a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝0，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0），∴x﹣3＝﹣2或1，∴a（x﹣3）2+c＝3b﹣bx的解是1或4，故答案为：x1＝1，x2＝4，12．解：抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1．∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．则两交点间的距离为4．故答案是：4．13．解：当y＝0时，x2﹣2mx+4m﹣8＝0，∴x＝m±；∵抛物线y＝x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，∴为整数，∴m2﹣4m+8为整数的完全平方数，即（m﹣2）2+4为整数的完全平方数，∵m为整数，∴m﹣2＝0，即m＝2．故答案为2．14．解：抛物线为y＝3x2+2x+c，与x轴有且只有一个公共点．对于方程3x2+2x+c＝0，判别式△＝4﹣12c＝0，有c＝．①当c＝时，由方程3x2+2x+＝0，解得x1＝x2＝﹣．此时抛物线为y＝3x2+2x+与x轴只有一个公共点（﹣，0）；②当c＜时，x1＝﹣1时，y1＝3﹣2+c＝1+c；x2＝1时，y2＝3+2+c＝5+c；由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x＝﹣，应有y1＜0，且y2≥0即1+c＜0，且5+c≥0．解得：﹣5≤c＜﹣1．综合①，②得n的取值范围是：c＝或﹣5＜c≤﹣1，故答案为c＝或﹣5≤c＜﹣1．15．解：由得，m（x﹣h+3）2﹣k＝0，∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m、h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，∴方程m（x﹣h+3）2﹣k＝0中的根满足x3+3＝2，x4+3＝5，解得，x3＝﹣1，x4＝2，即抛物线y＝m（x﹣h+3）2与直线y＝k的交点的横坐标是﹣1或2，故答案为：﹣1或2．三．解答题16．解：（1）∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴是直线x＝﹣2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣7，0）；（2）设抛物线解析式为y＝a（x+7）（x﹣3），把（0，﹣3）代入得a（0+7）（0﹣3）＝﹣3，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝（x+7）（x﹣3），即y＝x2+x﹣3．17．解：（1）△＝[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△＝（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）将x＝1代入一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0中得12﹣（m﹣3）﹣m＝0，解得m＝2．18．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），解方程x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），如图，（2）连接OD，如图，四边形ABCD的面积＝S△AOC +S△OCD+S△OBD＝×1×3+×3×1+×3×4＝9．故答案为9．19．解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+2，∵y＝﹣（x+1）2+，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，）；（2）∵N是AM的中点，∴N点的坐标为（﹣，），∴BN＝＝．20．解：（Ⅰ）由抛物线对称轴是直线x＝1得到：﹣＝1，得k＝2．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．解方程x2﹣2x﹣3＝0得：x1＝3，x2＝﹣1．∴AB＝4．当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3）．所以△ABC的面积S＝＝6．（Ⅱ）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，所以顶点P的坐标为P（1，﹣4）．∴PC＝＝．。

第22章《二次函数》培优训练（一）一．选择题1．若y＝（m﹣2）x2﹣x+1是二次函数，则（）A．m≠0 B．m＞2 C．m＜2 D．m≠22．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3 3．若抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定4．若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．当x＝1时，y的最大值为﹣4D．当x≥2时，y随x增大而增大5．已知抛物线y＝（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y 1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y36．心理学家发现：学生对提出概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间满足二次函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43．则使学生对概念的接受能力最大．则提出概念的时间应为（）A．13min B．26min C．52min D．59.9min7．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③使y≤3成立的x的取值范围是x≥0；④一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．b2﹣4ac≥0B．关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根C．a﹣b+c＝0D．当y＞0时，﹣1＜x＜310．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，与纵坐标y的对应值如表：X……﹣2 ﹣1 0 1 2 ……y……0 4 6 6 4 ……从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）；②抛物线与y 轴的交点为（0，6）；③抛物线对称轴为x ＝1；④在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象的对称轴为直线x ＝1，且（x 1，y 1），（x 2，y 2）为其图象上的两点（ ）A ．若x 1＞x 2＞1，则（y 1﹣y 2）+a （x 1﹣x 2）＞0B ．若1＞x 1＞x 2，则（y 1﹣y 2）+a （x 1﹣x 2）＞0C ．若1＞x 1＞x 2，则（y 1﹣y 2）+2a （x 1﹣x 2）＜0D ．若x 1＞x 2＞1，则（y 1﹣y 2）+2a （x 1﹣x 2）＜012．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：①b ＞0；②2a +b ＝0；③4a ﹣2b +c ＜0；④a +b +c ＞0；⑤关于x 的方程0＝ax 2+bx +c 的另一个解在﹣2和﹣3之间，其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题 13．已知抛物线的顶点是点（0，1），且经过点（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ．14．当二次函数y ＝x 2+m （x ＞﹣1且m ＜0）与y ＝x 有且只有一个交点时，m 的取值范围是 ．15．把二次函数y＝x2﹣4x+5配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，得，这个函数的图象有最点，这个点的坐标为．16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m ＝0的解为．，0）和（1，0），与y轴交于正半轴，且﹣2 17．函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1＜﹣1，则下列结论：①b＞0；②b＜a；③﹣a＜c＜﹣2a；④对于任意正整数x均有＜x1ax2﹣a+bx+b＜0，其中正确的有．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＜0；②c＜0；③a﹣b+c＜0；④2a+b＝0．其中正确结论有．三．解答题19．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B 的坐标为（1，0）（1）求点D坐标；（2）将抛物线y＝x2适当平移，使得平移后的抛物线同时经过点B与点D，求平移后抛物线解析式，并说明你是如何平移的．20．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？21．某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗30千克，据市场预测，该产品的销售价y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）为获得最大销售利润，该批发商应该在进货后第几天将这批产品一次性卖出？最大销售利润是多少？22．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵函数y ＝（m ﹣2）x 2+2x ﹣1是二次函数，∴m ﹣2≠0，∴m ≠2．故选：D ．2．解：将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，得y ＝2（x +3）2；故所得抛物线的解析式为y ＝2（x +3）2．故选：A ．3．解：∵抛物线y ＝x 2﹣mx +9的顶点在x 轴上，∴b 2﹣4ac ＝m 2﹣36＝0，∴m ＝±6，故选：C ．4．解：把（0，﹣3）代入y ＝x 2﹣2x +c 中得c ＝﹣3，抛物线为y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，所以：抛物线开口向上，对称轴是x ＝1，当x ＝1时，y 的最小值为﹣4，当x ≥2时，y 随x 增大而增大观察选项，B 选项符合题意．故选：C ．5．解：因为a ＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，C （2，y 3）和（0，y 3）关于直线x ＝1对称，因为﹣2＜﹣1＜0，故y 1＞y 2＞y 3，故选：A ．6．解：∵y ＝﹣0.1x 2+2.6x +43＝﹣0.1（x ﹣13）2+59.9∴当x ＝13时，y 取得最大值，故选：A ．7．解：如图，把C 点纵坐标y ＝3.05代入y ＝0.2x 2+3.5中得：x ＝±1.5（舍去负值），即OB ＝1.5，所以l ＝AB ＝2.5+1.5＝4．故选：C ．8．解：观察图形可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），所以二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4，故①正确，当x ＝2时，y ＜0，∴4a +2b +c ＜0，故②正确，观察图形可知，使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0或x ≤﹣2，故③错误，观察图象可知，一元二次方程ax 2+bx +c ＝1的两根之和为﹣2，故④错误，故选：B ．9．解：A 、∵抛物线的图形与x 轴有两个交点，∴△＞0，故本选项符合题意．B 、∵抛物线与直线y ＝3有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣3＝0有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．C 、∵x ＝﹣1时，∴y ＝a ﹣b +c ＝0，故本选项不符合题意．D 、∵抛物线与x 轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∴当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故本选项不符合题意．故选：A ．10．解：∵x ＝0，y ＝6，∴抛物线经过点（0，6），所以②正确，而抛物线经过点（1，6），∴抛物线的对称轴为直线x ＝，所以③错误；∵抛物线经过点（﹣2，0），∴抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），所以①正确；∵a ＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，所以④正确；故选：C ．11．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象的对称轴为直线x ＝1，且（x 1，y 1），（x 2，y 2）为其图象上的两点，。

【二次函数】期末突破训练一．选择题1．抛物线y＝﹣2（x+1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝0C．直线x＝﹣1D．直线x＝22．把抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3B．y＝﹣3（x+2）2﹣3C．y＝﹣3（x﹣3）2+2D．y＝﹣3（x﹣3）2﹣23．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．5．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣36．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s7．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）8．当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（）A．（1，0）和（﹣3，0）B．（﹣1，0）C．（3，0）D．（﹣1，0）和（3，0）9．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2020的值为（）A．2018B．2019C．2020D．202110．若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n 的最小值（）A．﹣B．C．D．﹣二．填空题11．将抛物线y＝x2﹣4x向上平移3个单位，再向右平移3个单位得到的抛物线解析式是．12．抛物线y＝x2+2x+m顶点在第二象限，则m的取值范围是．13．抛物线y＝（k+1）x2﹣2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．14．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是．15．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c ＝0的根为．三．解答题16．已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．17．某果农在其承包的果园中种植了60棵桔子树，每棵桔子树的产量是100kg，果农想增加桔子树的棵数来增产，但增加果树会导致每棵树的光照减少，使得单棵果树产量减少，试验发现每增加1棵桔子树，单棵桔子树的产量减少0.5kg．（1）在投入成本最低的情况下，增加多少棵桔子树时，可以使果园总产量达到6650kg？（2）设增加x棵桔子树，考虑实际增加桔子树的情况，10≤x≤40，请你计算一下，果园总产量最多为多少kg，最少为多少kg？18．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓，我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围；（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？19．已知抛物线y＝x2+（2m﹣4）x+m2﹣4m﹣5．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为P．判断△ABP的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；（3）当m﹣3≤x≤m+2时，抛物线对应的函数有最小值7，求m的值．20．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN ∥x轴交直线L于点N，求MN的最大值．。

【二次函数】期末综合训练（一）一．选择题1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝x2B．y＝3x+1C．y＝ax2+bx+c D．y＝2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为2，则（）A．a＞0，b2﹣4ac＝0B．a＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b2﹣4ac＝0D．a＜0，b2﹣4ac＞03．如果抛物线y＝（2﹣a）x2开口向下，那么a的取值范围是（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣24．当﹣1＜k＜3时，则直线y＝k与函数y＝交点个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．将二次函数y＝x2+2x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x+1）2﹣2D．y＝（x﹣1）2﹣26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣37．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）9．如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣3的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为（）A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣310．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是（）A．﹣2B．3C．﹣3D．﹣6二．填空题11．把二次函数y＝ax2的图象向左平移1个单位后经过点（0，﹣2），所得到的抛物线的解析式是．12．已知抛物线y＝ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为．13．若函数y＝x2+2x﹣b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是．14．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2+2t，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为秒．15．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c ＝0的解是．三．解答题16．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式．17．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？（3）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？18．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每台售价（元）与月销量（台）满足的函数关系式如下表所示．已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为w元．每台售价（元）303132…30+x月销售量（台）180170160…y（1）上述表格中，y＝（用含x的代数式表示）；（2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应上涨多少元？（3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？19．（1）若关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，求a的取值范围．（2）若x1，x2是关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0的两实数根，且k||＝kx1﹣12x2+2，求k 的值．（3）若x1，x2，x3，是关于x的方程x（x﹣2）2＝t的三个实数根，且x1＜x2＜x3；则x3﹣x1的最大值为．20．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：（1）若x☆3＝1，求x的值；（2）求抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标；（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．。

九年级上册第22章训练题（一）一．选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣1C．y＝D．y＝x2++1 2．关于二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，下列说法正确的是（）A．最小值为5B．最大值为1C．最大值为﹣1D．最大值为5 3．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）A．m≤0B．0＜m≤1C．m≤1D．m≥14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如右图所示，若M＝5a+4c，N＝a+b+c，则（）A．M＞0，N＞0B．M＞0，N＜0C．M＜0，N＞0D．M＜，N＜0 5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q （m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（）A．﹣8B．﹣2C．0D．67．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．49．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1 10．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3二．填空题11．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝．12．二次函数y＝x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是．13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有．14．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是m．15．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴有两个交点A，B，顶点为C．若△ABC 恰好是等边三角形，则代数式b2﹣2（2a﹣5）＝．三．解答题16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为P（h，k），h≠0．（1）若该函数图象过点（2，1），（5，7），h＝3．①求该函数解析式；②t≤x0≤t+1，函数图象上点Q（x0，y0）到x轴的距离最小值为1，则t的值为；（2）若点P在函数y＝x2﹣3x+c的图象上，且≤a≤2，求h的最大值．17．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）把它变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式：；（2）它的顶点坐标是；当x时，y随x的增大而减小．（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（4）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．18．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆；若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？19．阅读以下材料：对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1，…解决下列问题：（1）填空：如果min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围为；（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；②根据①，你发现了结论：如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么（填a、b、c的大小关系），证明你发现的结论．③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，+2x﹣y}，则x+y（3）在同一直角坐标系中作出函数y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x是正比例函数，故本选项不符合题意；B、y＝2x2﹣1是二次函数，故本选项符合题意；C、y＝不是二次函数，故本选项不符合题意；D、y＝x2++1不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：B．2．解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，可得函数开口向下，∴函数有最大值，∴当x＝﹣1时，函数有最大值5，故选：D．3．解：∵函数的对称轴为x＝m，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵x＞1时，y随x的增大而减小，∴m≤1．故选：C．4．解：∵当x＝2.5时，y＝a+b+c＞0，∴25a+10b+4c＞0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴25a﹣20a+4c＞0，即5a+4c＞0，∴M＞0，∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴N＞0，故选：A．5．解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，当x＝时，y＜0，即a+b+c＜0，即a+2b+4c＜0，∴5a+4c＜0．∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C．6．解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．7．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．故选：D．8．解：①当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝，则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），故①正确，符合题意；②由题意得：ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝x﹣1，化简得：x2﹣2x+1＝0，△＝22﹣4＝0，故抛物线图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点，故②正确，符合题意；③该抛物线对称轴为x＝1﹣，顶点的纵坐标为y＝，则y＝（1﹣）﹣，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，所以③正确，符合题意；④由①知，二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），故无论a取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故④正确，符合题意．故选：D．9．解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x＝﹣＝1，即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．10．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1＝4，∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m＝﹣3，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：由韦达定理得：x1+x2＝﹣＝2，故答案为2．12．解：当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以二次函数y＝x2﹣3x+2x的图象与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）．故答案为（1，0）、（2，0）．13．解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，∴a＞0，﹣＞0，c＜0，∴b＜0，∴ab＜0，说法①正确；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，说法②正确；③∵当x＝2时，函数y＜0，∴4a+2b+c＜0，说法③正确；④∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵图象开口向上，∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y＜0时，﹣1＜x＜3，说法⑤错误；⑥∵当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，∴抛物线的对称轴为直线x＝1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∵c＜0，∴3a+2c＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．14．解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，把点A（0，5）代入抛物线解析式得：a＝﹣，∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3（m）．故答案为3．15．解：如图，过C作CE⊥AB于E．当△ABC等边三角形时，CE＝AC•sin60°＝AC＝AB，令y＝ax2+bx+1＝0，解得x＝，则AB＝＝，而CE＝﹣，即＝＝×，∵b2﹣4a＞0，故b2﹣4a＝12．则b2﹣2（2a﹣5）＝b2﹣4a+10＝22，故答案是22．三．解答题（共5小题）16．解：（1）①设解析式为y＝a（x﹣h）2+k，将（2，1），（5，7），h＝3代入，得解得a＝2，k＝﹣1，所以，解析式为y＝2（x﹣3）2﹣1，即y＝2x2﹣12x+17，②把y＝1代入y＝2x2﹣12x+17求得x＝2或4，把y＝﹣1代入y＝2x2﹣12x+17求得x＝3，∵t≤x0≤t+1，函数图象上点Q（x0，y0）到x轴的距离最小值为1，∴t＝1或t＝4，故答案为t＝1或t＝4．（2）设解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由y＝ax2+bx+c（a≠0）知图象过（0，c），∴c＝ah2+k．∵点P在函数y＝x2﹣3x+c的图象上，∴k＝h2﹣3h+c，∴h2﹣3h+ah2＝0，∵h≠0，∴，∵，h随a的增大而减小，∴当时，h的值最大，h的最大值为2．17．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为（1，﹣4），＜1；（3）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…描点，连线画出函数图象如图：（3）当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．18．解：（1）设进价为x元，则由题意得：（1500×0.9﹣x）×8＝（1500﹣100﹣x）×7，解得：x＝1000，∴改型号自行车进价1000元；（2）设自行车降价x元，获利为y元，则：＝＝，∴对称轴：x＝100，∵，∴当x＝100时，＝32000，答：降价100元时每月利润最大，最大利润为32000元．19．解：（1）由min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得，即0≤x≤1，故答案为：0≤x≤1；（2）①∵M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，∴，解得：，∴x＝1；②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令＝a，即b+c＝2a；又∵，解之得：a+c≤2b，a+b≤2c；把b+c＝2a代入a+c≤2b可得c≤b；把b+c＝2a代入a+b≤2c可得b≤c；∴b＝c；将b＝c代入b+c＝2a得c＝a；∴a＝b＝c，故答案为：a＝b＝c；③据②可得，解之得y＝﹣1，x＝﹣3，∴x+y＝﹣4，故答案为：＝﹣4；（3）作出图象，由图可知min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为1，故答案为：1．20．解：（1）令x＝0，则c＝﹣4，将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，∴2a+b＝2；（2）当a＞0时，∵A（0，﹣4）和B（2，0），∴对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，∴0＜a≤1；当a＜0时，对称轴x＝1﹣≥2，∴﹣1≤a＜0；综上所述：﹣1≤a≤1且a≠0；（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，∴对称轴x＝1﹣＝﹣1，∴a＝；②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，∴N点在y＝﹣2x﹣3上，联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，∵p+（﹣2﹣p）＝，∴a＝1．。

九年级数学上册第二十二章二次函数考点突破单选题1、点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m >2B ．m >32C ．m <1D ．32<m <2答案：B分析：根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．解：∵点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上，∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ， y 2=（m -1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ， ∴（m -2）2-（m -1）2＜0， 即-2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B ．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．2、抛物线y =x 2−x −1经过点（m ，3），则代数式m 2−m −1的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D分析：将点（m ，3）代入代数式中即可得到结果．解：将点（m ，3）代入m 2−m −1中得，m 2−m −1=3，故代数式m 2−m −1的值为3，故选：D ．小提示：本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．3、小明在研究抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A．无论x取何实数，y的值都小于0B．该抛物线的顶点始终在直线y=x−1上C．当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则ℎ≥2D．该抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，则y1>y2答案：C分析：根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．解：A．∵y=−(x−ℎ)2−ℎ+1，∴当x=ℎ时，y max=−ℎ+1，当ℎ<1时，y max=−ℎ+1>0，故错误；B．∵抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1的顶点坐标为(ℎ，−ℎ+1)，当x=ℎ时，y=−ℎ−1≠−ℎ+1，故错误；C．∵抛物线开口向下，当−1<x<2时，y随x的增大而增大，∴ℎ≥2，故正确；<ℎ，∴点A到对称轴的距离大D．∵抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，∴x1+x22于点B到对称轴的距离，∴y1<y2，故错误．故选C．小提示：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4、抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对答案：D分析：根据二次函数图象及性质，即可判定．∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2＞0，x1≤0且x2+x1＞0，或x2＜0，x1＞0且x2+x1＜0，故选：D．小提示：本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．5、二次函数y=ax2+b的图像如图所示，则一次函数y=ax+b的图像可能是（）.A．B．C．D．答案：C分析：由二次函数的图像可得a<0，b>0，根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案．解：∵二次函数图像开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，b>0，∴y=ax+b的图像经过一、二、四象限，与y轴交于正半轴，∴选项C符合题意，故选：C．小提示：本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题关键．6、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x=3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(3,9)B．(3,−9)C．(−3,9)D．(−3,−9)答案：A分析：根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b=3，2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．小提示：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．7、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．8、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y＝ax＋b的图象不可能是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合；当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意；当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意；当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴，故选D.小提示：本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．9、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．10、二次函数y=x2−2x+1的对称轴为（）A．直线x=4B．直线x=2C．直线x=−2D．直线x=1答案：D分析：根据y=x2−2x+1=(x−1)2，即可求得．解：∵y=x2−2x+1=(x−1)2∴该二次函数的对称为直线x=1，故选：D.小提示：本题考查了求二次函数的对称轴问题，熟练掌握和运用求二次函数对称轴的方法是解决本题的关键．填空题11、如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．答案：3√2分析：由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．解：连接PB，对于抛物线y=-x2+k，对称轴是y轴，∴PC=PB，∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，所以点B的坐标为（-2，0），所以BD=√(−2−1)2+32=3√2，所以答案是：3√2．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键．12、已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．答案：6分析：根据a－b2＝4得出b2=a−4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．∵a－b2＝4∴b2=a−4将b2=a−4代入a2－3b2＋a－14中得：a2－3b2＋a－14=a2−3(a−4)+a−14=a2−2a−2a2−2a−2=a2−2a+1−3=(a−1)2−3∵b2=a−4≥0∴a≥4当a=4时，(a−1)2−3取得最小值为6∴a2−2a−2的最小值为6∵a2－3b2＋a－14=a2−2a−2∴a2－3b2＋a－14的最小值6所以答案是：6．小提示：本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．13、已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式−3m2+3m+2022的值为______．答案：2019分析：先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴-3m2+3m+2022=-3（m2-m）+2022=-3+2022=2019．所以答案是：2019．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．14、如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知AD=2，∠EOF=90°．（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF的最小值是_________．答案： 1 √2分析：（1）连接AO，DO，证明△AEO≌△DFO(ASA)，可得S四边形EOFD =S≌ADO，求出SΔADO=14×4=1即可求解；（2）设AE=x，则ED=2−x，由勾股定理可得EF2=2(x−1)2+2，即可求EF的最小值．解：（1）连接AO，DO，∵∠EOF=90°，∴∠EOD+∠FOD=90°，∵四边形ABCD是正方形，O是中心，∴∠AOD=90°，AO=DO，∠EAO=∠FDO=45°，∴∠EOD+∠AOE=90°，∴∠FOD=∠AOE，∴△AEO≌△DFO(ASA)，∴S=S≌ADO，四边形EOFD∵AD=2，∴SΔADO=1×4=1，4∴S=1.四边形EOFD所以答案是：1；（2）设AE=x，则ED=2−x，∵△AEO≌△DFO，∴DF=AE=x,在Rt△EDF中，EF2=x2+(2−x)2=2x2−4x+4=2(x−1)2+2，∴当x=1时，EF有最小值√2，所以答案是：√2．小提示：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．15、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的顶点为(2,−2)，与x轴交于点(1,0)、(3,0)，根据图像回答下列问题：当x_______时，y随x的增大而减小：方程ax2+bx+c=0的两个根是___________．答案：x＜2x1=1，x2=3分析：利用开口向上和对称轴以及二次函数与一元二次方程的联系即可得到答案．解（1）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴二次函数的对称轴为直线x=2，∵抛物线的开口向上，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；（2）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3．小提示：本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，属于常考题型．解答题16、在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．答案：(1)v=−12t+10，y=−14t2+10t(2)6cm/s(3)黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球分析：（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t，再将t代入v关于t的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为w cm，得到w=70+2t−y=14t2−8t+70，化简即可求出最小值，于是得到结论．（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，{10=b 9.5=k+b ，解得{k=−12b=10，∴v=−12t+10，根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得{0=c9.75=a+b19=4a+2b，解得{a=−14b=10c=0，∴y=−14t2+10t;（2）依题意，得−14t2+10t=64，∴t2−40t+256=0，解得，t1=8，t2=32；当t1=8时，v=6；当t2=32时，v=−6（舍）；答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s．（3）设黑白两球的距离为w cm，w=70+2t−y=14t2−8t+70=14(t−16)2+6，∵14>0，∴当t=16时，w的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．小提示：本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．17、端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．答案：（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）y=−2x2+280x−8000(50≤x≤65)，最大利润为1750元分析：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a−10)元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；（2）根据题意当x=50时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售[100−2(x−50)]盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a−10)元．则8000a =6000a−10解得：a=40，经检验a=40是方程的解．∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．（2）由题意得，当x=50时，每天可售100盒．当猪肉粽每盒售x元时，每天可售[100−2(x−50)]盒．每盒的利润为(x−40)∴y=(x−40)·[100−2(x−50)]，=−2x2+280x−8000配方得：y=−2(x−70)2+1800当x=65时，y取最大值为1750元．∴y=−2x2+280x−8000(50≤x≤65)，最大利润为1750元．答：y关于x的函数解析式为y=−2x2+280x−8000(50≤x≤65)，且最大利润为1750元．小提示：本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．18、“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1=ax2+ c，部分对应值如表：221．③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1=12t+2，x2=1 4t2−32t+3，函数图象见图2．请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．答案：(1)a=−15,c=9(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元分析：（1）运用待定系数法求解即可；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x售价−x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．（1）把{x=3,y=7.2，{x=4,y=5.8代入y需求=ax2+c可得{9a+c=7.2,①16a+c=5.8.②②-①，得7a=−1.4，解得a=−15，把a=−15代入①，得c=9，∴a=−15,c=9．（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，有w=x售价−x成本=12t+2−(14t2−32t+3)，化简，得w=−14t2+2t−1=−14(t−4)2+3，∵−14<0,t=4在1≤t≤7的范围内，∴当t=4时，w有最大值．答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．（3）由y供给=y需求，得x−1=−15x2+9，化简，得x2+5x−50=0，解得x1=5,x2=−10（舍去），∴售价为5元/千克．此时，y供给=y需求=x−1=4（吨）=4000（千克），把x=5代入x售价=12t+2，得t=6，把t=6代入w=−14t2+2t−1，得w=−14×36+2×6−1=2，∴总利润=w⋅y=2×4000=8000（元）．答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．小提示：此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．。