人教版新课标高中数学选修2-2《导数及其应用》单元测试题(含答案)

数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．[π2，34π]4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜325．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6 6．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3D.137．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1 s 末 B ．0 s C ．4 s 末D ．0,1,4 s 末11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎜⎛2f(x)d x 等于( )A .34B .45C .56D ．不存在12．若函数f(x)＝sin xx，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且⎠⎜⎛01f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________． 16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x)d x ＝⎪⎪⎪13x 31⎪⎪⎪＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx2， 令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎜⎛01f(x)d x ＝⎠⎜⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x－a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S 2＝⎠⎜⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：f(x)在[0,2]上是减函数．则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3. 又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3，∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a ＋3＝－29，得a ＝2.(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值．当x ＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2.综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析(1)f′(x)＝aax＋1－2(1＋x)2＝ax2＋a－2(ax＋1)(1＋x)2，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝ax2＋a－2 (ax＋1)(1＋x)2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

高中数学选修2-2第一章单元测试题《导数及其应用》(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列各式正确的是( )A．(sin a)′＝cos a(a为常数)B．(cos x)′＝sin xC．(sin x)′＝cos xD．(x－5)′＝－15x－62．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x3．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝04．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )A．0 B．2C．1 D．－15．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( ) A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝216．已知，对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<07.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如右图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)8．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈1，e]，则⎠⎛0e f (x )d x 等于( ) A.43 B.54 C.65 D.769.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－210．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.12．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间为________．13．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 的单位：m/s ，t 的单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋4ln x的极值点为1和2.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值．16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－43ln x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)单调区间及极值．17．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln x－a x .(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．高中数学选修2-2第一章单元测试题《导数及其应用》(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列各式正确的是( )A．(sin a)′＝cos a(a为常数)B．(cos x)′＝sin xC．(sin x)′＝cos xD．(x－5)′＝－15x－6解析：选C 由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x解析：选B 只有B中y′＝e2＞0在(0，＋∞)内恒成立．3．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0解析：选D 设切点坐标为(x0，y0)，y′＝4x，由题意得4x0＝4，解得x0＝1，所以y0＝2，故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.4．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )A．0 B．2 C．1 D．－1解析：选A ∵f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1， ∴f ′(1)＝0.5．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21解析：选A f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．6．已知，对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：选B f (x )为奇函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递增，f ′(x )>0；g (x )为偶函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递减，g ′(x )<0.7.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如右图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．8．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈1，e]，则⎠⎛0e f (x )d x 等于( )A.43B.54C.65D.76解析：选A ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x＝13x 310＋ln x e＝43. 9.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2解析：选A 法一：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)，因为函数f (x )的图象与x 轴所围成区域的面积为112，所以⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝－112，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 4＋13ax 3a＝－112，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，故选A.法二：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2.若a ＝0，则f (x )＝－x 3，与x 轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图象，排除B ；若a ＝1，则f (x )＝－x 3＋x 2＝－x 2(x －1)，与x 轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图象，排除C ；若a＝－2，则所围成的面积为－⎠⎛－20(－x 3－2x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4＋23x 302－＝43≠112，排除D ，故选A.10．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32解析：选D 由f (x )＝2x 2－ln x 可知定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，k ≥1，故排除B ，C 两项．又f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12，k ＋1>12且k≥1，得1≤k ＜32.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α.又因为切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2. 答案：212．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间为________． 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x≥0，得x ≥12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞13．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 的单位：m/s ，t 的单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30 s ，s ＝⎠⎛030v (t)d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t＝(27t －0.45t 2)30＝405(m)．答案：405 m14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a 2＝0， ∴x ＝±a .当f ′(x )>0时，x >a 或x <－a ， 当f ′(x )<0时，－a <x <a ，所以函数f (x )在(a ，＋∞)，(－∞，－a )上为增函数， 在(－a ，a )上为减函数． 故f (x )极大值＝f (－a )＝2a 3＋a ，f (x )极小值＝f (a )＝a －2a 3.∴⎩⎨⎧2a 3＋a >0，a －2a 3<0，解得a >22.a >0，答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2. (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x＝2ax 2＋bx ＋4x，x ∈(0，＋∞)．由y ＝f (x )的极值点为1和2， ∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴⎩⎨⎧2a ＋b ＋4＝0，8a ＋2b ＋4＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－6.(2)由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －6＋4x ＝2x 2－6x ＋4x＝2x －1x －2x，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )－54ln 2－84ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9>f (1)＝－5>f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9.16．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )单调区间及极值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x ，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x ＞0)，f ′(x )＝－23x ＋2－43x＝－2x －1x －23x.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x )＞0时1＜x ＜2； ②当f ′(x )＜0时0＜x ＜1或x ＞2. 当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x )－ 0 ＋ 0 － f (x )53 83－43ln 2因此f (x )的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2. 17．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x .(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，注意到e x ＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜2，所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又因为f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x ＞0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立． 设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1x ＋12＞0， 即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 则y ＜1＋1－11＋1＝32，故a ≥32， 所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2(x ＞0)， 当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值． 当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ，且0＜x ＜－a 时f ′(x )＜0，x ＞－a 时f ′(x )＞0.∴x ＝－a 时f (x )取最小值，f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e，得x ＝22. 当0＜x ＜22时h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时h ′(x )＜0，即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时h (x )取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫ln 22－12，＋∞.。

数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．[π2，34π]4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜325．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π66．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3D.137．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1 s 末 B ．0 s C ．4 s 末D ．0,1,4 s 末11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎜⎛2f(x)d x 等于( )A .34B .45C .56D ．不存在12．若函数f(x)＝sin xx，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且⎠⎜⎛01f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________． 16．(2010·卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32. 5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x)d x ＝⎪⎪⎪13x 31⎪⎪⎪＋2x －12x 221＝13＋(4－2－2＋12)＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx 2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎜⎛01f(x)d x ＝⎠⎜⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x－a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S 2＝⎠⎜⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3.又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3，∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a ＋3＝－29，得a ＝2.(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值． 当x ＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2.综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.22.分析解答本题，应先正确求出函数f(x)的导数f′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域围求解．解析(1)f′(x)＝aax＋1－21＋x2＝ax2＋a－2ax＋11＋x2，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝ax2＋a－2ax＋11＋x2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f( 2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值围是[2，＋∞)．。

选修第一章一、选择题．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则高为( )[答案][解析]设圆锥的高为，则底面半径为，其体积为＝π(－)(＜＜)，′＝π(－)，令′＝，解得＝.当＜＜时，′＞；当＜＜时，′＜，所以当＝时，取最大值．．如果圆柱轴截面的周长为定值，则体积的最大值为( )．()π ．()π．()π()π[答案][解析]设圆柱的底面半径为，高为，体积为，则＋＝，∴＝，＝π＝π－π(<<)．′＝π－π，令′＝，得＝或＝，而>，∴＝是其唯一的极值点．∴当＝时，取得最大值，最大值为()π.．用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为，那么容器容积最大时，高为( )．．．．[答案][解析]设容器底面相邻两边长分别为、，则高为＝()，容积＝··＝－，′＝－，由′＝得＝或＝(舍去)．∈时，′>，∈时，′<，所以在＝处，有最大值，此时高为.．内接于半径为的球且体积最大的圆锥的高为( )．．[答案][解析]设圆锥高为，底面半径为，则＝(－)＋，∴＝－，∴＝π＝(－)＝π－，′＝π－π.令′＝得＝.当<<时，′>；当<<时，′<.因此当＝时，圆锥体积最大．故应选.．设圆柱的体积为，那么其表面积最小时，底面半径为( )[答案][解析]设底面圆半径为，高为，则＝π，∴＝.∴表＝底＋侧＝π＋π·＝π＋π·＝π＋.∴表′＝π－，令表′＝得，＝，又当∈(，)时，表′<；当∈(，)时，表′>，∴当＝时，表面积最小．．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第小时时，原油温度(单位：℃)为()＝－＋(≤≤)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) ．．－．－[答案][解析]瞬时变化率即为′()＝－为二次函数，且′()＝(－)－，又∈[]，故＝时，′()＝－.二、填空题．用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是[答案][解析]设长方体的宽为，则长为，高为－(<<)，故体积为＝＝－＋，′＝－＋，令′＝得，＝或，∵<<，∴＝.∴该长方体的长、宽、高各为、、时，体积最大，最大体积＝.．某厂生产某种产品件的总成本：()＝＋，又产品单价的平方与产品件数成反比，生产件这样的产品的单价为元，总利润最大时，产量应定为件[答案][解析]设产品单价为元，又产品单价的平方与产品件数成反比，即＝，由题知＝.总利润＝－－(>)，′＝－，由′＝，得＝，∈()时，′>，∈(，＋∞)时，′<，所以＝时，取最大值．.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，。