陕西省西安市田家炳中学高二数学4.3微积分的简单应用导学案北师大选修22

4.3定积分的简单应用定积分在物理中应用及简单几何体的体积同步练习1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 4．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．5．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰ba dx x F )(．6．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J7．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()()Mnh GMm k G k h k k h -+=⋅++． 8．直线2y x =，1x =，2x =与x 轴围成的平面图形绕旋x 轴转一周得到一个圆台，则求该圆台的体积。

3.2.3 最大值、最小值问题【学习目标】1. 借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2. 弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3.掌握求在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤.【学习重点】正确理解函数的极值与最值概念，弄清它们的区别与联系.【学习难点】求函数的最值.【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。

2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。

3.带*号的为选做题。

【自主探究】1.如果函数)(x f 在给定区间上是一条连续不断的曲线，就称函数)(x f 在这个区间上是_____________.2.如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上是连续函数，那么函数)(x f 在],[b a 上必有_____________和_____________，但在开区间),(b a 上的连续函数_____________有最大值和最小值.3.闭区间上连续函数的最大值对应于其图像上的_____________最小值对应于其图像上的_____________.4.闭区间上函数的最大值和最小值必是这个区间内的_____________、_____________和区间端点_____________中的一个.5.求)(x f 在],[b a 上的最大值与最小值的步骤是：（1）____________________________. （2）____________________________.【合作探究】1.下列说法正确的是 ( ))(A 函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值极小值便是最小值)(B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值.)(C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定有最值.)(D 若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值..2.已知函数812)(3+-=x x x f 在区间]3,3[-上的最大值与最小值分别为m M ,，则=-m M ________.3.函数)(x f y =在区间],[b a 上的最大值是M ，最小值是m ，若m M =，则)(x f ' （ ）)(A 等于0. )(B 大于0. )(C 小于0. )(D 以上都有可能.4.设b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，且b a >，则 （ ） )(A 29,1-=-=b a )(B 3,1==b a )(C 2,3==b a)(D 3,2-=-=b a5.求函数]2,0[,sin 21)(π∈+=x x x x f 的最值.6.求4431)(3+-=x x x f 在]3,0[的最大值与最小值.【巩固提高】2.函数1-=x y ，下列结论中正确的是 ( ))(A y 有极小值0，且0也是最小值. )(B y 有最小值0，但0不是极小值.)(C y 有极小值0，但0不是最小值. )(D 因为y 在1=x 处不可导，所以0既非最小值也非极值.3.函数),2[,3+∞∈+=x xx y 的最小值为_____________. 4.已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；（2）若对于任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围.★ 5.设)1,32(∈a ，]1,1[,23)(23-∈+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求常数b a ,的值.。

§3 定积分的简单应用1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 平面图形的面积阅读教材P 87～P 88“例3”以上部分，完成下列问题.1.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )dx .2.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )dx.图4­3­13.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]dx .(如图4­3­1)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx .( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x )dx .( )(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛－22(4－x 2)dx .( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 简单旋转几何体的体积阅读教材P 89～P 90“练习”以上部分，完成下列问题.旋转体可看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为V ＝⎠⎛ab π[f (x )]2dx .由y ＝x 2，x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5【解析】 V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪10＝π5.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](2)求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积.【精彩点拨】 (1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积S .(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【自主解答】 (1)作出直线y ＝x ＋3，曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2，5)和(5，8).因此，所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0，1，2.故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x )dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21 ＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2， 故S ＝⎠⎛02(2x －x )dx －⎠⎛12(x 2－x )dx＝x 22⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76. 法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2. 故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.[再练一题]1.由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )【导学号：94210075】A.53B.1C.52D.23【解析】 由图可知，所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2－x )dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝56＋16＝1. 【答案】 B求由曲线y ＝2x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【精彩点拨】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可.【自主解答】 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示.设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2).V 1＝⎠⎛02π(2x )2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.,1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即V ＝π⎠⎛abf 2(x )dx －π⎠⎛a bg 2(x )dx ，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2dx .2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解.[再练一题]2.设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】 先画草图.设f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.[探究共研型]探究1 a 2，试求a 的值.【提示】 由已知得S ＝⎠⎛0axdx ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.探究2 若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，试求c 的值.【提示】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3，∴S ＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23.∴c 3＝18，∴c ＝12.在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程.【精彩点拨】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.【自主解答】 设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0). 令y ＝0，得x ＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x 02x 2dx ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]dx ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1，1)，切线方程为y ＝2x －1.1.本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝⎠⎛0x 0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx .错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.[再练一题]3.(2016·济南高二检测)如图4­3­2，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2，4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2.图4­3­2(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值.【解】 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)， 直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2， 令S ′＝0得t 2－2＝0.因为0<t <2，所以t ＝2，当0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2).[构建·体系]1.用S 表示图4­3­3中阴影部分的面积，则S 的值是( )图4­3­3A.⎠⎛ac f (x )dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf （x ）dxC.⎠⎛a b f (x )dx ＋⎠⎛b c f (x )dxD.⎠⎛bc f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx【解析】 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx .【答案】 D2.直线y ＝x ，x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A.π B.π3C.13D.1【解析】 V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.【答案】 B3.由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx ＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144.由y ＝x 2，y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________.【导学号：94210076】【解析】 V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.【答案】π65.计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝⎠⎛01xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪10－13x 3⎪⎪⎪10＝23－13＝13.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a b [g (x )－f (x )]d xC.⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f （x ）－g （x ）]dx 【解析】 当f (x )>g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .【答案】 C2.由抛物线y ＝x 2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45πB.165πC.85π D.325π 【解析】 V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.【答案】 D3.如图4­3­4，阴影部分的面积是( )图4­3­4A.2 3B.2－ 3C.323D.353【解析】 S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1-3＝323.【答案】 C4.曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( ) A.13 B.23 C.1D.43【解析】 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10 ＝2×23＝43.【答案】 D5.由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( ) A.6π B.12π C.24πD.3π【解析】 因为xy ＝4，所以y ＝4x，V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π.【答案】 B 二、填空题6.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.【导学号：94210077】【解析】画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .【答案】 ⎠⎛01(x －x 3)d x7.由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________.【解析】 体积V ＝π⎠⎛01e xd x ＝π(e －1).【答案】 π(e －1)8.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________. 【解析】 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4，2).因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －（x －2）]dx ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.【答案】163三、解答题9.(2016·济宁高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图4­3­5所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值.图4­3­5【解】 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝⎠⎛0－a [0－(x 3＋ax 2)]d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10.设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【解】 如图，M 为图中阴影部分.(1)图中M 的面积为⎠⎛01[(－x 2＋2x )－x 2]d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪10＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 π⎠⎛01[(－x 2＋2x )2－(x 2)2]d x＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x＝π·⎝⎛⎭⎪⎫－x 4＋43x 3⎪⎪⎪10＝π3.[能力提升]1.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B.2 C.83 D.1623【解析】∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0，1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83.【答案】 C2.已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A.y ＝axB.y ＝±axC.y ＝－axD.y ＝－5ax【解析】 显然，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)， 所以图形面积S ＝⎠⎛02a ＋k [kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33⎪⎪⎪2a ＋k 0＝（k ＋2a ）32－（2a ＋k ）33＝（2a ＋k ）36.又因为S ＝92a 3，所以（2a ＋k ）36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A . 【答案】 A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________.【解析】 V ＝⎠⎛－11π(1－x 2)d x＝π⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝π⎝⎛⎭⎫⎠⎛－111dx －⎠⎛－11x 2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝43π.【答案】 43π4.已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C围成的图形的面积.【解】 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 2－6x 0－2＝yx 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2，方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x ＝，即所求面积为2732.。

第三节 定积分的简单应用 第一课时：4.3.1平面图形的面积 ★ 学习目标 1．理解定积分的几何含义； 2．会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积。 ★ 学法指导

本节的内容是在比较完整的学习了定积分的基本内容之后进一步的研究，利用定积分的知识解决一些比较具体的问题。 ★ 知识点归纳

1．当,xab有0fx时，由直线,xaxb,0aby和曲线yfx围成的曲边梯形的面积S ； 2．当,xab有0fx时，由直线 ,xaxb,0aby和曲线yfx围成的曲边梯形的面积S  ； 3．当,xac时，有0fx;当,xcb时，有0fx，由直线,,0xaxbaby

和曲线yfx围成的平面图形的面积S  ；

4．当,xab时0fxgx，由直线,xaxbab和曲线yfx,ygx围成的平面图形的面积S  ； 5．当,xab时0fxgx，由直线,xaxbab，曲线yfx,ygx围成

的平面图形的面积S  。 ★ 重难点剖析

重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的曲边梯形的面积问题。

难点：被积函数的确定。

剖析：

在求解两条曲线围成的平面图形的面积时只要按照下面的步骤即可解决问题： 1．画出图形； 2．确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限； 3．确定被积函数，特别要注意分清楚被积函数的上、下位置； 4．写出平面图形面积的积分表达式； 5．应用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。 ★ 典例分析

例1．区间,ab上的连续函数fx来说，bafxdx、bafxdx、bafxdx的几何含义一般是不同的，请画图并叙述它们的不同点。 分析：关键是要知道被积函数可正可负以及函数绝对值的几何意义。 解：如图对于)(xf图像相对于x轴的三种不同位置，bafxdx、bafxdx、bafxdx的几何意义如下：