相似三角形添加辅助线的方法举例 有答案

1 相似三角形添加辅助线的方法举例

例1： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．

求证： BC2＝2CD·AC．

例2．已知梯形ABCD中，BCAD//，ADBC3，E是腰AB上的一点，连结CE

（1）如果ABCE，CDAB，AEBE3，求B的度数；

（2）设BCE和四边形AECD的面积分别为1S和2S，且2132SS，试求AEBE的值

例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，ADAF31，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．

ABCD

2 例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．

例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：CDBDACAB．

3 相似三角形添加辅助线的方法举例答案

例1： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．

求证： BC2＝2CD·AC．

分析：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证BCACCDBC2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．

证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，

∵BD⊥AC于D，

∴BD是线段CE的垂直平分线，

∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，

又∵ AB＝AC，

∴∠C=∠ABC．

∴ △BCE∽△ACB．

∴BCACCEBC， ∴BCACCDBC2

∴BC2＝2CD·AC．

证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，

∵ AB＝AC，

∴ AB＝AC=AE．

∴∠EBC=90°，

又∵BD⊥AC．

∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，

∴∠E=∠DBC，

∴△EBC∽△BDC

∴BCCECDBC即BCACCDBC2

∴BC2＝2CD·AC．

证法三（构造BC21） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=BC21．

又∵AB=AC，

∴AE⊥BC，∠ACE=∠C

∴∠AEC=∠BDC=90°

∴△ACE∽△BCD．

∴BCACCDCE即BCACCDBC21．

∴BC2＝2CD·AC．

证法四（构造BC21）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE=BC21 ．

∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，

∴∠EDC=∠C

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∴△ABC∽△EDC． ABCDEABCDEABCDEABCDEABCD

4 ∴ECACCDBCJ即BCACCDBC21．

∴BC2＝2CD·AC．

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．

例2．已知梯形ABCD中，BCAD//，ADBC3，E是腰AB上的一点，连结CE

（1）如果ABCE，CDAB，AEBE3，求B的度数；

（2）设BCE和四边形AECD的面积分别为1S和2S，且2132SS，试求AEBE的值

（1）设kAE，则kBE3

解法1 如图，延长BA、CD交于点F

BCAD//，ADBC3， AFBF3 kAF2，E为BF的中点

又BFCE CFBC，又BFCF BCF为等边三角形 故60B

解法2 如图

作ABDF//分别交CE、CB于点G、F

则DFCE，得平行四边形ABFD

同解法1可证得CDF为等边三角形

故601B

解法3 如图

作ECAF//交CD于G，交BC的延长线于F

作ABGI//，分别交CE、BC于点H、I

则GICE，得矩形AEHG

CEAF// 3AEBECFBC，

5 又ADBC3 ADCF，故G为CD、AF的中点

以下同解法1可得CGI是等边三角形

故601B

解法4 如图，

作CDAF//，交BC于F，作CEFG//，交AB于G，得平行四边形AFCD，且ABFG

读者可自行证得ABF是等边三角形，故60B

解法5 如图

延长CE、DA交于点F，作CDAG//，分别交BC、CE于点G、H，得平行四边形AGCD

可证得A为FD的中点，则kAH2，故601

得ABG为等边三角形，故60B

解法6 如图（补形法），

读者可自行证明CDF是等边三角形，

得60FB

（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）

（2）设SSBCE3，则SSAECD2四边形

解法1（补形法）如图

补成平行四边形ABCF，连结AC，则ADDF2

设xSACD，则xSSACE2，xSCDF2

由ACFABCSS得， xxxss223，sx45

sxsSACE432 4433ssSSAEBEACEBCE

6 解法2

（补形法）如图，延长BA、CD交于点F，91ABCFADSS

sSSSFADABCDFAD581梯形

sSFAD85，sssSFEC821285，又sSEBC3

87BECFBCSSBEEF

设m8BE，则m7EF，m15BF，m5AF

m2AE，4AEBE

解法3（补形法）如图

连结AC，作ACDF//交BA延长线于点F

连结FC

则FAD∽ABC，故AFAB3（1）

ACFACDSS，FECAECDSS四边形

23AECDBCEFECBECSSSSEFBE四边形

故AFAEAFAEEFBE33)(332（2）

由（1）、（2）两式得AEBE4 即4AEBE

解法4（割补法）如图

7 连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G，如图，过E、A分别作高1h、2h，则ADCG且AECGAECDSS四边形四边形，sSSABCDABG5梯形

21212153hBGhBCSSABGEBC，又43BGBC

5421hh，54ABBE，故4AEBE

说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.

例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，ADAF31，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．

解法1： 延长FE交CB的延长线于H，

∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BCAD//，∴ ∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE

又AE=EB，∴ △AEF≌△BEH，即AF=BH，

∵ ADAF31，∴ BCAF31，即CHAF41．

∵ AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴ △AFG∽△CGH．∴ AG：GC=AF：CH，

∴ AG：GC=1：4，∴ AG：AC=1：5．

解法2： 如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，DCAB//，即AB∥MC，

∴ AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC． ∵ ADAF31，∴ AF：FD=1：2，

∴ AE：MD=1：2．

8 ∵ DCABAE2121．∴ AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，

∴ AG：AC=1：5

例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.

解析：取CF的中点G，连接BG．∵ B为AC的中点，

∴ BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E为BD的中点，

∴ F为DG的中点．

∴ EF：BG=1：2．

故EF：AF=1：4，∴ AF：AE=4：3．

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．

解法1： 过O点作OM∥CB交AB于M，

∵ O是AC中点，OM∥CB，

∴ M是AB的中点，即aMB21，

∴ OM是△ABC的中位线，bBCOM2121，

且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．

∴ △BEF∽△MOE，∴EMBEOMBF，

即cacbBF221，∴cabcBF2.

解法2： 如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得△AOG≌△COF，