导数及其应用4-2

word 1 / 11 热点探究课(二) 函数、导数与不等式

[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的X围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.

热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)

函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的X围.

(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值X围.

【导学号：62172114】

[思路点拨] (1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的X围．

[规X解答] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.2分

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分

若a>0，则当x∈0，1a时，f′(x)>0；

当x∈1a，＋∞时，f′(x)<0.5分

所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.6分

(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；

当a>0时，f(x)在x＝1a处取得最大值，最大值为

f1a＝ln1a＋a1－1a＝－ln a＋a－1.11分

二、泰勒展开式

1．泰勒公式

若函数f(x)在含有x0的开区间(a，b)内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和：f(x)＝f(x0)＋f′(x0)·(x－x0)＋f″x02！·(x－x0)2＋fx03！·(x－x0)3＋…＋fnx0n！·(x－x0)n＋Rn(x)．

2．常见的泰勒展开式

在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：

(1)ex＝1＋x＋x22！＋x33！＋…＋xnn！＋…；

(2)ln(x＋1)＝x－x22＋x33＋…＋(－1)n＋1xnn＋…；

(3)sin x＝x－x33！＋x55！＋…＋(－1)n－1·x2n－12n－1！＋…；

(4)cos x＝1－x22！＋x44！＋…＋(－1)n－1·x2n－22n－2！＋….

3．泰勒公式的价值

泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较大小．

(2022·全国甲卷)已知a＝3132，b＝cos 14，c＝4sin

14，则( A )

A．c>b>a B．b>a>c

C．a>b>c D．a>c>b

[解析] 解法一：根据题意，构造函数f(x)＝1－x22，g(x)＝cos x，h(x)＝sin xx，则a＝f14，b＝g14，c＝h14.由泰勒展开式，f(x)＝1－x22，g(x)＝1－x22！＋x44！＋o(x4)，h(x)＝1－x23！＋x45！＋o(x4)，g14＝1－12×116＋124×1256＋o(x4)＝3132＋124×1256＋o(x4)，h14＝1－16×116＋1120×1256＋o(x4)＝9596＋1120×1256＋o(x4)，所以f14

1 第五章 一元函数的导数及其应用（导数在三次函数中的应用）教案

高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

一.教学内容分析 三次函数 是高中数学利用导数研究函数单调性、极值、最值等内容的一个重要载体，是应用二次函数图像和性质的重要素材.本节课是要归纳出一元三次函数的单调性的两种情况，一种是在整个定义域内是单调的，一种是在整个定义域内有三个单调区间。

二．学生学习情况分析

学生已经学习了导数在研究函数单调性及其极（最）值的应用，掌握了利用导数求函数单调区间、求极值最值、求切线方程，求参数取值范围的一般方法.

三．教学目标

一是利用导数研究函数的单调性，二是用导数研究函数的极（最）值，以三次函数为载体，掌握利用导数研究三次函数单调性，求极值最值

四．教学重点与难点

教学重点：用导数解决三次函数的单调性、极值最值、切线方程等问题

教学难点：分类讨论,数形结合，化归思想在解决问题中的综合应用

五．教学过程

一、课前练习

1.3()31fxxx的单调递减区间为

2. 322()3fxxaxbxa在1x时有极值0，则ab

3. 3()1fxxax在(2,)上既有极大值又有极小值，则a的取值范围是

4. 3()3fxxxa有三个零点，则a的取值范围 2 32()0fxaxbxcxda（）类似于二次函数的图像和性质表：

232(0）axbxca

二、问题分析

③f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单

调递减区间为(0,2);

④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.

其中正确的命题有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

032acb 032acb

图像

()0fx根的个数

第1页共18页2023年高考数学总复习第三章导数及其应用

第2节导数与函数的单调性

考试要求1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，

会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，

并会解决与之有关的方程(不等式)问题.

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.利用导数求函数单调区间的基本步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.

当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；

当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.

3.单调性的应用

若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.

若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)

在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()第2页共18页(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()

(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.()

(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)√

解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.

2.(易错题)函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为()

A.(－∞，1)B.(－∞，2)

C.(1，＋∞)D.(2，＋∞)

答案A

解析由f(x)＝x＋ln(2－x)，