考点41 用样本估计总体-高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过Word版含解析

用样本估计总体 （1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点. （2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. （3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释. （4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. （5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

一、数字特征 1．众数、中位数、平均数

数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标

中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标

平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和

2．极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：2222121[()()()]nsxxxxxxn. 标准差：222121[()()()]nsxxxxxxn. 注：平均数反映了数据取值的平均水平，方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 3．性质 （1）若12,,,nxxx的平均数为x，那么12,,,nmxamxamxa的平均数为mxa. （2）数据12,,,nxxx与数据1122nnxxaxxaxxa,,,的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若12,,,nxxx的方差为s2，那么12,,naxbaxbaxb,的方差为22as. 二、茎叶图 1．定义 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 2．表示方法 （1）对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时做类似处理． （2）对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎． 三、统计表 1．频率分布直方图 （1）画频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). （2）频率分布直方图的性质 ①落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于1. ②频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 a.最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； b.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； c.平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．各种统计表的优点与不足

优点 不足 频率分布表 表示数据较确切 分析数据分布的总体态势不方便

频率分布直方图 表示数据分布情况非常直观 原有的具体数据信息被抹掉了

频率分布折线图 能反映数据的变化趋势 不能显示原有数据

茎叶图 一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况

样本数据较多或数据位数较多时，

不方便表示数据

考向一 数字特征的应用 明确数字特征的意义： 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小. 典例1 某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为 A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 【答案】C

1．若一组数据的方差为1，则的方差为 A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知一组数据3,5,7,x,10的平均数为6,则这组数据的方差为 A．335 B．6

C．285 D．5 考向二 茎叶图的应用 茎叶图的优、缺点： 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示，其缺点是当样本容量较大时，作图较繁琐.

典例2 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示． 据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16，30)内的人数为 A．100 B．160 C．200 D．280 【答案】B

3．一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图.已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则xy

A．3 B．3 C．4 D．4 考向三 频率分布直方图的应用 频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要方法，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度： (1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据． (2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解． (3)与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解. 典例3 某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额(单位:元)，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a,b,c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为

A．600 B．30 C．60 D．300 【答案】A

4．200辆载着某炮兵团士兵的汽车急赴某地抗洪抢险,如图是汽车途经某大桥时的速度的频率分布直方图,则这200辆汽车的速度的中位数的估计值为 A．64 B．63 C．63.5 D．65

典例4 为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，并将本次竞赛的成绩(得分均为整数，满分100分)进行整理，制成下表：

成绩 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 2 3 14 15 12 4 （1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图； （2）若从成绩在[40，50)中选1名学生，从成绩在[90，100]中选2名学生，共3名学生召开座谈会，求[40，50)组中学生A1和[90，100]组中学生B1同时被选中的概率．

（2）记[40，50)组中的学生为A1，A2，[90，100]组中的学生为B1，B2，B3，B4，A1和B1同时被选中记为事件M. 由题意可得，全部的基本事件为： A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，A1B2B3，A1B2B4，A1B3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4，共12个，

事件M包含的基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，共3个， 所以学生A1和B1同时被选中的概率为P(M)＝312＝14.

5．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100150x）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小； （2）根据频率分布直方图估计利润T不少于57万元的概率.

1．有下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是

A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，45 3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为、，、、、、、，则样本的中位数在

A．第3组 B．第4组 C．第5组 D．第6组 4．在如图所示的茎叶图中,有一个数字模糊不清,但某同学曾经计算得到该组数据的极差与中位数之和为61,则模糊不清的数字为

A．1 B．2 C．3 D．4 5．在某次高中数学竞赛中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的平均数，众数，中位数