希尔方程近似解的结构与计算机程序

《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。

x A sin( t )
( D vE ) A 0
代入动力学方程,得标准特征值问题 2 其中 v 1/
A的非零解条件要求方程的系数行列式为零 D vE 0
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
设
D (d ij ) d11 d12
d n1
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
T
若取 1 1.8 2 相应得到
1 0.3749 k / m
1.720k R( ) 0.1405k / m 12.24m
与精确解 1 0.3730 k / m 的相对误差为0.5% 如何假设模态呢? 一般地,可以系统的静变形作为假设模态 比如右图,可假设在三个 质点处分别作用有mg, mg, 2mg的力,此时三个 质点的位移分别为 4mg/k, 7mg/k, 8mg/k 因此,可假设模态为 4 7 8
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
§ 5.1 邓克利法(Dunkerly) 邓克利法计算基频的近似值为实际基频的下限,它 是由邓克利在用实验确定多圆盘的横向振动固有频 率时提出的. Mx Kx 0 自由振动动力学方程为
左乘柔度矩阵F得
令 D FM 自由振动时
FMx x 0 Dx x 0
trD tr(FM ) f ii mi
i 1 n
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
而特征方程又可以写为
系数
n
(v v1 )(v v2 )
(v vn ) 0
a1 vi
i 1
n
导出

l 2l 1 0 ∂2 y 1 2 ∫0 m[Y ( x)] dx + ∑ miYi 2 U = ∫ EI 2 m dx = sin (ωt +ϕ ) ∫ EI [Y ′′( x)] dx 如梁上还有中质量 i m 2 0 ∂x 2 yi实集中质量0 i处的位移幅值
※设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点： 1、必须满足运动边界条件: （铰支端：Y=0；固定端： Y=0，Y´=0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振形形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知 的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于 假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh 法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现 的变形形式。曲率小，拐点少。 4、通常可取结构在某个静荷载q（x） （如自重）作用下的弹 性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷 载q（x）所作的功来代替，即 l
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的 Y（x）代入（17-85）得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对 所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。 当所选的a1，a2，…，an使 ω2 获得最小的值的条件是 ∂ω 2 = 0, (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n) ∂ai 这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。零其 系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶 频率来。阶次越低往往越准。
max max
. 设： y ( x, t ) = Y ( x) sin(ωt + ϕ ) v = y = Y ( x)ω cos(ωt + ϕ ) l l 1 1 ω 2 ∫ m (2 )Y 2 ( x)dx2 ※求频率 l Vmax = m ( x)v xdx = 1 ω cos 2 (ωt +ϕ ) m ( x)Y 2 ( x)dx V= 2 ∫ 0 ∫ l 20 l 2 EI [Y ′′( x)]2 dx ∫ 0 1 2 ω2 = l 0 2 U max = ∫ EI [Y ′′( x)] dx 2 2

《计算机数学基础(2)》辅导―第14章 常微分方程的数值解法(2002级(春)用) 中央电大 冯 泰第14章 常微分方程的数值解法一、重点内容 欧拉公式：),...,,,(),()(1-210=⎩⎨⎧+=+=≈01+1+n k kh x x y x hf y y x y kk k k k k局部截断误差是O (h 2). 改进欧拉公式：梯形公式： y (x k +1)≈y k +1=y k +2h [f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)](k =0,1,2,…,n －1)预报－校正公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(1111k k k k k k k k k k y x f y x f h y y y x hf y y 校正值预报值即 ))],(,(),([211k k k k k k k k y x hf y x f y x f h y y +++=++平均的形式公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y改进欧拉法的局部截断误差是O (h 3)。

龙格－库塔法二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 3) 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 4) 四阶龙格−库塔法公式： )22(643211κκκκ++++=+h y y k k其中 κ1=f (x k ,y k )；κ2=f (x n +12h ，y k +21h κ1)；κ3=f (x k +12h ，y n +21h κ2)；κ4=f (x k +h ，y k +h κ3) 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 5).二、实例例1 用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2.计算过程保留4位小数.解h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式)2,1,0)(4(2.0),(21=-=--=+=+k y x y y hx hy y y x hf y y k k k kk k k k k k k当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0 当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题⎩⎨⎧1=10=++'2)(sin y x y y y ，取步长h =0.2,计算y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.l解 步长h =0.2, 此时f (x ,y )=－y －y 2sin x .欧拉预报－校正公式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(1111k k k k k k k k k k y x f y x f h y y y x hf y y 校正值预报值有迭代公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=--+--+=-=--+=++++++++)s i n (1.0)s i n 1.09.0()]sin ()sin [(2)sin 2.08.0()sin (121112112121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y y x y y x y y x y y h y y x y y x y y h y y 校正值预报值当k =0，x 0=1, y 0=1时，x 1=1.2，有631710=11⨯02-80⨯1=20-80=0001.)sin .()sin ..(x y y y715490=21631710+63171010-1⨯1⨯10-90⨯1=≈2121.).s i n ..(.)s i n ..().(y y 当k =1，x 1=1.2, y 1=0.71549时，x 2=1.4，有476970=21715490⨯02-80⨯715490=20-80=1112.).sin ..(.)sin ..(x y y y).s i n ..(.).s i n ...(.).(41476970+47697010-21⨯715490⨯10-90⨯715490=≈4122y y=0.52608 例3 用改进的欧拉法平均公式，取步长h =0.1，求解初值问题⎩⎨⎧=≤≤+='1)0()2.00(y x y x y计算过程保留4位小数.解 首先建立迭代格式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=+=++++=+=++=+=++++k k k c p k kk k p k k c k k k k k p y h h hx x h h y y y x h hx h h y y x hf y y h y hx y x hf y y )21(])1([21][21)1(),()1(),(2112121 (7分)当k =0时，x 0=0,y 0=1,x 1=0.1,有11.11)21.01.01(]1.01.00)1.01(1.0[2121=⨯+++⨯+⨯+⨯=y (11分)当k =1时，x 1=0.1, y 1=1.11, x 2=0.2,有1242.111.1)21.01.01(]2.01.01.0)1.01(1.0[2122=⨯+++⨯+⨯+⨯=y所求y (0.1)≈1.11; y (0.2)≈1.242 1例4 写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题⎩⎨⎧2=03-8=')(y y y 的计算公式，取步长h =0.2计算y (0.4)的近似值.计算过程保留4位小数.解 此处f (x ,y )=8－3y , 四阶龙格－库塔法公式为)22(643211κκκκ++++=+h y y k k其中 κ1=f (x k ,y k )；κ2=f (x n +12h ，y k +21h κ1)；κ3=f (x k +12h ，y n +21h κ2)；κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)本例计算公式为： )(.43211++2+2+620+=κκκκk k y y其中 κ1=8－3 y k ；κ2=5.6－2.1 y k ；κ3=6.32－2.37y k ; κ4=4.208＋1.578y k )1,...,2,1,0(5494.02016.1))578.1208.4()37.232.6(2)1.26.5(238(62.01-=+=-+-+-+-+=+n k y y y y y y y k k k k k k k当x 0=0,y 0==2,46542=30042⨯54940+20161=54940+20161=≈4030042=2⨯54940+20161=54940+20161=≈201201......).(.....).(y y y y y y例5 选择填空题：1. 取步长h =0.1, 用欧拉法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧1=1+='2)(y yxy y 的计算公式是 答案：1,1,...,2,1,0],)1.01(1.01.1[021=-=++=+y n k k y y k k解答：欧拉法的公式),...,,,(),()(1-210=⎩⎨⎧+=+=≈01+1+n k kh x x y x hf y y x y kk k k k k 此处y xyy x f +=2),(，迭代公式为1=210=10+110+11=+10+110+=0221+y k k y y k y y y k k k k k ,...,,,),).(..()).((. 2. 改进欧拉法的平均形式公式是( ).(A)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (B)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y(C)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+2=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y h y y x hf y y y x hf y y (D)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y答案：(D)解答：见改进欧拉法平均形式公式.3. 解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O (h 3).(A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格－库塔法 (D) 四阶龙格－库塔法答案：(B)解答：改进欧拉法的局部截断误差是二阶精度，O(h 3)。