2021年湖南省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省衡阳市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．4e C ．2e - D ．4e- 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩24at t e =-=，解得4a e-故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D ．1310【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为118242642213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 3．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>， 又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.4．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.5．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<. 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.6．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】 求出AB 的元素，再确定其真子集个数．【详解】由2221y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得25251x y ⎧-⎪=⎪⎨-⎪=⎪⎩或25251x y ⎧-⎪=⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴A B 中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=4441515==，则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ）A ．48B ．63C ．99D ．120【答案】C 【解析】 【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n. 【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1 所以210199n =-= 故选：C. 【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.8．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( ) A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围. 【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点， 则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当[0,2]x π时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<，29352424ω∴<. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 9．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A 26-B ．26+C 62-D 62+【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==.∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3434sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题. 10．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1C ．1i -D ．1i +【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 由()(1)11z ii z i i z i i z i z z i-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题. 11．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B ={1}.故选：C 【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 12．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A ．2 B ．2C ．10D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|2510z i i =-⋅+=⨯=，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
绝密★启用前湖南省2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅰ卷数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号与写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形妈粘贴处”.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非连择题必须用黑色字连的钢笔或法字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A= {x| - 2 < x < 4}，B = (2，3，4,5)，则A∩B =A .{2}B. {2.3}C. {3.4}D. {2，3，4}2.已知z = 2 –i，则z（z + i） =A . 6 - 2 i B.4 - 2i C.6 + 2 i D.4 + 2 i3. 已知圆锥底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A. 2B.2√2C. 4D.4√24. 下列区间中，函数f（x） = 7sin（x - 56）单调递减的区间是A.（0.π2）B.（π2，x）C.（π.3π2）D.（3π2，2π）5. 已知F1，F2是椭圆C： x29+ y24= 1的两个焦点，点M在C上，则︱MF1︱ ·︱MF2︱的地大值为A. 13B. 12C. 9D. 66. 若tanθ = -2，则sinθ（1+sin2θ）sinθ+cosθ=A. - 65 B. -25 c .25 D .657. 若过点（a，b）可以作曲线y = e'的两条切线，则A. e' < aB. e < bC.0 < a < eD.0 < b < e8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三新高考数学模拟卷（二）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设1i3iz −=+，则在复平面内z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．曲线ln(1)y ax =+在点00（，）处的切线过点48（，），则a = （ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升4,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 5．已知向量()()()21,1,21,30,0,//,m a n b a b m n a b=−=−>>+若则的最小值为（ ） A ．12B ．8+C ．15D ．10+6．若()()sin cos 1,tan 2tan 21cos 24αααββαα=−=−=−，则 （ ） A ．43B ．43−C ．3D ．3−7．已知二面角l αβ−−为60，点A α∈,点B β∈,异面直线AB 与l所成的角为60，=4AB .若A 到β则B 到α的距离为 （ ）A ．B CD ．38．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 （ ）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好， 其对应关系如下表：下图是某市12月1日～20日AQJ 指数变化趋势下列叙述正确的是 （ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+− ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， 则n m −的值可能是 （ ） A ．512πB ．712π C ．34π D ．1112π11.下列有关说法正确的是 （ ）A ．5122x y ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的二项式系数为20；B ．事件AB 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件；C ．设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==;D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()2|9P A B =. 12．已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点,以下几个结论中正确的是 （ ） A ．01x e >B ．010x e<< C ．00()20f x x +< D ．00()20f x x +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知集合2{,,2},{2,,2}A a b B b a ==，且,AB A B =则a = .14．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛 结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概 率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3∶1获胜的概率是 _______ __．15．已知双曲线C 过点)(23，且渐近线方程是,33x y ±=则双曲线C 的方程为 ，又若点)(,4,0N F 为双曲线C 的右焦点，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最 小值为 .16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB =1，3APB BAD π∠=∠=，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在 ① (a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ; ② b sin2B C+=a sin B ; ③ cos2A -3cos (B +C )=1；这三个条件中任选一个完成下列内容： （1）求A 的大小；（2）若△ABC 的面积S=，b =5，求sin B sin C 值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
