15函数奇偶性的典型应用
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函数奇偶性的典型应用
一、奇偶性的定义：
奇函数：在定义域上)(-)-(x f x f =恒成立，奇函数的图象关于原点对称， 偶函数：在定义域上)()-(x f x f =恒成立，偶函数的图象关于y 轴对称，
隐函数条件，奇偶函数的定义域必须关于原点对称。
即函数的定义域若为][b a ，，则0=+b a . 二、常见的奇偶函数类型
（1）n x ，n 是奇数时为奇函数，n 是偶数时为偶函数， （2）kx sin 是奇函数，kx tan 是奇函数，kx cos 是偶函数， （3）x x a a --是奇函数，x x a a -+是偶函数， （4）cx
b cx
b a
-+log 是奇函数，）（bx x b a
±+221log 是奇函数， （5）||||a x a x --+是奇函数，||||a x a x -++是偶函数。
||x 是偶函数。
（6）常数函数c x f =)(，当0≠c 时，函数)(x f 为偶函数，当0=c 时，)(x f 为既是奇函数又是偶函数。
三、奇偶函数的性质
1. 如果)(x f 为是奇函数，在0=x 处有意义，则f (0)=0
2. 如果)(x f 为是偶函数，则|)(|)-()(x f x f x f ==
3. )(x f 是奇偶函数，则定义域关于原点对称，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称。
4. 若函数奇偶性有非零的零点，则零点必对称。
5. 奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，
6. 定义在R 上的奇函数)(x f 在开区间)0,+∞（是增函数，则在,0)(-∞也是增函数，则R 上不一定是增函数，若奇函数)(x f 在闭区间)[0,+∞是增函数，则在,0](-∞也是增函数，则R 上一定是增函数。
7. 奇函数的最大值为M ,最小值必为M -.
8. 函数奇偶性的运算性质：
奇+奇→奇，奇×奇→偶，奇×偶→奇，偶+偶→偶，偶×偶→偶 9. 若)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则函数)()()(h x bg x af x +=，
当0=a 时，函数)(x h 为偶函数，当0=b 时，函数)(x h 为奇函数，其余为非奇非偶函数。
典型练习
题型一、函数奇偶性性质的应用
1. 定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x
++=22)(，则)1-(f =（ ）
A.3
B. 1
C. -1
D.-3
2. (2016全国1)若121
)(+-
=x
a x f 是奇函数，则=a 3. （2009重庆理）若a x f x +=1
-21
)(是奇函数，则=a
4. 若)()(x
x
ae e x x f -+=是偶函数，则=a 5. 若x
a x x x f )
)(2()(++=
是奇函数=a
6. （2011辽宁文）)
)(12()(a x x x
x f -+=
是奇函数，则=a
7. （2019全国2）设)(x f 是奇函数，当0≥x 时，1)(-=x
e x
f ，则当0<x 时，=)(x f ( )
A.
1--x e B. 1-+x e C. 1---x e D.1-+-x e
8..函数4)(3
5
7
-+++=dx cx bx ax x f ，若1)2(=f ，则)2-(f 等于（ ）
A.8
B. -8
C. 9
D.-9
9.(2018新课标3)已知函数1)1(ln )(2+++=x x x f ，若4)(=a f ，则)-(a f 等于 10.（2019湖北八市联考文）已知定义在R 上的函数y=f(x)-2是奇函数，且f(-1)=1,则f(0)+f(1)= 题型二、奇偶性和方程
1. （2011湖北理）已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x
x
a
a x g x f ，若
a g =)2(，则)2(f =（ ）
A.2
B.
415 C. 4
17 D.2a 2. （2014湖南理）已知定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足1)(-)(2
3++=x x x g x f ，则
)1(g )1(+f =（ ）
A. -3
B. 1-
C. 1
D.3
3.(2011湖北)对于函数c sin )(++=bx x a x f ，（Z R c b a ∈∈c ,,,）,选取c b a ,,的一组值计算)1(f 和
)1-(f ，所得出正确的结果一定不可能的是（ ）
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.2和1 题型三、函数奇偶性与不等式 1. 奇函数)(x f 在)0,+∞（上为增函数，且0)1(=f ，则不等式
0)
()(<--x
x f x f 的解集为（ ）
A.
),1()0,(+∞-∞ B.)10()1-,(， -∞ C. ),1()1-,(+∞-∞ D.)10()01-(，，
2. 设函数)(x f 是R 上奇函数，当)0,+∞∈（x 时，x x f lg )(=，则0)(>x f 的x 的取值范围是
3. 设函数)(x f 是)0,)0-+∞∞（，（ R 上偶函数，当)0,+∞∈（x 时，x x f lg )(=，则0)(>x f 的x 的取值范围是
4. （难）设)(x f 是连续的偶函数，当0>x 时，)(x f 是单调函数，则满足)()4
3
(x f x x f =++的所有x 之和为（ ）
A.-3
B.3
C. -8
D.8 提示：偶函数方程等价为3(||)(||)4x f f x x +=+，单调函数，则3
||||4
x x x +=+转化为一元二次方
程进行求解即可。
题型四、函数奇偶数和单调性
1. 偶函数)(x f 在)[0,+∞上单调递增，则满足不等式)3
1
()12(f x f <-的x 的取值范围是( ) A.)3231(， B.)3231[， C. )3221(， D.)3
221[，
2. )(x f 是奇函数，且在定义域)1,1(-上为减函数，满足0)1()-1(2
<-+a f a f ，则实数a 的取值范围是
3. （2019郴州二模文）已知函数f(x)是定义在[2b,1-2b]上的奇函数，且在[2b ，0]上为增函数，则
(1)f (2x)f x -≤才解集是（ ）
A.2
[1，]3- B.1[-1，]3 C. [-1，1] D. 1[，1]3
4. （2018合肥二模理）已知f (x )=1−2x
1+2x ,实数a,b 满足不等式f(2a+b)+f(4-3b)>0,则下列不等式恒成立的是（ ）
A.b -a<2
B.a+2b>2
C. b -a>2
D. a+2b<2
5.(2015全国2)设函数f (x )=ln (1+|x |)−1
1+x 2,则使得f(x)>f(2x -1)成立的x 的取值范围是（ ） A.1
(，1)3 B.1（-∞，）∪（1，+∞)3 C. 11(-，)33 D. 11（-∞，-）∪（，+∞)33
6.（2018河北五邑一模16）已知函数g(x)对任意的x R ∈,有2
g ()(-)x g x x +=，
设2
()()2
x f x g x =-，
且f(x)在[0,+∞]上单调递增，若()f (2)0f a a +-≤，则实数a 的取值范围是
提示：判断f(x)的奇偶性，2
()()2
x f x g x -=--，则2
2
()f(-)()
-(-)-
=02
2
x x f x x g x g x +=+，
则f(x)是奇函数。
题型五、奇偶性与对称性 1.函数f (x )=
2sin(x+π
2
)+x 2−x
x
的对称中心是
2. 函数1
sin )1()(22+++=x x
x x f 的对称中心是
3. 函数f (x )=ax 3+bx +2的对称中心是 题型六、函数奇偶性和最值
1. 已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且函数2)()(g +=x af x 在)[0,+∞上有最大值6，则)(x g 在,0)(-∞上（ ）
A. 有最大值-6
B.有最小值-6
C.有最小值-4
D.有最小值-2
2. 设1
sin )1()(2
2+++=x x x x f 的最大值为M,最小值为m,则m M += 3. （2018山西太原文）已知定义在R 上的函数)(x f 满足24)-()(2
+=+x x f x f ，设2
2)()(g x x f x -=，若)(x g 的最大值和最小值分别为M 和m ，则m M +=。
