高中数学第2章指数函数对数函数和幂函数2.2对数函数命题与探究素材湘教版必修1

§2.2.2 对数函数及其性质(一)学习目标1.了解对数函数模型的实际背景,认识数学与现实 生活及其他学科的联系2.理解对数函数的概念3.能画出具体对数函数的图象,掌握对数函数的图 象、性质※ 学习重点、难点： 重点:对数函数的图象、性质难点:对数函数的图象、性质与底数a 的关系,如何 由图像,解析式归纳对数函数的性质学习过程(预习教材P 70~ P 72,找出疑惑之处) 一.课前导学 ※ 情景引入探究1:对数函数的概念问题1:若p t 2log =请同学们计算并填写下表观察体会:对p t 2log =,能否称t 是关于p 的函数,为什么？新知:对数函数的概念一般地,我们把函数 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是反思:(1)为什么规定a ＞0且a ≠1呢?log a y x=(2)为什么对数函数 （a ＞0且a ≠1）的定义域是(0,+∞)?探究2:对数函数的图像与性质问题3:在同一坐标系中画出下列函数图象:y0 x讨论:(1)函数2log x y =与 的图象有什么关系?如何由2l o g xy =的图象画出的图象?(2)根据对数函数的图象特征,归纳出对数函数的性质异同?主要与什么有关?新知:对数函数的性质12(2)log xy =2(1)log xy =12log xy =12log xy =二.课内探究 ※ 知识检测1.下列函数中,哪些是对数函数?(1)log ay =0a >且1a ≠）(2)2log (2)y x =+ (3)28log y x =(4)log 6x y =(0x >且1x ≠)(5)4log y x = (6)5log 5y x = 小结:判断对数函数的方法:2.已知对数函数()log x a f x =(a ＞0且a ≠1)的图 象过点(8,3),求11(),(),(16)28f f f 的值小结:①确定对数函数的关键是 ②待定系数法求函数解析式 ※ 能力达标3.比较下列各组数中两个值的大小(1)2log 3.4与2log 8.5 (2)0.3log 1.8与0.3log 2.7 (3)6log 7log 76与 (4)0.3log π与32log π小结:利用 比大小,或间接利用 .4.已知下列不等式,比较正数m 、n 的大小: (1)3log m ＜3log n (2)3.0log m ＞3.0log n (3)a log m ＜a log n(0＜a ＜1) (4)a log m ＞a log n(a ＞1)※ 拓展提高5.比较大小:log 5.1a 与log 5.9a )10(≠>a a 且 小结: 三.总结提升 ※ 学习小结 1.对数函数的概念 2.对数函数的图象与性质3.比较对数大小的方法 四.课后作业1.对数函数的图象过点(16,4)M ,则此对数函数的解析式为 （ ） A.4log y x = B.14log y x =C.12log y x = D.2log y x =2.当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与 log a y x =的图象是( )3.已知函数2log (0)()3(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则[]14()f f =4.比较大小(1)10log 7,10log 12 (2)0.5log 0.7,0.5log 0.8 (3)log 89,log 98 (4)log 31.5,log 2 0.8。

2.2.3 对数函数的图象和性质 第2课时
16
跟踪演练 2 (1)函数 f(x)＝| log 1 x|的单调递增区间是(
2
)
1 A.0， 2
B.(0,1] D.[1，＋∞)
C.(0，＋∞)
2.2.3 对数函数的图象和性质
第2课时
17
解析
log 1 x ，x≥1， 2 f(x)＝ log 1 x ，0＜x＜1. 2
当 x≥1 时，t＝ f(x)＝－
log 1 x
2
log 1 x
2
是减函数，
是增函数.
∴f(x)的单调增区间为[1，＋∞). 答案 D
2.2.3 对数函数的图象和性质 第2课时
18
21－x，x≤1， (2)设函数 f(x)＝ 则满足f(x)≤2的x的取值范 1－log2x，x＞1，
围是( D )
2.2.3 对数函数的图象和性质
第2课时
10
规律方法 比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性. 1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较. 2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响， 对底数进行分类讨论.
3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，
再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接] 对数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图象
2.2.3 对数函数的图象和性质
第2课时
4
定义域 值域
(0，＋∞) ___________ ____ R (1,0) ，即当x＝1时，y＝__ 0 ______ 在(0，＋∞)上是 增函数 _________ 在(0，＋∞)上是 减函数 _________

2.2.2 换底公式[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．[预习导引] 1．对数的换底公式换底公式：log a N ＝log c N log c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，N ＞0)．最常用的换底公式是log a N ＝lg N lg a 和log a N ＝ln N ln a. 2．换底公式的两个重要推论 (1)log a m b n＝n mlog a b . (2)log a b ＝1log b a. 解决学生疑难点___________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________要点一 利用换底公式求值或化简 例1 求解下列各题： (1)化简(log 43＋log 83)lg2lg3；(2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． 解 (1)方法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＝lg32lg2·lg2lg3＋lg33lg2·lg2lg3＝12＋13＝56. 方法二 原式＝(log 223＋log 233)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23·log 32＝56log 23·log 32＝56. (2)方法一 由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg 2＝3－a2alg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4(3－a )3＋a.方法二 由于log 1227＝log 1233＝3log 123＝a ， ∴log 123＝a3.于是log 312＝3a ，即1＋2log 32＝3a.因此log 32＝3－a2a .而log 616＝4log 62＝4log 26＝41＋log 23＝41＋1log 32＝41＋2a 3－a＝4(3－a )3＋a .故log 616＝4(3－a )3＋a.规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底． 二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形log a m b n＝nmlog a b . 对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用． 跟踪演练1 (1)求值：log 89·log 2732.(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 1456.解 (1)方法一 log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.方法二 log 89·log 2732＝log 2332·log 3325＝23log 23·53log 32＝109. (2)∵log 23＝a ，∴log 37＝log 27log 23＝log 27a＝b .∴log 27＝ab .∴log 1456＝log 256log 214＝log 28＋log 27log 22＋log 27＝3＋log 271＋log 27＝3＋ab1＋ab .要点二 利用对数的换底公式证明等式例2 已知a ，b ，c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c.证明 不妨设3a ＝4b ＝6c＝m ，则m ＞0且m ≠1， 于是a ＝log 3m ，b ＝log 4m ，c ＝log 6m .则由换底公式可得1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c＝log m 6，于是2a ＋1b＝2log m 3＋log m 4＝log m (32×4)＝log m 36＝2log m 6＝2c.因此等式成立．规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质log a b ＝1log b a 进行变换．跟踪演练2 已知2m＝5n＝10，求证：m ＋n ＝mn . 证明 由已知可得m ＝log 210，n ＝log 510， 因此1m ＝lg2，1n＝lg5，于是1m ＋1n＝lg2＋lg5＝lg10＝1，即n ＋mmn＝1，故m ＋n ＝mn . 要点三 对数换底公式的综合应用例3 (1)已知11.2a ＝1000,0.0112b＝1000，求1a －1b的值；(2)设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bc 的值．解 (1)∵11.2a ＝1000，∴lg11.2a＝lg1000， 即a ·lg11.2＝3，于是1a ＝13lg11.2.同理可得1b ＝13lg0.0112.于是1a －1b ＝13lg11.2－13lg0.0112＝13lg 11.20.0112＝13lg1000＝13×3＝1. (2)由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧log a c ＋log b c ＝3，log a c ·log b c ＝1，由换底公式可知⎩⎪⎨⎪⎧1log ca ＋1log cb ＝3，1log ca ·1log cb ＝1.因此⎩⎪⎨⎪⎧log c a ·log c b ＝1，log c a ＋log c b ＝3.所以log a b c ＝1log ca b＝1log c a －log c b＝1±(log c a ＋log c b )2－4log c a ·log c b＝±55. 规律方法 对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识． 跟踪演练3 2＋1log a 10比lg a 100大( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 2＋1log a 10－lg a100＝2＋lg a －(lg a －lg100)＝4.故选B.1．下列各式中错误的是( ) A ．log a b ·log b a ＝1B ．log c d ＝1log d cC ．log c d ·log d f ＝log c fD ．log a b ＝log b clog a c答案 D2．若2.5x ＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51000，y ＝log 0.251000，则1x －1y ＝log 10002.5－log 10000.25＝log 100010＝13. 3．log 25125等于( ) A.32 B.23C ．2D ．3答案 A解析 log 25125＝lg125lg25＝3lg52lg5＝32.4．已知log 63＝0.6131，log 6x ＝0.3869，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.6131＋0.3869＝1. 得log 6(3x )＝1，故3x ＝6，x ＝2. 5.log 89log 23的值是________． 答案 23解析 log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝lg9·lg2lg8·lg3＝2lg3·lg23lg2·lg3＝23.1.对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用． 2．在什么情况下选用换底公式？(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值．一、基础达标1．(log 29)·(log 34)等于( ) A.14B.12C ．2D ．4 答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32) ＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．化简1log 23＋1log 43的结果为( )A ．log38B ．log 83C ．log 36D ．log 63答案 A解析 原式＝log 32＋log 34＝log 38，故选A.3．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B.a bC ．abD ．a ＋b 答案 B解析 log 32＝ln2ln3＝ab，故选B.4．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2B.12C ．4D.14答案 A解析 由根与系数的关系， 得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.5．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)＝________. 答案2512解析 原式＝(lg3lg4＋lg3lg8)(lg2lg3＋lg8lg9)＝(lg32lg2＋lg33lg2)(lg2lg3＋3lg22lg3) ＝5lg36lg2·5lg22lg3＝2512. 6．已知lg9＝a,10b＝5，用a ，b 表示log 3645为________． 答案a ＋b2＋a －2b解析 ∵lg9＝a,10b＝5，∴lg5＝b ， ∴log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg9＋lg4＝lg5＋lg9lg9＋2lg2＝lg5＋lg9lg9＋2lg105＝lg5＋lg9lg9＋2(1－lg5)＝a ＋ba ＋2(1－b )＝a ＋b 2＋a －2b.7．计算：(1)lg5·lg8000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6； (2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.解 (1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6 ＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2 ＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2 ＝3lg2＋3lg5－2＝1. (2)原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝lg18102lg1.8＝12. 二、能力提升8．若a ＞1，b ＞1，且lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，则lg(a －1)＋lg(b －1)的值为( ) A ．lg2B ．1C ．0D ．不确定 答案 C解析 lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )⇔a ＋b ＝ab ， ∴lg(a －1)＋lg(b －1)＝lg[ab －(a ＋b )＋1]＝lg1＝0. 9．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412，则a ＝________.答案22解析 log 37·log 29·log 49a ＝lg7lg3·lg9lg2·lg alg49＝lg7lg3·2lg3lg2·lg a 2lg7＝log 412＝lg12lg 4＝－lg 22lg 2＝－12. ∴lg a lg 2＝－12，∴a ＝2－12＝22. 10．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为______． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ，∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6， ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.11．若26a ＝33b ＝62c，求证：1a ＋2b ＝3c.证明 设26a ＝33b ＝62c＝k (k ＞0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c.12．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，求a 的取值范围．解 ∵log a x ＋log a y ＝3，∴log a xy ＝3，∴xy ＝a 3，∴y ＝a 3x.∵函数y ＝a 3x (a ＞1)在[a,2a ]上为减函数，又当x ＝a 时，y ＝a 2，当x ＝2a 时，y ＝a 32a ＝a 22，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22，a 2⊆[a ，a 2]，∴a 22≥a ，又a ＞1，∴a ≥2，∴a 的取值范围为a ≥2. 三、探究与创新13．设x ，y ，z 均为正数，且3x＝4y＝6z. (1)试求x ，y ，z 之间的关系；(2)求使2x ＝py 成立，且与p 最接近的正整数(即求与p 的差的绝对值最小的整数)； (3)比较3x,4y,6z 的大小．解 (1)设3x＝4y＝6z＝t ，由x ＞0，知t ＞1， 故取以t 为底的对数，得x log t 3＝y log t 4＝z log t 6＝1， ∴x ＝1log t 3，y ＝1log t 4，z ＝1log t 6，1z －1x ＝log t 6－log t 3＝log t 2＝12log t 4＝12y ， ∴x ，y ，z 之间的关系为1z －1x ＝12y.(2)p ＝2x y ＝2log t 3·log t 4＝2·log 34＝log 316.由9＜16＜27，得log 39＜log 316＜log 327，从而2＜p ＜3. 而p －2＝log 316－log 39＝log 3169，3－p ＝log 327－log 316＝log 32716.由169÷2716＝256243＞1，得169＞276. ∴p －2＝log 3169＞log 32716＝3－p ，故所求正整数为3.(3)∵3x －4y ＝3log 3t －4log 4t ＝3lg t lg3－4lg tlg4＝lg t (3lg4－4lg3lg3·lg4)＝lg t lg3·lg4(lg43－lg34)．而lg t ＞0，lg3＞0，lg4＞0，lg43＜lg34， ∴3x ＜4y .又∵4y －6z ＝2(2log 4t －3log 6t )＝2(2lg t lg4－3lg tlg6)＝2lg t (2lg6－3lg4)lg4·lg6＝2lg t (lg62－lg43)lg4·lg6.而lg t ＞0，lg4＞0，lg6＞0，lg62＜lg43， ∴4y ＜6z ，故有3x ＜4y ＜6z。

4.式子n a叫作 根式 (n∈N，n≥2)，n 叫作 根指数， a 叫作 被开方数 .一般地，有(n a)n＝ a .当 n 为奇数时，n an＝a； 当 n 为 偶数 时，n an＝|a|.
5.当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定
m
n am＝ a n
，1＝
m
an
.
n am
6.规定0的正分数指数幂为0,0没有 负分数 指数幂，在a＞0时， 对于任意有理数m，n仍有公式
3 (2)
ab2
ab3(a，b＞0)；
3
33
3 57
解 原式＝ ab2·a 2 b 2 ＝ a 2 b 2
5 71
57
＝(a 2 ·b 2 ) 3 ＝a 6 b 6 (a，b＞0)；
4 22 (3)( b 3 ) 3 (b＜0)；
212
1
解 原式＝b 3 × 4 × 3 ＝(－b) 9 (b＜0)；
跟踪演练1 化简下列各式. 5
(1) －25； 5
解 －25＝－2.
4 (2) －104；
4 解 －104＝|－10|＝10.
4 (3) a－b4. 解 4 a－b4＝|a－b|＝a－b，a≥b，
b－a，a＜b.
要点二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
3 (1)
4 a·
[知识链接]
1.4的平方根为 ±2 ,8的立方根为 2 .
2.23·22＝ 32
，(22)2＝ 16
，(2·3)2＝36
，
25 23
＝
4
.
[预习导引]
1.把n(正整数)个实数a的连乘记作 an ，当a≠0时有a0＝ 1 ，