18版高考数学专题2指数函数、对数函数和幂函数2.2.2换底公式学案湘教版必修1

1 2.2.2 换底公式

[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．

[预习导引]

1．对数的换底公式

换底公式：logaN＝logcNlogca(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．

最常用的换底公式是logaN＝lgNlga和logaN＝lnNlna.

2．换底公式的两个重要推论

(1)logambn＝nmlogab.

(2)logab＝1logba.

解决学生疑难点___________________________________________

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要点一 利用换底公式求值或化简

例1 求解下列各题：

(1)化简(log43＋log83)lg2lg3；

(2)已知log1227＝a，求log616的值．

解 (1)方法一 原式＝lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3

＝lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3

＝lg32lg2·lg2lg3＋lg33lg2·lg2lg3＝12＋13＝56.

方法二 原式＝(log223＋log233)·log32 2 ＝12log23＋13log23·log32＝56log23·log32＝56.

(2)方法一 由log1227＝a，得3lg32lg2＋lg3＝a，

∴lg 2＝3－a2alg 3.

∴log616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a2a1＋3－a2a＝43－a3＋a.

方法二 由于log1227＝log1233＝3log123＝a，

∴log123＝a3.

于是log312＝3a，即1＋2log32＝3a.

因此log32＝3－a2a.

而log616＝4log62＝4log26＝41＋log23＝41＋1log32＝41＋2a3－a＝43－a3＋a.

故log616＝43－a3＋a.

规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：

一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．

二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．

三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logambn＝nmlogab.

对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．

2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．

跟踪演练1 (1)求值：log89·log2732.

(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.

解 (1)方法一 log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.

方法二 log89·log2732＝log2332·log3325

＝23log23·53log32＝109.

(2)∵log23＝a，∴log37＝log27log23＝log27a＝b. 3 ∴log27＝ab.

∴log1456＝log256log214＝log28＋log27log22＋log27＝3＋log271＋log27＝3＋ab1＋ab.

要点二 利用对数的换底公式证明等式

例2 已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：2a＋1b＝2c.

证明 不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，

于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.

则由换底公式可得1a＝logm3，1b＝logm4，1c＝logm6，

于是2a＋1b＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)

＝logm36＝2logm6＝2c.

因此等式成立．

规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．

2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝1logba进行变换．

跟踪演练2 已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.

证明 由已知可得m＝log210，n＝log510，

因此1m＝lg2，1n＝lg5，

于是1m＋1n＝lg2＋lg5＝lg10＝1，

即n＋mmn＝1，故m＋n＝mn.

要点三 对数换底公式的综合应用

例3 (1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求1a－1b的值；

(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logabc的值．

解 (1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000，

即a·lg11.2＝3， 4 于是1a＝13lg11.2.

同理可得1b＝13lg0.0112.

于是1a－1b＝13lg11.2－13lg0.0112

＝13lg11.20.0112＝13lg1000＝13×3＝1.

(2)由根与系数的关系可得 logac＋logbc＝3，logac·logbc＝1，

由换底公式可知 1logca＋1logcb＝3，1logca·1logcb＝1.

因此 logca·logcb＝1，logca＋logcb＝3.

所以logabc＝1logcab＝1logca－logcb

＝1±logca＋logcb2－4logca·logcb＝±55.

规律方法 对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识．

跟踪演练3 2＋1loga10比lga100大( )

A．3 B．4

C．5

D．6

答案 B

解析 2＋1loga10－lga100＝2＋lga－(lga－lg100)＝4.故选B.

1．下列各式中错误的是( )

A．logab·logba＝1 B．logcd＝1logdc 5 C．logcd·logdf＝logcf D．logab＝logbclogac

答案 D

2．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y等于( )

A.13 B．3 C．－13 D．－3

答案 A

解析 由指数式转化为对数式：

x＝log2.51000，y＝log0.251000，

则1x－1y＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝13.

3．log25125等于( )

A.32 B.23 C．2 D．3

答案 A

解析 log25125＝lg125lg25＝3lg52lg5＝32.

4．已知log63＝0.6131，log6x＝0.3869，则x＝________.

答案 2

解析 由log63＋log6x＝0.6131＋0.3869＝1.

得log6(3x)＝1，故3x＝6，x＝2.

5.log89log23的值是________．

答案 23

解析 log89log23＝lg9lg8lg3lg2＝lg9·lg2lg8·lg3＝2lg3·lg23lg2·lg3＝23.

1.对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用．

2．在什么情况下选用换底公式？

(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；

(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数 6 为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值．

一、基础达标

1．(log29)·(log34)等于( )

A.14B.12C．2D．4

答案 D

解析 原式＝(log232)·(log322)＝4(log23)·(log32)

＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.

2．化简1log23＋1log43的结果为( )

A．log38 B．log83

C．log36 D．log63

答案 A

解析 原式＝log32＋log34＝log38，故选A.

3．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为( )

A．a－bB.abC．abD．a＋b

答案 B

解析 log32＝ln2ln3＝ab，故选B.

4．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则lgab2的值等于( )

A．2B.12C．4D.14

答案 A

解析 由根与系数的关系，

得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝12，

∴lgab2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb

＝22－4×12＝2. 7 5．(log43＋log83)(log32＋log98)＝________.

答案 2512

解析 原式＝(lg3lg4＋lg3lg8)(lg2lg3＋lg8lg9)

＝(lg32lg2＋lg33lg2)(lg2lg3＋3lg22lg3)

＝5lg36lg2·5lg22lg3＝2512.

6．已知lg9＝a,10b＝5，用a，b表示log3645为________．

答案 a＋b2＋a－2b

解析 ∵lg9＝a,10b＝5，∴lg5＝b，

∴log3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg9＋lg4＝lg5＋lg9lg9＋2lg2

＝lg5＋lg9lg9＋2lg105＝lg5＋lg9lg9＋21－lg5

＝a＋ba＋21－b＝a＋b2＋a－2b.

7．计算：

(1)lg5·lg8000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6；

(2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.

解 (1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6

＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2

＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2

＝3lg2＋3lg5－2＝1.

(2)原式＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8

＝lg 18102lg1.8＝12.

二、能力提升

8．若a＞1，b＞1，且lg(a＋b)＝lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值为( )

A．lg2B．1C．0D．不确定

答案 C