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数学建模期末试卷A及答案

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1. ( 10分)叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
(1) 模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。 ⑵模型假
设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的 主要特征凸现出来，忽略
问题的次要方面。
(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题 化为数学
问题，注意要尽量采用简单的数学工具。
4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题， 此时往往还要作出
进一步的简化或假设。
(5) 模型分析：对所得到的解答进行分析， 特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。
(6) 模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如 果不够理
想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。
(7) 模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完 善。

2. ( 10分)试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。 设生产速率为常数
k
，销

售速率为常数r，
r
：：：

k

在每个生产周期T内，开始一段时间(°岂t乞T。) 边生产边销售，后一段时间
(T°乞t )只销售不
生产，存贮量q(t)的变化如图所示。设每次生产开工
费为&，每件产品单位时间的存贮费为 Q，以总费用最小为准则确定最优周 期
T
,并讨论r孕：k和r -k的情况。

c
i . CzMkBT T*
=珈

单位时间总费用 T 2k ，使c(T)达到最小的最优周期 c2r(^r)。

被售量抵消，无法形成贮存量。
3. (1°分)设x(t)表示时刻t的人口，
试解释阻滞增长(Logistic )模型

dx “ x、
帀=
r(1
——)x

dt X
m

i x(0)=x°

中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思
想。
t
----

时刻；

x(t)
__ t时刻的人口数量；

r
――人口的固有增长率；

X
m
――自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；

x
°
初始时刻的人口数量

人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作 用。

当 r ：：：::: k 时,
r : k时，T
* — ::，因为产量

且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率
r(x)是人口数量x(t)
的的减函数。

相当于不考虑生产的情况;
假设r(x)为x(t)的线性函数:
r(x) =r -sx (r 0,s 0)

其中，r称为人口的固有增长率，表示人口很少时(理论上是

根据Malthus人口模型，有
dx x
r(1 )x
dt X
m
[x(0) = x

o

4. (25分)已知8个城市vo, V1,…,V7之间有一个公路网(如图所示), 每条
公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间.

(1)设你处在城市V0,那么从V0到其他各城市，应选择什么路径使所需的 时间
最短？

(1) V。到其它各点的最短路如下图:

各点的父点如下:
VO V1 V2 V3 V4 V5 V6 V
7

VO VO VO V2 V3 VO V5 V
3
各点的最短路径及最短路长分别为:

V
O:
0

VOT V
1:
1

VOT V
2:
2

VOT V2T V
3:
3

VO T V2T V3T V
4:
6
VOT V
5:
4
v0f V5T V6: 6

VOT V2H V3T V
7:
9
(2) 最小生成树如下图：

x=0
)的增长率。

当X =Xm时人口不再增长，即增长率
r(Xm)二0
，代入有

r
s
二

X
m
，从而有

r(x) = r
vl e3 v2

7. (10分)有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻， 或
者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重 情
况。
先把苹果编号1〜12,把1〜4和5〜8放在天平两边
：
(1) 两边持平：就在 9〜12中,再把9和10放在天平两边，再平就在11或12中,若9 和10
不平，则在9或10中；
(2) 两边不平：假设1234重5678轻，则进行第二次称量 125和349;若平了就在 678 中
且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的,再称1与2即可；若 125轻349
重,则坏的是5。

某家具厂生产桌子和椅子两种家具， 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产
桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工 4小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工 3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为 120小时，油漆 工工时
为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？(建立模型不计算)
(10 ')
解：(1)确定决策变量：x仁生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量
(2) 确定目标函数：家具厂的目标是
销售收入最大 maxz=50x1+30x2
(3) 确定约束条件：
4x1+3x2<120 (木工工时限制) 2x1+x2>50 (油漆工工时限制)

(4) 建立的数学模型为：
maxS=50x1+30x2
s.t. 4x1+3x2<120
2x1+ x2>50
x1, x2 >0
3.
有四个工人.要分别指派他们完成四项不同的工作.每入做各项工作所消耗的时间如下表所示•间应
如何指派工作.才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）
（10‘ ）

惬令抬派第，人龙成骂项工作
朴科I不指折派知项工作

目标函数.皿曲Z 心+1站,+ 2鸟+24忌+ 19心
+23x

2 + 18x24
+

26X31 +1 7X32 +16r3- + 19X34 +1 ftv4l + 2 Lv42l 7
心

约束条件,
f Xll + D D + “矶=1
5/
J 丘+勺 + 勺 + *" = 1

Xu + XJJ + X、、+ Xo = 1

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数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。

A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。

当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。

A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。

求该直线的方程。

A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。

A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。

假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。

求两辆车首次相遇的时间。

A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。

答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。

答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。

2024年数学建模a题

2024年数学建模a题

2024年数学建模a 题一、单选题1.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．103．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位5．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．568．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.2525 5 D.511.已知双曲线C 的渐近线方程为230x y ±=，且C 经过点(6,22-，则C的标准方程为（ ）A. 221188x y -=B. 22194x y -= C. 221818y x -= D. 22149y x -=二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

数学模型 吕跃进 数学建模A试卷及参考答案

数学模型 吕跃进 数学建模A试卷及参考答案

数学建模A试卷参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、什么是数学模型？(5分)答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

2、数学建模有哪几个过程？(5分)答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。

3、试写出神经元的数学模型。

答：神经元的数学模型是其中x＝（x1， (x)m）T输入向量，y为输出，wi是权系数；输入与输出具有如下关系：θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分）二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。

解释曲线为什么是你画的那种形状。

(5分)（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。

根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。

(5分)答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间．（2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1．2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。

(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分)答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。

如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD 的中心为坐标系原点。

记 H 为脚A,C 与地面距离之和，G 为脚B,D 与地面距离之和，θ为AC连线与X轴的夹角，不妨设H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?)令Xf(θ) = H(θ) - G(θ) 图二则f是θ的连续函数,且 f(0)=H(0)>0将方凳旋转 90°,则由对称性知H(π/2)=0, G(π/2)=H(0)从而 f(π/2)= -H(0) < 0由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使 f(θ) = 0(二)命题对长凳也成立，只须记 H 为脚A,B 与地面距离之和，G 为脚C,D 与地面距离之和，θ 为AC 连线与X 轴的夹角将θ旋转1800同理可证。

数学建模试卷A答案

数学建模试卷A答案

第 1 页 共2页 第 1 页 共2页《数学建模》课程试卷A 答案适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一． 怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料、观察、试验以及建立什么样的数学模型（10分） （1）确定火箭发射至最高点所需的时间 （2）为保险公司制定人寿保险金计划(1)依牛顿第二定理建立方程，并由试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程。

5 （2）不同年龄死亡率，并估计未来一定时期的变化，还应考虑银行利率、物价指数。

10二.对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（10分）1．推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

2．总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。

（1）x dt dxλ=………..5 （2）)(x N ax dtdx-= (10)三. 已知甲乙两个种群在同一自然环境相互竞争而生存，试建立甲种群增长的方程和乙种群增长的方程（不要求解）(10分)设)(),(21t x t x 甲乙两个种群的数量，21,r r 是它们固有的增长率21,N N 是它们的最大容量)1(22111111N x N x x r dt dx σ--= 。

5 )1(11222222N xN x x r dt dx σ--=。

10四．试建立人口指数增长模型及阻滞增长模型（要求求出微分方程的解）(10分)人口指数增长模型： rt e x x rx dtdx0,==。

5 阻滞增长模型rtm m m ex x x x x xrx dt dx --+=-=)1(1),1(0。

10第 2 页 共2页 第 2 页 共2页60分）某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管19cm ，现有一客户需要50根4m 、20根6m 和158m 的钢管，应如何下料最省？（程序计算结果可自由确定）摘要，关键词，符号假设，问题分析，模型建立及求解（要有程序），模型的 i x 表示按照第i 种模式切割的钢管的根数1124567333MinZ x x x x x x =+++++或21234567MinZ x x x x x x x =++++++ 1234543250x x x x x ++++≥24562320x x x x +++≥357215x x x ++≥编程 1234543250x x x x x *+*+*++>=; 24562320x x x x +*++*>=;357215x x x ++*>=;1234@();@();@();@();gin x gin x gin x gin x 567@();@();@();gin x gin x gin x第3 页共2页第3 页共2页。