高中三角函数的平移变换 讲解+习题

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像平移及解析式的求法

【知识点梳理及分析】

一、有关正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)基础知识

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2.当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：

定义域 R

值域 __________

周期性 T＝____________

奇偶性 φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是__________函数

单调性 单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到

4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

二、图像的平移转换

图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变换

（1）左右平移：由y＝sinx的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象.

高考数学真题总结——三角函数图象变换题

一、平移（基础题）

1. （2015山东4）要得到函数sin(4)3yx的图像，只需要将函数sin4yx的图像

A．向左平移12个单位 B．向右平移12个单位

C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位

2. （2012安徽7）要得到函数)12cos(xy的图象，只要将函数xy2cos的图象

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位

C．向左平移 12个单位 D．向右平移12个单位

3. （2016新课标三14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．

4. （2016新课标一6）将函数2sin(2)6yx的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为

A．2sin(2)4yx B．2sin(2)3yx

C．2sin(2)4yx D．2sin(2)3yx

二、异名（基础题）

5. （2008全国一9）为了得到函数cos3yx的图象，只需将函数sinyx的图象（ ）

A．向左平移6个长度单位 B．向右平移6个长度单位

C．向左平移 56个长度单位 D．向右平移56个长度单位

6. （2008全国一8）为得到函数cos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（ ）

A．向左平移512个长度单位 B．向右平移512个长度单位

C．向左平移 56个长度单位 D．向右平移56个长度单位

7. （2007山东4）要得到函数sinyx的图像，只需将函数cos3yx的图像（ ） sin3cosyxxsin3cosyxxA．向右平移6个长度单位 B．向右平移3个长度单位

对于三角函数图像的平移变换 1 / 5

三角函数图像的平移、变换

一、 引入

以简单函数为例，解说“左加右减、上加下减” 。讲清横移的实质是把全部 x 替代为 x+a；

二、三角函数图像的平移之历年高考真题

1、为了获得函数 y sin(2 x ) 的图像，只需把函数 y sin(2 x ) 的图像（ A）向左平移 个长度单

3 6 4

位 （ B）向右平移 个长度单位

4

（ C）向左平移 个长度单位 （ D）向右平移 个长度单位

2 2

【答案】 B

2、将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到本来的

10

2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是

（ A） y sin(2 x ) （B） y sin(2 x )

sin( 1 x 10

sin( 1 x 5

（ C） y ) （ D） y )

2 10 2 20

分析：将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动 个单位长度， 所得函数图象的分析式为 y＝ sin( x

10

－) 再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是

10

y sin( 1 x) . 【答案】 C 2

10

以本题为例，解说横向变换的实质也是替代。可发问：上述步骤反演，结果怎样？

3、（ 2010 天津文）（ 8）

右图是函数 y Asin（ x+ ）（ x R）在区间 - 5 上的图象，为了获得这个函数的图象，只 ，

6 6

要将 y sin x（ x R）的图象上全部的点

(A) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原

3

来的 1 倍，纵坐标不变

2

(B) 向左平移 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原 3

来的 2 倍，纵坐标不变

试卷第1页，共3页三角函数图像变换训练

一、单选题

1．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）函数π

sin2

4yx





的图像向左平移π

4个单

位得到下列哪个函数（）

A．π

sin2

4yx





B．π

sin2

4yx







C．π

cos2

4yx





D．π

cos2

4yx







2．（2023·河南开封·统考二模）把函数π

sin

6yx





图像上各点的横坐标缩短到原来的

1

2倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移π

3个单位，则最终所得图像的一条对称轴

方程可以为（）

A．

2x



B．π

6x

C．π

4xD．π

3x

3．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数

sinfxx

的图象经过下

列哪个变换可以得到π

sin2

3gxx





的图象，这个变换是（）

A．先将函数

sinfxx的图象向左平移π

3个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为

原来的2倍

B．先将函数

sinfxx的图象向左平移π

3个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的1

2

C．先把函数

sinfxx的图象上每个点的横坐标缩小为原来的1

2，再将图象向左平移π

3

个单位

D．先把函数

sinfxx

的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移π

6个单位试卷第2页，共3页4．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）为了得到函数π

sin4

10yx





的图象，只要将函数4π

cos

5yx





图象上所有点的（）

A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π

20个单位长度

B．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π

5个单位长度

C．横坐标缩短到原来的1

4，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π

5个单位长度

D．横坐标缩短到原来的1

4，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π

20个单位长度

5．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）为得到函数π