人教版高中数学选修2-1教案学案：抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质 课前预习学案 一、 预习目标 回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程，预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质 二、 预习内容 1、 复习回顾 (1) 抛物线定义 叫作抛物线； 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线 （2）抛物线的标准方程

①相同点 ； ②不同点 ； （3）回顾练习 ①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥AB

②在抛物线y2＝2x上方有一点M（3，310），P在抛物线上运动，|PM|=d1,P到准线的距离为d2，求当d1 +d2最小时，P的坐标。 2、预习新知 （1）根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质 ①范围 ： ； ②对称性： ； ③顶点： ； ④离心率： ； （2）自我检测：

1．已知点1(,0)4F，直线l：41x，点B是直线l上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M所在曲线是（ ） ()A圆 ()B椭圆 ()C双曲线 ()D抛物线

图形 x

y

OFl x

yOFl 方程 焦点 准线

xyOF

l

x

y

OFl

l y P A

M

O F x Q B

图① 2．设抛物线22yx的焦点为F，以9(,0)2P为圆心，PF长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于,MN，则||||MFNF的值为 （ ） ()A8 ()B18 ()C22 ()D4

3．过点(3,1)的抛物线的标准方程是 ． 焦点在10xy上的抛物线的标准方程是 ． 4．抛物线28yx的焦点为F，(4,2)A为一定点，在抛物线上找一点M，当||||MAMF为最小时，则M点的坐标 ，当||||||MAMF为最大时，则M点的坐标 ． 三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 二、学习过程 1、定义 ； 2、标准方程 ； 3、几何性质 ①范围 ： ； ②对称性： ； ③顶点： ； ④离心率： ； 4、完成下表

标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 022p

pxy 0,0

2

px 1e

xyOFl

0,0 x

轴 0,2p 1e

022p

pyx 0,0

2

py 1e

0,0 y轴 1e

思考问题：抛物线是双曲线的一支吗？为什么？ 5、分析例题

例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M，求它的标准方程，并用描点法画出图形． 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．

例3 过抛物线pxy22的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点， 求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

例4． 已知抛物线24xy与圆2232xy相交于,AB两

点，圆与y轴正半轴交于C点，直线l是圆的切线，交抛物线与,MN，并且切点在ACB上． （1）求,,ABC三点的坐标．（2）当,MN两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线l的方程． 课后练习与提高 1．过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于11,yxA，22,yxB两点，如果

xyEOF

B

ADC

H621xx，那么||AB=（ B ）

（A）10 （B）8 （C）6 （D）4 2．已知M为抛物线xy42上一动点，F为抛物线的焦点，定点1,3P，则

||||MFMP的最小值为（ B ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．过抛物线02aaxy的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的

长分别是p、q，则qp11=（ C ） （A）a2 （B）a21 （C）a4 （D）a4 4．过抛物线xy42焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是 ______ (答案：122xy ) 5.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标

（答案：22,45M , M到y轴距离的最小值为45） 6．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图． （1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点． （3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5． 7．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于 8．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

9．以椭圆1522yx的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长． 10．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？ 抛物线的简单几何性质 教学目的： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： “抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用 研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p 本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程： 一、复习引入： 1．抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛

物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与

图形 x

yOFl x

yOFl 方程 )0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx

焦点 )0,2(p )0,2(p )2,0(

p

)2,0(p

准线 2px 2px 2py 2p

y

xyOF

l

x

y

OFl焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp

不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为px2、左端为2y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为py2，左端为2x （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 二、讲解新课： 抛物线的几何性质 1．范围

因为p＞0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性

以－y代y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022ppxy中，当y=0时，x=0，

因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点． 4．离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1． 对于其它几种形式的方程，列表如下：

标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率

022p

pxy

x

y

OFl

0,0 x

轴 



0,

2

p

2p

x 1e