高等数学(同济大学)第六版课件上第4章

高等数学教案第四章不定积分第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。

教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。

§41不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1如果在区间 I 上可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 x I 都有F (x) f(x) 或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)( 或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数例如因为 (sin x)cos x所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时1 的原函数因为 (x)1所以x 是2 x2x提问 :cos x 和1还有其它原函数吗？2x原函数存在定理如果函数 f( x)在区间 I 上连续那么在区间 I 上存在可导函数F(x) 使对任一 x I都有F (x) f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x) C 都是 f(x)的原函数其中C 是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数则(x) F(x) C (C 为某个常数 )高等数学教案第四章 不定积分定义 2在区间 I 上 函数 f(x) 的带有任意常数项的原函数称为f( x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分记作f ( x)dx其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x) dx 称为被积表达式 x 称为积分变量根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数那么 F(x) C 就是 f(x)的不定积分 即f (x)dx F (x) C因而不定积分f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数所以cos xdx sin x C因为x 是 1 的原函数所以2 x1 x dx x C2例 2. 求函数 f (x)1的不定积分x解：当 x>0 时 (ln x)1x1dx ln x C (x>0)x当 x<0 时 [ln(x)]1 ( 1) 1xx1dx ln( x) C (x<0)x合并上面两式得到1dx ln | x| C (x 0)x例 3设曲线通过点 (1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为 y f(x) 按题设 曲线上任一点 (x y)处的切线斜率为 y f (x) 2x, ,即 f(x)是 2x 的一个原函数因为2xdx x 2 C高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数 C 使 f(x) x 2C 即曲线方程为 y x 2C因所求曲线通过点 (1 2) 故2 1 CC 1于是所求曲线方程为y x 2 1积分曲线 函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系 d [ f (x)dx]f (x)dx或d[ f ( x)dx]f (x)dx又由于 F(x)是 F (x)的原函数所以F (x)dx F (x) C或记作dF (x) F (x) C由此可见 微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号表示）是互逆的当记号 与 d 连在一起时 或者抵消或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1) kdx kx C (k 是常数 )(2) x dx1 x 1C1(3)1dx ln |x| Cx(4) e x dx e x C(5) a x dxa x Cln a(6) cos xdx sin x C(7) sin xdx cos x C(8)1dx2tan x C2sec xdxcos x(9) 1dx2cot x C2 csc xdxsin x(10)1 dx arctan x C 1 x2 (11) 1 2dxarcsin x C1x(12) secx tan xdx secx C(13) cscxcot dx cscx C(14) sh x dx ch x C (15) ch x dx sh x C例 41x 3dx 1x 3 1 C1C3 dx2x3 12x2515 172x 3x C例 5xxdx x 2dxC5x 22x 2 C177244 11例 6dx x 3dxx 3C 3x 3C3Cx 3 x4 1 3 x3三、不定积分的性质性质 1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即[ f ( x) g( x)]dxf (x)dxg(x)dx这是因为 , [ f ( x)dx g (x)dx] [ f (x)dx] [ g(x)dx]f( x) g(x).性质 2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即kf ( x)dx k f (x)dx ( k 是常数 k 0)例 7.x( x 2515)dx (x 2 5x 2 )dx51 51x 2 dx 5x 2 dxx 2 dx 5 x 2 dx732x252x2C73(x 1) 332例 8dxx 3x3x 1dx ( x 3 3 12 )dx22xxx xxdx3 dx 31dx 11 x 23x 3ln |x|1 Cx x dx2x例 9xxx(ex dx e dx3 cos xdxe3sinx C3cos )例 10例 11例 122x e x dx(2e)x dx (2e) x C 2x e x Cln( 2e)1 ln2 1 x x 2 2dxx (1 x 22)dx ( 121)dxx(1 x )x(1 x )1 xx1 12 dx1dx arctanx ln | x| Cxxx 42 dxx 4 1 1 ( x 2 1)( x 2 1) 11 x 1 x2 dx1 x 2dx(x211 2 )dxx 2dx dx1 12 dx1 xx1 x 3 x arctan x C 3例 13tan 2 xdx (sec 2 x 1)dx sec 2 xdx dxtan xx C例 14 sin2x dx1 cos x dx1(1 cos x)dx2221(x sin x) C21 2 x dx1 例 15sin 2 x4 sin 2 x dx4 cot x C2 cos 2§42换元积分法一、第一类换元法设 f(u)有原函数 F(u)u (x) 且 (x)可微 那么 根据复合函数微分法 有d F[ (x) ] d F(u) F (u)d u F [ (x) ] d ( x) F [ (x) ] (x)d x所以F [ ( x)] (x)dx F [ (x)] d (x) F (u)d u d F(u) d F[ (x) ] 因此F [ ( x)] (x)dxF [ (x)]d (x)F (u)dudF (u)dF [ ( x F [ x )] C)] (即f [ ( x)] (x)dxf [ ( x)]d (x) [ f (u)du]u (x)[F(u) C] u( x)F[ ( x)] C定理 1设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式f [ (x)] (x)dx f [ ( x)] d (x)f (u)du F (u) C F[ (x)]C被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而微分等式(x)dx du 可以应用到被积表达式中在求积分 g(x)dx 时 如果函数 g(x)可以化为 g(x)f[ (x)] (x)的形式 那么g( x)dxf [ (x)] (x)dx [ f (u)du]u (x)例 1. 2cos 2xdx cos2x (2x) dxcos2xd(2x)cosudu sin u C sin 2x C例 2.111x dx11(3 2 )3 2 3 2 3 2x2x2x1 1dx 1ln |u | C1ln |3 2x| C2 u 22例 3.x 2x 22x 22xe dxe (x) dxe d (x)2uC e x 2Ce例 4. x 1 x 2 dx11 x2 (x 2) dx1221 1 x2 d (1 x 2)213(1 x 2) 2 C3e u du1 x2 dx 21 31 u 2du1u 2C23例 5.tan xdxsin x dx 1 d cos xcos xcos x1du ln |u | Culn|cos x| C即tan xdxln |cos x| C类似地可得cot xdx ln |sin x| C熟练之后 变量代换就不必再写出了例 6.1x 2dx11 dx a 2a 2x( )21 a1 1 d x 1 arctan xCa1 ( x )2a aaa即1 x2 dx 1arctanxCa 2aa例 7. ch xdx a ch x d xa sh xCa a a a 例 8. 当 a 0 时 ,1dx 11 x dx 1 x d x arcsin xCa 2 x 2 a1 ( ) 21 ( ) 2a aaa即 1x 2 dxarcsinxCa 2a例 9.111111 1dxx 2 a 2dx2a ( x a x a )dx2a[x adxx a]1 [1d (x a)1d( x a)]2a x ax a1[ln | x a| ln |x a |] C1ln |xa | C2a2a x a即1 dx 1ln |xa | Cx 2 a 22ax a例 10.dx d ln x 1 d(1 2ln x)x(12 ln x) 1 2 ln x2 1 2ln x1l n |1 2 ln x| C2例 11.e 3 x dx 2 e 3 x d x 2 e 3 x d3 xx 32 e3 x C3含三角函数的积分例 12. sin 3 xdx sin 2 x sin xdx (1 cos 2x)d cos xd cosxcos 2xd cosxcosx1cos 3 x C3例 13. sin 2 xcos 5xdx sin 2 xcos 4 xd sin xsin 2 x(1 sin 2 x)2 d sin x(sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x)d sin x1sin 3x2sin 5x1sin 7 x C357例 14. cos 2xdx1 cos2 x dx 1 ( dx cos 2xdx)2 2 1 dx 1cos2xd 2x1 x 1sin 2x C2 424例 15.4xdx2x 2dx1 x2 d x21 (1 2cos 2x cos 22x)dx 41 (32cos 2x 1cos4x)dx4221 ( 3 x sin 2x 1sin 4x) C 4 2 8 3 x 1sin 2x1sin 4x C8432例 16.xxdx 1 (cos x cos5x)dxcos3 cos2 21sin x1sin 5x C210例 17. cscxdx1 dx 1dxsin x2sin x cos x22d xd tan xln |tan x| C ln |csc x cot x | Cx2x2tan 2tan x22 cos 22即cscxdx ln |csc x cot x | C例 18. sec xdxx)dxln |csc(x) cot(x)| C222ln |sec x tan x | C即secxdx ln |sec xtan x | C二、第二类换元法定理 2 设 x (t)是单调的、可导的函数 并且 (t) 0 又设 f [ (t)] (t)具有原函数 F(t) 则有换元公式f (x)dxf [ (t)] (t)dt F (t) F [1(x)] C其中 t(x)是 x(t) 的反函数这是因为{ F[1(x)] } F (t)dtf [ (t)] (t) 1f [ (t )] f (x)dx dxdt例 19. 求 a 2 x 2dx (a>0)解 : 设 x a sin tt 那么 a 2 x 2a 2 a 2 sin 2 t acost22dx a cos t d t 于是a 2 x 2 dx acost acostdta 2 cos 2tdt a 2( 1 t 1 sin 2t ) C2 4 因为 t arcsin x, sin 2t 2sin t cost 2xa 2 x 2 所以aa aa2x 2dx a 2(1 t 1sin 2t) C a 2arcsin x 1x a 2 x 2 C2 42 a 2解 : 设 x a sin tt 那么22a 2 x 2 dx acost acostdta 2cos 2 tdt a 2( 1 t 1sin 2t ) Ca 2 arcsin x 1 x a 2 x 2 C2 42a 2提示 : a 2 x 2a 2 a 2 sin 2 t a cost dx acos tdt提示 : t arcsin x, sin 2t2sin t cost 2 xa 2 x 2aa a例 20. 求 dx(a>0) x 2 a 2解法一设 x a tan tt 那么22x 2 a 2a 2 a 2 tan 2 ta 1 tan 2t a sec t dx a sec 2t d t 于是dxa 2 a sec 2 t dt sectdt ln |sec t tan t | Cx 2 a sect因为其中sectx 2 a 2 atantdxx 2a2C 1 C ln ax 所以aln |sec t tan t | C ln(x x 2 a 2 2 a 2) C 1a) C ln(xxa解法一 设 xa tan tt那么22dx asec 2 t dt sectdt ln|sect tant| Cx 2 a 2a sectln(xx 2 a 2 ) C ln( xx 2a 2 ) Caa1其中C 1Cln a提示 : x 2 a 2 a 2 a 2 tan 2 t asect dx a sec 2t dt提示 : sectx 2 a 2 tantx aa解法二 : 设 x a sh t那么dx ach t dt dt t C arsh x Cx2 a 2ach t aln x( x)21C ln( x x2 a2 ) C1 a a其中 C 1 C ln a提示 : x2 a2 a 2sh2t a2 a ch t dx a ch t d tdx例23.求x2a2 (a>0)解 : 当 x>a 时设 x a sec t ( 0 t) 那么2x2 a2 a 2 sec2 t a 2 a sec2 t 1 a tan t于是dx a sect tant dt tdt ln |sec t tan t | Cx2a2 a tant sec因为tant x2 a 2x所以a sect adx ln |sec t tan t |C ln |xx2a2|C ln( x x2 a2 ) C x2 a 2a a1其中 C1C ln a当 x<a时令 x u则 u>a于是dxa 2du ln(u u2a2 )Cx2u2a2ln( x x2a2 )C ln( x x2 a2 ) C1ln x x2a2C ln( x x2a2 )C1a2其中 C1C2ln a综合起来有dxa2ln| x x2a2 |Cx2解 : 当 x>a 时设x a sec t ( 0t)那么2dxa sect tantdt sectdtx 2a 2a tantln |secttant | C ln(xx 2 a 2 ) Caaln( xx 2 a 2 ) C其中 C 1 C ln a当 x< a 时 令 x u 则 u>a 于是dxdu ln(u 2 2Cx 2 a 2u 2 a 2 u a )ln( xx 2 a 2 ) C ln xx 2 a 2 Ca 2ln( xx 2 a 2 ) C 1其中 C 1 C 2ln a提示 : x 2 a 2a 2 sec 2 t a 2a sec 2t 1 atant提示 : tantx 2 a 2sect xaa综合起来有dx a 2ln | xx 2 a 2 | Cx 2 补充公式(16) tan xdxln |cos x| Ccot xdx ln |sin x| C(18) secxdx ln |secx tan x| C(19) cscxdx ln |cscx cot x| C(20)1 x2 dx1arctanxCa 2aa(21)1a 2 dx1ln |xa | Cx 22ax a(22)1 x2 dxarcsinxCa 2a(23)dxa 2 ln( xx 2 a 2 ) Cx 2(24)dx ln |x x22x 2a | Ca 2§43分部积分法设函数 u u(x)及 v v( x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为 (uv) u v uv移项得uv (uv) u v对这个等式两边求不定积分得uv dx uv u vdx 或 udv uvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程 :uv dx u dv uvvdu uv u vdx例 1 xcos xdx xd sin x xsin x sin xdx x sin x cos x C例 2 xe x dxxde x xe x e x dx xe x e x C例 3 x 2e x dx x 2de x x 2e x e x dx 2x 2e x 2 xe x dx x 2e x 2 xde x x 2e x 2xe x 2 e x dxx 2e x 2xe x 2e x C e x (x 2 2x 2 )C例 4xln xdx 1 ln xdx 21x 2ln x 1 x 21dx2 2 2x1x 2ln x 1 xdx 1x 2 ln x1 x2 C22 2 4例 5 arccosxdx xarccosxxd arccosxxarccosxx1x 2dx111xarccosx(1 x 2 ) 2d (1 x 2) xarccosx 1 x 2C2例 6x arctanxdx1arctanxdx 21x 2 arctan x1x 21 dx2221 x 212112 x arctanx 2 (1 1x 2)dx1x 2arctanx 1 x1arctan x C222例 7 求 e x sin xdx解 因为 e x sin xdx sin xde xe x sin x e x d sin xe x sin xe x cos xdx e x sin x cos xde xe x sin x e x cos x e x d cos x e x sin x e x cos xe x d cosxe x sin x e x cos x e x sin xdx所以e x sin xdx 1e x (sin x cosx) C2例 8求 sec 3 xdx解 因为sec 3 xdx secx sec 2 xdxsecxd tan xsecxtan xsecx tan 2 xdxsecx tanx secx(sec 2 x 1)dxsecx tanxsec 3 xdxsecxdxx tan x ln |sec x x |3xdxsec tan sec所以sec 3xdx1(secxtan x ln |secx tan x|) C2 例 9 求 I ndx其中 n 为正整数(x 2 a 2)n解 I 1x 2 dx 1arctan xCa 2 a a当 n 1 时，用分部积分法 有dxx2(n 1)x 2n dx22 n 122 n 1(x 22 ( x a )( x a )a )高等数学教案第四章不定积分x2(n1) [1a2n ]dx(x 22n 1(x22)n 1(x22)a )a a即I n 1(x 2x2( n 1)(I n 1 a 2 I n ) a 2 ) n1于是I n1[x(2n3) I n 1] 2a2 (n(x2a2) n 11)以此作为递推公式并由 I11xC 即可得 I n arctanaa例 10 求 e x dx解令 x t 2则dx 2tdt于e x dx 2 te t dt2e t (t1)C2e x(x1)C e x dx e x d(x) 2 2xe x d x2xde x2xe x 2 e x d x2xe x2xC2x (x1)Ce e第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分f [ ( x)] (x)dx f [(x)] d( x)令 (x)u f (u)duu(x)v (x)dx u( x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du( x)哪些积分可以用分部积分法？x cosxdx xe x dx x2 e x dxx ln xdx arccosxdx x arctanxdxe x sin xdx sec3 xdx2x2x22uxe dx e dx e dux2e x dx x2de x x2e x e x dx2高等数学教案第四章不定积分§4 4几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:P(x)a0 x n a1x n 1a n1x a nQ(x)b0x m b1x m 1b m 1x b m其中 m 和 n 都是非负整数a0a1 a2a n及 b0 b1b2b m都是实数并且 a0 0 b0 0当n m 时称这有理函数是真分式而当 n m 时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如x3x 1x(x21) 1x 1x21x21x2 1真分式的不定积分求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例1 求x3dx x25x6解x2x 3dx( xx 3dx(635)dx5x62)( x3)x x 263dxx5dx6ln|x 3|5ln| x 2|Cx2提示x3A B(A B) x ( 2 A3B)3)x3x2(x2)( x 3)( x 2)(xA B 13A2B3A6B5分母是二次质因式的真分式的不定积分例2 求x2dx x22x3解x2dx(12x 231)dxx22x 2 x22x323x2x 312x2dx3x21dx2x2 2 x32x31d( x22x3)3d (x1)2x22x3(x1)2( 2)21ln( x22x3)3arctanx1C222x 21(2x2)31x21提示2222322x 3 x2x 3 2 xx2x 3x 2x 3例3 求12dx x(x1)解1 1)2 dx [111 (x 12 ]dxx(xx x 1)1dx1dx1dx ln |x| ln |x 1|1 Cxx 1 ( x 1) 2x 1提示11 xx1 1x(x 1) 2x(x 1) 2x x 1) ( x 1) 2(1 x x1 111x(x 1)( x 1) 2 x x 1 (x 1)2二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sin x 及 cos x 的有理式表示故三角函数有理式也就是sin x 、 cos x 的有理式用于三角函数有理式积分的变换 :把 sin x 、 cos x 表成 tan x的函数然后作变换 u tanx22xx 2 tanx2 tanx2usin x2sin cos222 22 x1 tan2 x1 u 2sec 2 2cos x cos 2xsin 2x1 tan 2x1 u 222 22 x 1 u 2sec2变换后原积分变成了有理函数的积分例 4 求1 sin x dxsin x(1 cosx)x2u1 u 2x 2arctan u2解 令 u tan 2 则 sin x 1 u2cos x 1 u2dx 1 u 2du(1 2u )于是1 sin x1 u2 211sin x(1 cos x)dx2u(1 1 u 2 ) 1 u 2du2 (u 2 u )du1 u21 u 21 ( u 22 ln | |) C 1 tan 2 x tan x 1ln |tan x | C2 2 u u4 2 2 2 2解 令 u tan x则21 sin x(1 2u )21 u2sin x(1 cos x) dx2u(11 u 21 u2 du21 u2 )1 u1 ( u 22u ln |u |) C 1 (u 2 1)du2 22u1 tan2 xtanx1ln | tan x| C4 2 2 2 2说明 : 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如cos x dx 1 d (1 sin x) ln(1 sin x) C1 sin x 1 sin x三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求x 1dxx解 设 x 1 u即 x u 2 1 则x 1dxu 2udu2 u 2 duxu 2 1u 2 12 (112 )du 2(u arctanu) C1 u2( x 1 arctan x 1) C例 6 求dx3x 21解 设 3 x 2 u即 x u 3 2 则dx13u 2 du 3u 21 113 x21 u1 duu3 (u 11)du 3(u2u ln |1 u |) C1 u23 3(x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | C2例 7 求dx3x) x(1 解 设 x t 6于是 dx 6t 5d t从而高等数学教案第四章不定积分dx6t 5 dt6 t 2dt 6 (11 )dt 6(t arctant) C(1 3 x) x(1 t 2)t 31 t 21 t 26(6 x arctan 6 x) C例 8 求11xdxxx解 设1 x t 即 x11于是xt 21 1 xdx (t 2 1)t(t 2 2t dtx x 1) 22t 22 (11 )dtt2dtt 211 2t ln |t1 | Ct 1 2 1 x ln 1 xx Cx 1 xx练习1求dx2 cos x解作变换 ttan x则有 dx2dtcos x1 t2 21 t 21 t 22dtdx1 t 221dt21dt2cos x21 t 23t 2 31 (t2 31 t 2)32arctant C2 arctan( 1 x C3 33 tan )3 22求sin 5 xdxcos 4x解sin 5 x dxsin 4 xd cos x(1 cos 2 x) 2cos 4cos 4xcos4xd cos xx(121)d cos xcos 2 xcos 4 xcos x21 Ccos x 3 cos 3x3求3x 1 dxx23 x 2高等数学教案第四章 不定积分解2 3x 1dx3 x 1 dx ( 74)dx x 3x 2(x 2)( x 1) x 2 x 17 1 4 1 dxdx xx 2 17ln|x 2| 4ln|x 1| C§ 4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便 往往把常用的积分公式汇集成表 这种表叫做积分表 求积分时 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果 积分表一、含有 ax b 的积分1．dx1ln |ax b | Cax b a2． (ax b) dx1(ax b)a( 1)3．x dx 1 (ax b b ln |axax b a 21C(1)b |) C4．x 2 dx 1 1(ax b)2 2b(ax b) b 2 ln |ax b | Cax ba 3 25．dx 1ln ax b Cx( ax b)b x6．2 dx1 a2 ln ax bCx (ax b)bx bx7．xb) 2 dx12 ln |ax b| b C(ax aax b 8．x 2 dx 1 ax b 2b ln |ax b|b 2(ax b) 2 3 Caax b 9．dx1 b) 1 ln ax bCx( ax b)2 b(ax b 2x例 1 求x4) 2dx(3x解 这是含有 3x 4 的积分 在积分表中查得公式(ax xdx 1 ln |ax b|b bCb)2a 2ax现在 a 3、 b 4 于是x4)2dx1 ln |3x 4| 4 C(3x 9 3x 4二、含有 ax b 的积分1．ax b dx 2 (ax b)3C3a2． x ax bdx2 (3ax 2b) (ax b)3C15a 23． x 2 ax b dx23(15a 2x 2 12abx 8b 2) (ax b)3 C105a4．x dx2 (ax 2b) ax b Cax b 3a 2x 2 b dx 25．ax15a 3(3a2x 24abx 8b 2) axb Cdx1lnax b b C (b 0)6．b ax b b x ax b2 arctan ax b C (b 0)b b 7．8．dx ax b adxx 2 ax b bx2b x ax b axb dx 2 ax b bdx xx ax b9．ax bdx ax b a x dx bx 2x 2 ax 三、含 x 2 a 2 的积分 1．x 2dx 1arctan xCa 2 aa2．dxx2n 3 dx(x 2 a 2)n 2(n 1)a 2(x 2 a 2)n 1 2(n 1)a 2 ( x 2a 2) n 13．x 2 dx1ln x a Ca 2 2a x a四、含有 ax 2 b(a 0)的积分dx 1 arctan a x C (b 0) 1．ab bax2b1a xblnC (b 0)2 a x bab2．x dx1ln |ax 2 b| Cax 2 b2a内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室3．x 2 dx x b dxax 2 ba a ax 2b4．dx 1 ln x 2Cx( ax2b)|ax22b b |5．dx1 a 1 dxx 2(ax 2b)bx bax 2b6．dxa ln|ax 2 b| 1Cx 3 (ax 2 b) 2b 2x 22bx 27．dxx11 dx(ax2b)22b(ax 2b)2b ax 2b五、含有 ax 2 bx c (a 0)的积分 六、含有 x 2 a 2 (a 0)的积分1．dxa 2arshxC 1 ln( xx 2x 2 a 2．dxxC( x 2a 2 )3a 2x 2a23．xdxx 2 a 2 Cx 2 a 24．xdx1C2a 2 )3x 2a 2( x5．x2dx x x2a2a 2ln(xx 2 a 2 226．x2dxxln( x( x 2 a 2 )3x 2a27． dx1lnx 2 a 2 a C x x 2 a 2a| x| 8．dxx 2 a 2 Ca 2a 2 xx 2 x 29．x2a 2dx x x 2 a 2 a 2ln( x 22例 3 求dx4 x29x解 因为dx1dx2x x 2 ( 3) 2x 4x 2 92a 2 ) Cx 2a 2 ) Cx 2 a 2 ) Cx 2 a 2 ) C所以这是含有x 2 a 2 的积分 这里 a3 在积分表中查得公式2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室xdxa 21ln x 2 a 2a Cx 2 a|x|dx 1 2x 2( 3)23 1 4x 29 3于是ln22 C ln Cx 4x 292 3|x|3 2|x|七、含有 x 2 a 2 (a 0)的积分1．dxa 2x arch |x| C 1 ln |x x 2 a 2 | Cx 2 |x|a2．dxxC( x 2a 2 )3a2x 2a23．x a 2 dx x 2a 2 Cx 24．xdx1C( x 2a 2 )3x 2 a25．x 2dx x x 2 a 2 a 2x 2 a 2| Cx 2 a 22ln |x26．x 2 dx x ln|x x 2 22 a 2 )3 2 a 2 a | C( x x7．dx1arccos aCx x 2 a 2 a |x|8．dx x 2 a 2Cx 2x 2a2a 2x9．x 2 2 dxxx 22a 2 22 | C a 2 a2 ln | xx a八、含有a 2 x 2 (a 0)的积分1．dx arcsinxCa 2 x 2a2．dxxC(a2x 2 )3a 2a2x23．x dxa 2 x 2 Ca 2 x 24．x dx 1 C(a2x 2 )3a2x25．x 2 dxx a 2 x 2a 2 x Ca 22arcsinax 226．x2dx a 2 xx 2arcsinxC(a 2 x 2 )3a内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室7．dx1 ln a a2 x 2 Cx a 2 x 2a| x| 8．dxa 2 x 2 Cx2a2x2a 2x9．a 22dx xa 22a 2arcsin xCx 2x2 a九、含有 ax 2 bx c(a 0) 的积分十、含有x a 或 (x a)( x b) 的积分x b十一、含有三角函数的积分1． secxdx ln |secx tan x| C2． cscxdx ln |cscx cot x| C3． secx tan xdx secx C4． cscx cot xdx cscx C 5． sin 2 xdx6． cos 2 xdx 7． sin n xdxx1 sin 2x C2 4 x1sin 2x C 2 4 1 sin n 1 xcos x n 1 sin n 2 xdx n nn 1 cos n 2xdx n1 cos(a b)x2(a b)1sin(a b) x2(a b)1sin(a b)x2(a b)cos(a b) x C 2(a b)1 sin(a b) x C2(a b)1sin(a b)x C2(a b)12．dxa bsin x2a tanxb2 arctan2 2 C (a 2b 2 )a 2b a 2b9． sin axcosbxdx10． sin axsin bxdx11． cos axcosbxdx8． cos n xdx 1cos n 1 x sin x n内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章 不定积分dx 2a tanxbb 2 a 222213．a bsin xb 2a 2ln a tanxbb 2 a 2 C (ab )214．dx a 2 a barctana b tan xC (a 2 b 2)a b cos x b a b a b 2dx2 a b ln tanxa b14．a 2b a C (a 2 b 2)a b cos x b b atan xa b2b a例 2 求dx5 4cos x解 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式dx 2 b a barctana b tan xC (a 2 b 2 )a b cos x a aba b 2这里 a 5、 b 4 a 2b 2 于是5 dx5 2 4) 5 ( 4)arctan 5 ( 4) tan xC4cos x( 5 ( 4) 5( 4)22arctan 3tanxC32例 求 sin 4 xdx解 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式sin nxdx1sinn1x cos x n1sinn2xdx sin 2xdxx 1sin 2x Cnn 2 4这里 n 4于是sin 4xdx1sin 3xcos x3sin 2xdx1sin 3xcos x 3 ( x1sin 2 x) C4444 2 4内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室。

第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及根本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个函数的导数〔或微分〕的问题，例如，变速直线运动中位移函数为()s s t =， 那么质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1.1.1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：假设()()'=F x f x ，那么对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，那么有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理：定理2 假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么()()-=F x x C φ〔C 为任意常数〕． 假设()()'=F x f x ，那么()+F x C 〔C 为任意常数〕表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1.1.2不定积分定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作()d ⎰f x x ．其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，假设()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，那么()f x 的不定积分可表示为()d ()=+⎰f x x F x C ．注 〔1〕不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．〔2〕求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C ．例1 求23d x x ⎰．解 因为32()3,'=x x 所以233d x x x C =+⎰．例2 求sin cos d x x x ⎰．解 〔1〕因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2x x x x C =+⎰．〔2〕因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21sin cos d cos 2x x x x C =-+⎰． 〔3〕因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以1sin cos d cos 24=-+⎰x x x x C ． 例3 求1d x x⎰． 解 由于0x >时，1(ln )'=x x ，所以ln x 是1x在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1d ln x x C x=+⎰．又当0x <时，[]1ln()x x '-=，所以ln()-x 是1x在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，1d ln()=-+⎰x x C x ．综上，1d ln x x C x=+⎰．例4 在自由落体运动中，物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，那么加速度d ()d va t g t==〔其中g 为重力加速度〕． 因此()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰，又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，那么ds()dt=v t ．所以 21()()d d 2===+⎰⎰s t v t t gt t gt C ， 又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离21()2=s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义设函数()f x 是连续的，假设()()F x f x '=，那么称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+⎰在几何上表示被积函数的一族积分曲线．积分曲线族具有如下特点〔如图4.1〕：〔1〕积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；〔2〕积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．图4-1例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d yx x=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+⎰x x x C ，又曲线过(1,2)，所以21C =+，1C =．于是曲线方程为21y x =+．1.2 根本积分公式由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式．例如，因11x μμ+'⎛⎫ ⎪+⎝⎭=x μ，所以11x x dx C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕． 类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为根本积分公式． ①d k x kx C =+⎰〔k 是常数〕; ②1d 1x x x C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕;③1d ln x x C x=+⎰; ④sin d cos x x x C =-+⎰; ⑤cos d sin x x x C =+⎰; ⑥221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰; ⑦221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰; ⑧sec tan d sec x x x x C =+⎰; ⑨csc cot d csc x x x x C =-+⎰; ⑩21d arctan C 1x x x =++⎰，21d cot 1x arc x C x -=++⎰;⑪arcsin x x C =+，arccos x x C =+⎰;⑫e d e x x x C =+⎰;⑬d ln xxa a x C a=+⎰;以上13个根本积分公式，是求不定积分的根底，必须牢记．下面举例说明积分公式②的应用．例6求不定积分x x ⎰．解xx ⎰52d x x =⎰512512x C +=++7227x C =+． 以上例子中的被积函数化成了幂函数x μ的形式，然后直接应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用根本积分公式求解，那么可以结合不定积分的性质和根本积分公式求出一些较为复杂的不定积分．1.3 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质．性质1 积分运算与微分运算互为逆运算〔1〕()d ()'⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x 或d ()d ()d ⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x x ． 〔2〕()d ()'=+⎰F x x F x C 或d ()()=+⎰F x F x C 性质2 设函数()f x 和()g x 的原函数存在，那么[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰f x g x x f x x g x x ．易得性质2对于有限个函数的都是成立的．性质3 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零的常数，那么()d =⎰kf x x ()d ⎰k f x x ．由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰kf x lg x x k f x x l g x x ．例7 求23d 1⎛⎫+⎝⎰x x． 解23d 1⎛⎫+⎝x x213d 21x x x =-+⎰3arctan x =2arcsin x -C +．例8 求221d (1)+++⎰x x x x x ．解 原式=22(1)d (1)+++⎰x x x x x 211d 1x x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰3arctan 3x x x C =-++． 例9 求2e d x x x ⎰．解 原式(2e)d xx =⎰1(2e)ln 2exC =+2e 1ln 2x x C =++． 例10 求1d 1sin x x+⎰．解 1d 1sin x x+⎰()()1sin d 1sin 1sin xx x x -=+-⎰21-sin d cos x x x=⎰ 2(sec sec tan )d =-⎰x x x x tan sec x x C =-+．例11 求2tan d x x ⎰．解 2tan d x x ⎰=2(sec 1)d tan -=-+⎰x x x x C ．注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和根本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和根本积分公式，这种方法称为根本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算〔求导〕来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否那么是错误的．下面再看一个抽象函数的例子：例12 设22(sin )cos '=f x x ，求()f x ？解 由222(sin )cos 1sin '==-f x x x ，可得()1'=-f x x ， 从而21()2=-+f x x x C ．习题4-11．求以下不定积分．〔1〕41d x x⎰； 〔2〕x ⎰； 〔3〕； 〔4〕()2d ax b x -⎰；〔5〕22d 1x x x +⎰； 〔6〕4223d 1x x x x +++⎰；〔7〕x ； 〔8〕22d 1x x⎛⎫+⎝⎰； 〔9〕32e d x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； 〔10〕()22d 1x xx+⎰；〔11〕x ；〔12〕2tan d x x ⎰； 〔13〕2sin d 2xx ⎰；〔14〕cos 2d cos sin x xx x-⎰；〔15〕21cos d 1cos 2xx x++⎰； 〔16〕()sec sec tan d x x x x +⎰；〔17〕2352d 3x xxx ⋅-⋅⎰；〔18〕x ．2．某产品产量的变化率是时间t 的函数，()=+f t at b 〔a ，b 为常数〕．设此产品的产量函数为()p t ，且(0)0=p ，求()p t ．3．验证12arcsin(21)arccos(12)=-+=-+x C x C 3C =． 4．设33()d f x x x C '=+⎰，求()f x ？第2节 换元积分法和不定积分法2.1 换元积分法上一节介绍了利用根本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最根本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其根本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为根本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法．2.1.1第一类换元积分法定理1 设()f u 具有原函数，()=u x ϕ可导，那么有换元公式()[()]()d ()d =⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰u x f x x x f u u ϕϕϕ． 〔4.2.1〕证明 不妨令()F u 为()f u 的一个原函数,那么[]()()d ()=⎡⎤=+⎣⎦⎰u x f u u F x C ϕϕ．由不定积分的定义只需证明([()])[()]()''=F x f x x ϕϕϕ，利用复合函数的求导法那么显然成立．注 由此定理可见，虽然不定积分[()]()d '⎰f x x x ϕϕ是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的d x 也可以当做自变量x 的微分来对待．从而微分等式()d d '=x x u ϕ可以方便地应用到被积表达式中．例1 求33e d x x ⎰．解 3333e d e (3)d e d(3)x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰e d =⎰u u e =+u C ， 最后，将变量3u x =代入，即得333ed e xx x C =+⎰．根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:〔1〕将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分； 〔2〕引入中间变量作换元；〔3〕利用根本积分公式计算不定积分； 〔4〕变量复原．显然最重要的是第一步——凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法．例2 求()9945d x x +⎰．解 被积函数9945（）+x 是复合函数，中间变量45=+u x ，45（）=4'+x ，这里缺少了中间变量u 的导数4，可以通过改变系数凑出这个因子：99999911(45)d (45)(45)d (45)d(45)44'+=⋅+⋅+=++⎰⎰⎰x x x x x x x 991d 4=⎰u u 1001001(45)4100400+=⋅+=+u x C C ．例3 求22d xx x a +⎰． 解221x a+为复合函数，22u x a =+是中间变量，且222x a x '+=（）， 22222222221111d ()d d()22'=⋅+=++++⎰⎰⎰x x x a x x a xax a x a 221111d ln ln()222==+=++⎰u u C x a C u ． 对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成．例4 求x ⎰．解 322211)(1)23=--=--+⎰x x x C ．注 如果被积表达式中出现()d +f ax b x ，-1()d ⋅m m f x x x ，通常作如下相应的凑微分：1()d ()d()+=++f ax b x f ax b ax b a ， 111()d ()d()-+=⋅++n n n n f ax b x x f ax b ax b a n．例5 求1d (12ln )x x x +⎰．解 因为1d d ln x x x=，亦即11d d(1+2ln )2x x x=，所以1111d d ln d(1+2ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x==+++⎰⎰⎰ 1ln 1+2ln 2x C =+． 例6 求arctan 22d 1xx x +⎰．解 因为21d d arctan 1x x x =+，所以 arctan arctan arctan 222d 2d arctan ln 21x x xx x C x ==++⎰⎰．例7 求x ．解x =x C ==-⎰．在例4至例7中，没有引入中间变量，而是直接凑微分．下面是根据根本微分公式推导出的常用的凑微分公式．①x=②211d d x x x=-．③1d dln x x x=． ④e d de x x x =．⑤ cos d d sin x x x =． ⑥ sin d d cos x x x =-． ⑦221d sec d d tan cos ==x x x x x． ⑧ 221d csc d d cot sin =-=-x x x x x．d(arcsin )d(arccos )x x x ==-．⑩21d d(arctan )d(arccot )1x x x x ==-+． 在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．例8 求221d x a x +⎰． 解 将函数变形2222111.1a x a x a =+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由d d x x a a=，所以得到221d x a x +⎰2111darctan 1x xC aa a ax a ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰． 例9求x ． 解1x x x aa ⎛⎫==⎪⎝⎭ arcsinxC a=+． 例10 求tan d x x ⎰． 解 tan d x x ⎰=sin d d cos ln cos cos cos x x xx C x x-==-+⎰⎰． 同理，我们可以推得cot d ln sin x x x C =+⎰．例11 求3sin d x x ⎰．解 3222sin d sin sin d sin dcos (1-cos )dcos x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰31cos cos 3x x C =-++．例12 求23sin cos d x x x ⎰．解 232222sin cos d sin cos cos d sin cos dsin x x x x x x x x x x ==⎰⎰⎰2224sin (1sin )dsin (sin sin )dsin x x x x x x =-=-⎰⎰3511sin sin 35x x C =-+． 例13 求2sin d x x ⎰． 解 21cos 211sin d d sin 2224x x x x x x C -==-+⎰⎰． 例14 求sec d x x ⎰． 解 12211sec d d cos d cos d sin d sin cos 1sin x x x x x x x x x x--====-⎰⎰⎰⎰⎰ 1sin 1ln ln sec tan 2sin 1x C x x C x +=+=++-． 同理，我们可以推得csc d ln csc cot x x x x C =--+⎰．注 对形如sin cos d m n x x x ⎰的积分，如果m ，n 中有奇数，取奇次幂的底数〔如n 是奇数，那么取cos x 〕与d x 凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利的计算出不定积分;如果m ，n 均为偶数，那么利用倍角〔半角〕公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分．例15 求sin 2cos3d x x x ⎰． 解 sin 2cos3d x x x ⎰=11sin 5d sin d 22x x x x -⎰⎰=11cos5cos 102x x C -++ =11cos cos5210x x C -+． 一般的，对于形如以下形式sin cos d mx nx x ⎰， sin sin d mx nx x ⎰， cos cos d mx nx x ⎰，的积分〔m n ≠〕，先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分．例16 求221d x x a -⎰． 解 因为 2211111()()2⎛⎫==- ⎪-+-+-⎝⎭x a x a a x a x a x a， 所以 221111111d d d d 22⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x x a x a x a a x a x a x a111d()d()2x a x a a x a x a ⎛⎫=--+ ⎪-+⎝⎭⎰⎰ ()11ln ln ln 22x a x a x a C C a a x a-=--++=++． 这是一个有理函数〔形如()()P x Q x 的函数称为有理函数，()P x ，()Q x 均为多项式〕的积分，将有理函数分解成更简单的局部分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法．下面再举几个被积函数为有理函数的例子．例17 求23d 56x x x x +-+⎰．解 先将有理真分式的分母256x x -+因式分解，得256-+=x x (2)-x (3)-x ．然后利用待定系数法将被积函数进行分拆．设232356x A B x x x x +=+---+=(3)(2)(2)(3)-+---A x B x x x ， 从而 3(3)(2)+=-+-x A x B x ， 分别将3,2x x ==代入3(3)(2)+=-+-x A x B x 中，易得56A B =-⎧⎨=⎩．故原式=56d 23x x x -⎛⎫+⎪--⎝⎭⎰=5ln 26ln 3x x C --+-+． 例18 求33d 1x x +⎰． 解 由321(1)(1)+=+-+x x x x ， 令323111A Bx Cx x x x +=+++-+， 两边同乘以31x +，得23(1)()(1)=-++++A x x Bx C x ．令1,x =-得1A =；令0,x =得2C =；令1x =，得1B =-． 所以32312111x x x x x -+=+++-+． 故3223121213d d ln 1d 12111-+--⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x =2221d 1d(1)32ln 12211324x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭⎰⎰．21=ln 1ln(1).2x x x C +--+++2.1.2 第二类换元积分方法定理2 设()=x t ψ是单调，可导的函数，并且()0'≠t ψ，又设[]()()'f t t ψψ具有原函数，那么有换元公式，[]1()()d ()()d -=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰t x f x x f t t t ψψψ，其中，1()-x ψ是()=x t ψ的反函数．证明 设[]()()'f t t ψψ的原函数为()t φ．记1()()-⎡⎤=⎣⎦x F x φψ，利用复合函数及反函数求导法那么得[][]d d 1()()()()()d d ()''=⋅=⋅=='t F x f t t f t f x t x t φψψψψ， 那么()F x 是()f x 的原函数．所以11()()d ()[()][()]()d --=⎡⎤'=+=+=⎣⎦⎰⎰t x f x x F x C x C f t x t ψφψψψ．利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数()=x t ψ代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将1()t x ψ-=复原．常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法．一、三角函数代换法例19 求22d a x x -⎰(0)>a ．解 设ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，22cos a x a t -=，d cos d x a t t =，于是22d a x x -⎰=2222cos cos d cos d sin cos 22a a a t a t t a t t t t t C ⋅==++⎰⎰．因为 ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，所以arcsin ,xt a = 为求出cos t ，利用sin xt a=作辅助三角形〔图4-2〕，求得22cos a x t a-=， 所以 22222221d d arcsin 22a x a x x a x x x a x C a -=-=+-+⎰⎰．图4-2例20 求22d x x a+⎰(0)>a ．解 令2ππtan ,,,d sec d 22x a t t x a t t ⎛⎫=∈-= ⎪⎭⎝，22d xx a +⎰=21cos sec d sec d ln sec tan t a t t t t t t C a ⋅==++⎰⎰． 利用tan xt a=作辅助三角形〔图4-3〕，求得 22ππsec ,,22x a t t a +⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝ 所以 ()2222122d ln ln xx x a c x x a C a ax a ⎛⎫+ ⎪=++=+++ ⎪+⎝⎭⎰．图4-3例21 求22x a-(0)>a ．解 当x a >时，令πsec ,0,,d sec tan d 2x a t t x a t t t ⎛⎫=∈=⋅ ⎪⎭⎝，22x a -=11cot sec tan d sec d ln sec tan t a t t t t t t t C a⋅⋅⋅==++⎰⎰．利用cos at x=作辅助三角形〔图4-4〕，求得22tan x a t -=所以 (2222122lnln x x a C x x a C aax a -=+=+-+-，1(ln )C C a =-． 当x a <-时，令x u =-那么u a >，由上面的结果，得((2222112222ln ln u u a C x x a C x a u a =-=-+=---+--=(221,(2ln )x x a C C C a --+=-． 综上，2222ln x x a C x a =-+-．图4-4注 22a x -22a x +22x a -换元：sin x a t =，tan x a t =，sec x a t =±将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．二、简单无理函数代换法 例22 求12x+．解 令22,,d d 2u u x x x u u ===，12x +=d 11d 11u u u u u ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰(ln 12ln 12u u C x x C =-+++． 例23 求3(1+)x x．解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换： 令6t x =6x t =，5d 6d x t t =，从而522322361d 6d 61d (1)11(1+)t t t t t t t t t x x ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 666(arctan )6()t t C x x C =-+=+．例24 求211d xx x x +． 解 为了去掉根式，作如下代换：1x t x +=，那么211x t =-，222d d (1)t x t t =--，从而222222112d (1)d 2d (1)x t x t t t t t x x t +-=-⋅=--⎰⎰ 32322133x t C C x +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 一般的，如果积分具有如下形式〔1〕()d n R x ax b x +⎰，那么作变换n t ax b +〔2〕(,)d n m R x ax b ax b x ++⎰，那么作变换pt ax b +p 是m ，n 的最小公倍数；〔3〕(R x x ⎰，那么作变换t = 运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令1x t=，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x ．例25 求6d (1)+⎰xx x ．解 令211,d d x x t tt ==-， 6d (1)+⎰x x x =52661d d 1111t t t t t t t -=-+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰661d(1)61+=-+⎰t t 61ln 16t C =-++ 611ln 16C x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． 例26求x ． 解 设211,d d ,x x t tt ==-则 于是1222241d (1)d ⎫=-=--⎪⎝⎭⎰x t a t t t t t , 当0x >时，有31222222222231()(1)d(1)23-=---=-+⎰a x x a t a t C a a x ． 0x <时，结果相同．本例也可用三角代换法,请读者自行求解．四、指数代换 例27 求2d e (e 1)+⎰x x x．解 设1e ,d d ,x t x t t==则 于是222d 1d e (e 1)(1)=++⎰⎰x x x t t t22111d arctan 1t t C t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪+⎝⎭⎰--e arctane x x C =--+． 注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的根本积分公式，将常用的积分公式再添加几个〔0a >〕：①tan d ln cos x x x C =-+⎰; ②cot d ln sin x x x C =+⎰; ③cscd x ⎰=ln csc cot x x C -+; ④sec d ln sec tan x x x x C =++⎰; ⑤2211d arctan xx C a a a x=++⎰; ⑥221d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++; ⑦arcsin xx C a =+>（a 0）;⑧(ln x C =+;⑨ln x C =． 例28 求．解=2arcsin3-=+x C ． 例29 求．解=11ln(222=+x C ． 例30 求解ln 1=-x C ．例31 求322d (22)x x x x -+⎰．解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：2(1)1x -+，令ππ1tan ,,22⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭x t t ，那么2222sec x x t -+=，2d sec d x t t =．所以332224(1tan )d sec d (22)sec x t x t t x x t +=⋅-+⎰⎰23cos (1tan )d t t t =+⎰3(sin cos )d cos t t t t+=⎰ 3122(sin cos 3sin 3sin cos cos )d t t t t t t t -=+++⎰ 2ln cos cos 2sin cos t t t t t C =--+-+．图4-5按照变换ππ1tan ,22x t t ⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭作〔辅助三角形图4-5〕，那么有2cos 22t x x =-+，2sin 22t x x =-+，于是322221d ln(22)2arctan(1)2(22)22x x x x x x C x x x x =-++--+-+-+⎰．2.2 分部积分法前面我们得到了换元积分法．现在我们利用“两个函数乘积的求导法那么〞来推导求积分的另一种根本方法—分部积分法．定理1 设函数()=u u x ，()=v v x 具有连续的导数，那么d d =-⎰⎰u v uv v u ．〔4.2.2〕证明 微分公式d()d d =-uv u v v u 两边积分得d d =-⎰⎰uv u v v u ，移项后得d d =-⎰⎰u v uv v u ．我们把公式〔4.2.2〕称为分部积分公式．它可以将不易求解的不定积分d u v ⎰转化成另一个易于求解的不定积分d v u ⎰．例32 求cos d x x x ⎰．解 根据分部积分公式，首先要选择u 和d v ，显然有两种方式，我们不妨先设,cos d d ,u x x x v == 即sin v x =，那么cosd dsin sin sin d sin cos x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰．采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择： 设cos ,d d ,u x x x v == 即212v x =，那么222111cos d cos d cos sin d 222x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰， 比拟原积分cos d x x x ⎰与新得到的积分21sin d 2x x x ⎰，显然后面的积分变得更加复杂难以解出．由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和d v ．如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂．在选取u 和d v 时一般考虑下面两点: 〔1〕v 要容易求得；〔2〕d v u ⎰要比d u v ⎰容易求出． 例33 求e d x x x ⎰．解 令,e d d ,e x x u x x v v ===,那么e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．例34 求2e d x x x ⎰．解 令2,e d d ,e x x u x x v v ===，那么利用分部积分公式得22222e d dee e d e 2e d xxx x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰，这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x 的幂次比原来降了一次，e d xx x ⎰显然比2e d xx x ⎰容易积出，根据例4.3.2，我们可以继续运用分部积分公式，从而得到222e d e2e d e 2de xxx x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰2e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．注 当被积函数是幂函数与正〔余〕弦或指数函数的乘积时，幂函数在d 的前面，正〔余〕弦或指数函数至于d 的后面．例35 求ln d x x x ⎰． 解 令ln ,u x =21d d 2x x x =，212v x =，那么 222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 22ln 124x x x C =-+．在分部积分公式运用比拟熟练后，就不必具体写出u 和d v ，只要把被积表达式写成d ⎰u v的形式，直接套用分部积分公式即可． 例36 求arctan d x x x ⎰．解 222211arctan d arctan d arctan d 221x x x x x x x x x x ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰21(arctan arctan )2=-++x x x x C ． 注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d 的前面，幂函数至于d 的后面．下面再来举几个比拟典型的分部积分的例子．例37 求e sin d x x x ⎰．解 〔法一〕e sin d sin de e sin e cos d x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin cos de x x x x =-⎰=e sin e cos e sin d x x x x x x x --⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x xx x x x C ． 〔法二〕x e sin d e d(cos )e (cos )cos d(e )=-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x =e cos cos e d e cos e dsin x x x x x x x x x -+=-+⎰⎰ =e cos e sin sin de x x x x x x -+-⎰ =e cos e sin e sin d x x x x x x x -+-⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x x x x x x C ．当被积函数是指数函数与正〔余〕弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会复原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法〞，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．例38 求3sec d x x ⎰．解 32sec d sec d tan sec tan sec tan d x x x x x x x x x ==⋅-⋅⎰⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x =⋅+-⎰⎰，利用 1sec d ln sec tan x x x x C =++⎰ 并解方程得3sec d x x ⎰=1(sec tan ln sec tan )2⋅++x x x x +C ．在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法．例39求x ⎰．解令2,d 2d t t x t t ===，e 2d 2de 2e 2e d 2e 2e t t t t t t x t t t t t t C C ===-=-+=-+⎰⎰⎰⎰．例40 求cos(ln )d x x ⎰． 解 令ln ,e ,d e d t t t x x x t ===，cos(ln )d x x ⎰=()()1cos e d e sin cos sin ln cos ln 22t t xt t t t C x x C ⋅=++=++⎰． 下面再看一个抽象函数的例子．例41 ()f x 的一个原函数是sin xx，求()d '⎰xf x x ？ 解 因为()f x 的一个原函数是sin x x ，所以sin ()d =+⎰xf x x C x， 且 2sin cos sin ()'-⎛⎫==⎪⎝⎭x x x xf x x x ．从而 原式()()d d[()]()d '===-⎰⎰⎰xf x x x f x xf x f x x cos 2sin x x xC x-=+．习题4-2一、求以下不定积分． 1．2014(23)d -⎰x x ； 2．23d (12)-⎰xx ；3．()d +⎰k a bx x 〔0b ≠〕； 4．sin3d x x ⎰； 5．()cos d x x αβ-⎰； 6．tan5d x x ⎰； 7．3e d x x -⎰； 8．210d x x ⎰； 9．121e d x x x⎰；10．2d 19xx +⎰； 11．2d πsin 24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；12．x ⎰；13．2(23)d 38--+⎰x xx x ；14．；15．e sin e d x x x ⎰； 16．2e d x x x ⎰； 17．x ； 18．θ；19．；20．22(arctan )d 1+⎰x x x ；21．2d 3x x x+⎰；22．21d 413x x x x -++⎰；23．2cos d x x ⎰； 24．4sin d x x ⎰； 25．1tan d sin 2xx x+⎰； 26．22cos sin d x x x ⎰； 27．3cos d x x ⎰； 28．35sin cos d x x x ⎰； 29．4sec d x x ⎰；30．4tan d x x ⎰； 31．22d sin cos xx x⎰；32．4；33．；34．322d (1)-⎰x x ；35．3322d (1)+⎰x xx ；36．2x ；37．3222d ()+⎰xx a ；38．x ； 39． 40． 41．；42．；43．x ； 44．x ；45．42d xx x -⎰； 46．2d (1)+⎰xx x ．二、求以下不定积分．1．sin 2d x x x ⎰； 2．-(e e )d 2-⎰x x x x ； 3．2cos d x x x ω⎰； 4．2d x x a x ⎰；5．ln d x x ⎰； 6．ln d n x x x ⎰〔1n ≠〕； 7．arctan d x x ⎰； 8．arccos d x x ⎰； 9．e cos d ax nx x ⎰；10．2ln(1)d +⎰x x x ；11．32ln d xx x⎰；12．2(arcsin )d ⎰x x ；13．2cos d x x x ⎰； 14．2tan d x x x ⎰；15．22cos d x x x ⎰； 16．2ln cos d cos xx x⎰；17．3ln d xx x ⎰； 18．x ⎰．三、()f x 的一个原函数是2-e x ，求()d '⎰xf x x .第3节 有理函数的积分3.1 有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(,其中m 和n 都是非负整数; a 0,a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 及b 0,b 1,b 2,⋅⋅⋅,b m 都是实数,并且a 0≠0,b 0≠0.当n <m 时,称这有理函数是真分式;而当n ≥m 时,称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,那么先因式分解,然后化成局部分式再积分.例1 求⎰+-+dxx x x 6532.解⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x ,A +B =1,-3A -2B =3,A =6,B =-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dxx x x 3222.解⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示:321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x .例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示:222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .3.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四那么运算所构成的函数,其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算.由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示,故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数,然后作变换2tan xu =:222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=.变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tanx u =,那么212sin u u x +=,2211cos u u x +-=,x =2arctan u ,du u dx 212+=. 于是⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+Cx x d xdx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .习题4-3求以下不定积分．1.x dx x +⎰33；2.x dx x x ++-⎰223310； 3.x dx x x +-+⎰2125； 4.()dx x x +⎰21 ；5.()()x dx x x ++-⎰22111；6.()()x dx x ++⎰22211；7.sin dx x +⎰23； 8.cos dxx +⎰3；9.sin dx x +⎰2 ； 10.sin cos dx x x++⎰1；11.sin cos dxx x -+⎰25； 12.⎰.第4节 MATLAB 软件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质，在此，我们应用MA TLAB 命令来实现这一操作.MATLAB 符号运算工具箱提供了int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(fx,x) %求函数f(x)关于x 的不定积分参数说明：fx 是函数的符号表达式，x 是符号自变量，当fx 只含一个变量时，x 可省略. 例计算下面的不定积分.sin .cos x xI dx x+=+⎰1syms xI=int((x+sin(x)/(1+cosx))) I=X*tan(x/2)说明：由上述运行结果可知，int 函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：syms x c fx=f(x); int(fx,x)+c以sin cos x xI dx x +=+⎰1为例，编写如下语句可以得到其不定积分：syms x cfx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I=int(fx,x)+c I=C+x*tan(x/2)在上述语句的根底上再编写如下语句即可观察函数的积分曲线族： ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2);plot(xx,subs(fx,xx),’k’,’LineWidth’,2) hold on for c=0:6Y=inline(subs(I,C,c));Plot(xx,y(xx),’LineStyle’,’- -’); Endlegend(‘函数曲线’，’积分曲线族’，4).总习题4 (A)一、填空题1．假设()f x 的一个原函数为cos x ，那么()d f x x ⎰=． 2．设()d sin f x x x C =+⎰，那么2(1)d xf x x -⎰＝． 3．2e d x x x =⎰． 4．1d 1cos 2x x=+⎰．5．22(arctan )d 1x x x +⎰＝．二、选择题1．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x，且过点2(e ,3)，那么该曲线方程为． (A) ln y x =(B) ln 1y x =+(C) 211y x =-+ (D) ln 3y x =+2．设()f x 的一个原函数是2e x -，那么()d xf x x '=⎰．(A) 222e x x C --+ (B) 222e x x -- (C) 22e (21)x x C ---+(D) ()()d xf x f x x +⎰3．设()F x 是()f x 的一个原函数，那么．(A) ()()d ()f x x F x '=⎰(B) ()()d ()f x x f x '=⎰(C)d ()()F x F x =⎰(D) ()()d ()F x x f x '=⎰4．设()f x 的原函数为1x，那么()f x '等于． (A) ln x(B)1x(C) 21x -(D)32x 5．2d x x x =⎰．(A) 22xxx C -+(B) 222ln 2(ln 2)x xx C -+(C) 22ln (ln 2)2x x x x C -+(D) 222x x C + 三、计算以下各题1．x ；2．1d e e x xx --⎰； 3．2ln(1+)d x x ⎰； 4．2d 23++⎰xx x ；5．sin ecosxd xx ⎰；6．742d (1)x xx +⎰；7．12e d x x -⎰； 8．；9．1d e 1xx -⎰； 10．3d (1)xx x -⎰；11．x x ；12．x ； 13．4d 1xx -⎰； 14．； 15．32ln d x x x ⎰； 16．17．x ⎰； 18．19．20．4sin d 2xx ⎰；21．24(tan tan )d x x x +⎰；22．2sec d 1tan ⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰x x x ；23．sin(lnx)d x ⎰； 24．5；25．x ；26．54tan sec d t t t ⎰；27．3sin x π⎰； 28．64tan cos d sin x x x x⎰；29．44d sin cos xx x⎰；30．1sin d 1sin +-⎰xx x；31．x x ；32．x ⎰；33．e (1)d +⎰x x x x ； 34．x ；35．2ln(1)d x x x +⎰；36．x ． (B)1.〔1999、数学一〕设()f x 是连续函数()F x 是()f x 的原函数,那么( ). (A) 当()f x 是奇函数时,必是偶函数.(B) 当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数.(C) 当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数.(D) 当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.2.〔2006、数学二〕 求arctan xxe dx e ⎰. 3.〔2003、数学二〕 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+.4.(2021、数学三)计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.。