微积分课程讲解-高等数学-合集

5-2 一阶导数的应用
例5 确定 y 3 x2 的单调区间。
解 函数的定义域为 (,)
y
2
1
x3
2
3
33 x
由于 y 0 则无驻点；
当x=0时 y 不存在，则x=0为奇点
（也可以是单调区间分界点）
讨论 得函数在 (,0) 递减，(0,) 递增。
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精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-3 二阶导数的应用
曲线凹凸区间的判定（如图）
y y
y=f(x)
y=f(x)
1
0a
2
bx
2
1
x
0a
b
a图
b图
直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方； 曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。
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《微积分》
教学课件
南京 **大学 高数教研室
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第五章 导数的应用
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➢ 前言 ➢ 理论基础：中值定理 ➢ 一阶导数的应用
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❖ 序言

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正确答案选（C）。
例 3 判别级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
= 1+
1+
1 +…+
13 35 57
1
+…的敛散性，
(2n 1)(2n 1)
若收敛则求其和。
解 由于
un
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
所以级数的部分和
Sn
=1 13
+1 35
+1 57
+…+
1 (2n 1)(2n 1)
例3（讲义例3）讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
(a 0) 的收敛性.
注：几何级数是收敛级数中最著名的一个级数．阿贝尔曾经指出“除了几何级数 之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”．几何级数在判断 无穷级数的收敛性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有 广泛而重要的应用.
（4）级数收敛的必要条件：若级数
un
n1
收敛，则
lim
n
un
0
例 1 讨论几何级数（也叫等比级数）
aq n1 = a+ aq+ aq2 +…+aq n1 +… （a≠0,q≠0）
n 1
的敛散性，若收敛则求其和。
解 级数的部分和
Sn
a(1 qn ) ; q 1q
1
na; q 1
（1）当
q
1
1
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解 由于 n1 3n 与 n1 7 n 都是几何级数，公比分别为 3， 7，

y,
dy dx
,,
dny dx n ) 0

y
x x0

y0
dy

dx

x x0
y1
有n个





定解条件
d n1 y
y n 1
n1
dx 29.07.2019
x x0
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定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
常微分方程的每一个都 解是一个 一元函数y f (x) 或是F(x, y) 0 ( 隐式解), 它的图形称为该常微分 方程的一条积分曲.线
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也可以等于零
于是得到Байду номын сангаас程 dy 2xy dx
通解 yCx e2 (CR)
29.07.2019
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(2) [解]
1y2 3x2ydy dx
分离变量
ydy 1 y2

dx 3x2
两端积分, 得 121y21C
2
3x
通解 1y2 1 C
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(一) 分离变量法
[例1] 解方程 这两个方程的共同特点
(1) dy 2xy
是变量可分离型
dx
(2) 1y2 3x2ydy dx
dy
f(x)(y)
分离变量
g(y)dyf(x)dx
dx
两边积分 g(y)dyf(x)dx 通解
29.07.2019
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(1) [解]
dy 2xy dx
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(一) 变量可分离型 dy f(x)g(y)
dx
或f(x)d xg(y)dy

柯西中值定理的应应用 例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章 导数的应用
第一节 中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内 可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在 内某点 处函 数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定 理又称为广义中值定理.