同济大学 高等数学 课件 3.10

y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值.
例1 求下列函数的定义域
(1) y 3 x 1 x
x(,0) (0,3
(2) y lg(x2 4)
x (, 2) (2, )
练习：求下列函数的定义域
以 C = C( s )表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C 的单位是元。按问题的规定：
当 0 < s 3 时，C = 10； 当 3 < s 10 时，C = 10 + 2( s – 3 )= 2s + 4； 当 s > 3 时，C = 10 + 2( 10 – 3 )+ 3( s – 10 )= 3s – 6 .
U (a) { x a x a }.


a
a
a x
点a的去心的邻域,
o
记作U
(a).

o
U (a) {x 0 x a }.
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)

L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy

Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy

Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
对坐标的曲线积分
定
n
P(x, y)dx Q(x, y)dy
义
L
f (x,
y)ds lim 0
i 1
f (i , i )si
L
n

lim
0
i 1
[P(i
, i
)xi
Q(i , i
)yi
]
联
系
L Pdx Qdy L(P cos Qcos )ds
Iz
x2 y2 dT
J
Io J x2 y2 dT 或 J x2 y2 z2 dT
2019/5/6
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计算上的联系
f ( x, y)d
b
[
y2( x) f ( x, y)dy]dx, (d面元素)
D
a y1 ( x )
D
(
Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
(沿L的正向)
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
P Q R

(
x

y

z
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法

则称函数 f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
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例2. 求
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )

对应雅可比行列式为 J (x, y, z) (u, v, w)
直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
J (x, y, z)
(,, z)
x y
x y
xz cos sin 0
yz sin cos 0
z z zz
0
01
dv J dddz dddz
x2 y2 2
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
22
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3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
zOM ,则(r,, ) 就称为点M 的球坐标.
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f (x, y, z)dxdydz
d d dz
d
d 2 ( )
z2 (, ) F(, , z)dz
1 ( )
z1 ( , )
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
(,, z) , 1( ) 2( ), z1(, ) z z2(, )
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
00z2π
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面